以三角函数为载体的导数压轴题汇编.docx
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以三角函数为载体的导数压轴题汇编
以三角函数为载体的导数压轴题汇编
1.已知函数f(x)=exsinx-ax.
(1)当a=0时,求曲线y=
f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a≤0
时,判断f(x)在[0,3π]上的单调性,并说明理由;
4
(3)当a<1时,求证:
∀x∈[0,3π],都有f(x)≥0.
4
分析:
(1)根据题意,当a=0时,f(x)=exsinx,计算其导数进而可得f'(0)=1,又由
f(0)=e0sin0=0,由直线的点斜式方程计算可得答案;
(2)根据题意,求出f(x)的导数,由a的范围,结合函数的单调性与函数导数的关系分析可得结论;
(3)根据题意,分a≤0与0 最小值,综合即可得答案.解答: (1)当a=0时,f(x)=exsinx, 则有f'(x)=ex(sinx+cosx),则f'(0)=1.又f(0)=e0sin0=0, 所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x; (2)因为f(x)=exsinx-ax,所以f'(x)=ex(sinx+cosx)-a= 2exsin(x+π)-a, 4 因为x∈[0,3π],所以x+π∈[π,π]. 444 所以2exsin(x+π)≥0,所以当a≤0时,f'(x)≥0, 4 所以f(x)在区间[0,3π]单调递增; 4 (Ⅲ)证明: 由(Ⅱ)可知,当a≤0时,f(x)在区间[0,3π]单调递增, 4 所以x∈[0,3π]时,f(x)≥f(0)=0. 4 当0 f'(x), 则g'(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx, g(x),g'(x)随x的变化情况如下表: x 0 (0,π) 2 π 2 (π,3π)24 3π 4 g'(x) + 0 - g(x) 1-a g(x)递增 极大值 g(x)递减 -a 所以f(x))在[0,π]上单调递增,在(π,3π]上单调递减, 224 因为f'(0)=1-a>0,f'(3π)=-a<0, 4 所以存在唯一的实数x ∈(π,3π),使得f'(x)=0, 0240 且当x∈(0,x),f'(x)>0,当x∈(x,3π]时,f'(x)<0, 004 所以f(x)在[0,x]上单调递增,在[x,3π]上单调递减. 2 2 4 004 3π 又f(0)=0,f()=e4⨯2 -3πa>e3π⨯24 -3>e2-3π>0, 2 所以当0 4 综上所述,当a<1时,对任意的x∈[0,3π],f(x)≥0. 4 2.已知函数f(x)=xsinx+acosx+x,a∈R. (1)当a=-1时,求曲线 y=f(x)在(0,f(0)) 处的切线方程; (2)当a=2时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值; 2 (3)当a>2时,若方程f(x)-3=0在区间[0,π]上有唯一解,求a的取值范围. 2 分析: (1)求得f(x)的解析式和导数,可得切线的斜率、切点,由斜截式方程可得切线的方程; (2)求得函数的导数,判断单调性,计算可得最值; (3)求得导数,构造函数h(x)=(1-a)sinx+xcosx+1,求得导数,判断符号,可得单调性,由函数零点存在定理,可得f(x)的单调性,结合条件可得a的范围.解答: (1)当a=-1时,f(x)=xsinx-cosx+x,所以f'(x)=2sinx+xcosx+1,f'(0)=1.又因为f(0)=-1, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x-1; (2)当a=2时,f(x)=xsinx+2cosx+x, 所以f'(x)=-sinx+xcosx+1. 当x∈(0,π)时,1-sinx>0,xcosx>0,所以f'(x)>0. 2 所以f(x)在区间[0,π]上单调递增。 2 因f(x)在区间[0,π]上的最大值为f(π)=π,最小值为f(0)=2; 22 (3)当a>2时,f'(x)=(1-a)sinx+xcosx+1, 设h(x)=(1-a)sinx+xcosx+1,h'(x)=(2-a)cosx-xsinx, 因为a>2,x∈[0,π],所以h'(x)<0. 2 所以h(x)在区间[0,π]上单调递减, 2 因为h(0)=1>0,h(a)=1-a+1=2-a<0, 2 所以存在唯一的x ∈[0,π],使h(x)=0,即f'(x)=0. 0200 所以f(x)在区间[0,x]上单调递增,在区间[x,π]上单调递减。 002 因为f(0)=a,f(π)=π, 2 又因为方程f(x)-3=0在区间[0,π]上有唯一解, 2 所以a的取值范围是(2,3]. 3.已知函数 f(x)=sinx. x (1)若 x∈(0,π),讨论方程 f(x)=k 根的情况; (2)若 x∈(0,2π),k∈[2,+∞),讨论方程 5 f'(x)=k根的情况. 