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北京八中初三上期中数学
2016北京八中初三(上)期中
数学
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(3分)抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是( )
A.(1,2)B.(1,﹣2)C.(﹣1,2)D.(﹣1,﹣2)
2.(3分)如果4x=5y(y≠0),那么下列比例式成立的是( )
A.=B.=C.=D.=
3.(3分)在下面的图形中,形状相似的一组是( )
A.任意两个等腰三角形B.任意两个矩形
C.任意两个等边三角形D.任意两个菱形
4.(3分)如果△ABC∽△DEF,相似比为2:
1,且△DEF的面积为4,那么△ABC的面积为( )
A.1B.4C.8D.16
5.(3分)下列命题中,正确的是( )
A.三点确定一个圆B.任何一个三角形有且只有一个外接圆
C.任何一个四边形都有一个外接圆D.三角形的外心一定在它的外部
6.(3分)如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:
先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是( )
A.AB=24mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM:
MA=1:
2
7.(3分)图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣x2D.y=x2
8.(3分)如图,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:
①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③,④,⑤AC2=AD•AE,使△ADE与△ACB一定相似的有( )
A.①②④B.②④⑤C.①②③④D.①②③⑤
9.(3分)若抛物线y=x2﹣4x+4﹣t(t为实数)在0<x<3的范围内与x轴有公共点,则t的取值范围为( )
A.0<t<4B.0≤t<4C.0<t<1D.t≥0
10.(3分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,∠OBC=45°,则下列各式成立的是( )
A.1﹣b+c=0B.1+b+c=0C.1+b﹣c=0D.1﹣b﹣c=0
二、填空题(每题3分,共18分)
11.(3分)如图,某学生想利用标杆测量一棵大树的高度,如果标杆EC的高为1.8m,并测得AC=0.9m,AB=2.1m,那么大树DB的高度是 m.
12.(3分)请写出一个开口向