解: (1)f'(x)=xcosx-sinx,x∈(0,π) x2 令g(x)=xcosx-sinx,则g'(x)=-xsinx 当x∈(0,π)时,sinx>0,g'(x)<0 g(x)单调递减,g(x)min=g(π)=0 x趋于0时,f(x)趋于1,故f(x)∈(0,1) 故,k≤0时,方程 f(x)=k 无实根; 0 f(x)=k 有一个实根; k≥1时,方程 f(x)=k 无实根. (2)由 (1)可知,f'(x)=xcosx-sinx,x∈(0,2π),则 x2 f'(x)-k=xcosx-sinx-kx2,x∈(0,2π). x2 令h(x)=xcosx-sinx-kx2,x∈(0,2π),则h'(x)=-xsinx-2kx=-x(sinx+2k) 当k≥1时,sinx+2k≥0,h'(x)<0,h(x)单调递减,h(0)=0. 2 故x∈(0,2π)时,h(x)<0,方程f'(x)=k无实数根; 当2≤k<1时,则存在x∈(π,3π),x∈(3π,2π)使得h'(x)=0,且x+x =3π 52122212 x∈(0,x1)时,h'(x)<0;x∈(x1,x2)时,h'(x)>0;x∈(x2,2π)时,h'(x)<0. 所以h(x)在x=x时取得极小值f(x)=xcosx - sinx - kx2< f(-3π)=8-9π2, 1 在x=x2时取得极大值 1111124 h(x) =h(x)=xcosx-sinx-kx2=-(3π-x)cosx-sinx-k(3π-x)2, 极大222221111 =xcosx-sinx-kx2+3π(2kx-cosx -3kπ),因为 111111 3π(2kx-cosx-3kπ)<3π(2k⋅3π+1-3kπ)=3π,所以h(x)极大<8-9π2+3π<0 1124 h(2π)=2π-4kπ2≤10π-16π2<0 5 ,故x∈(0,2π) ,h(x)<0,f'(x)=k无实数根; 综上,k∈[2,+∞),方程 5 f'(x)=k无实根. 4.已知函数 (1)当a=0 f(x)=xsinx+cosx+1ax2,x∈[-π,π]. 2 时,求f(x)的单调区间; (2)当a>0时,讨论f(x) 的零点个数. 解: (1)当a=0时,f(x)=xsinx+cosx,x∈[-π,π]. f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx 当x在[-π,π]上变化时,f'(x),f(x)的变化如下表: x -π (-π,-π) 2 -π 2 (-π,0)2 0 (0,π) 2 π 2 (π,π)2 π f'(x) ﹢ + 0 ﹣ 0 ﹢ 0 ﹣ f(x) ﹣1 单调递增 极大 值π 2 单调递减 极小值1 单调递增 极大 值π 2 单调递减 ﹣1 所以的单调递增区间为(-π,-π,(0,π),单调递减区间为(-π,0),(π,π). 2222 (2)任取x∈[-π,π], f(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+1a(-x)2=xsinx+cosx+1ax2= f(x) 22 所以f(x)是偶函数,f'(x)=ax+xcosx=x(a+cosx) 当a≥1时,a+cosx≥0在[0,π]恒成立,所以x∈[0,π]时,f'(x)≥0,所以f(x)在 [0,π]上单调递增,又因为f(0)=1,所以f(x)在[0,π]上有0个零点,又f(x)是偶函数,所以f(x)在[-π,π]上有0个零点. 当0 由函数的单调性可知,存在唯一的x ∈(π,π)使得cosx =-a 020 当x∈[0,x0)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈(x0,π]时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 因为f(0)=1,f(x)>1,f(π)=1aπ2-1, 02 ①当1aπ2-1>0,即2 2π2 又f(x)是偶函数,所以f(x)在[-π,π]上有0个零点. ②当1aπ2-1≤0,即0 时,f(x)在[0,π]上有1个零点 2π2 又f(x)是偶函数,所以f(x)在[-π,π]上有2个零点. 综上,当0 π2 时,f(x)在[-π,π]上有0个零点;当2 π2 [-π,π]上有2个零点. 5.已知函数f(x)=(x-a)cosx-sinx,x∈(0,π),a∈R. (1)求f(x)的单调区间; (2)若对于任意x∈(0,π),存在x∈(0,π),都有f(x)>x2-2x -1,求a的范 12122 围. 解: (1)f'(x)=(a-x)sinx,x∈(0,π) 因为x∈(0,π),所以sinx>0 由f'(x)=0得x=a 当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,π)上单调递减;当a≥π时,f'(x)>0,f(x)在(0,π)上单调递增;当0 x (0,a) a (a,π) f'(x) ﹢ 0 ﹣ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以,f(x)的单调递增区间是(0,a),单调递减区间是(a,π).综上所述: 当a≤0时,f(x)在(0,π)上单调递减; 当a≥π时,f(x)在(0,π)上单调递增;
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- 三角函数 载体 导数 压轴 汇编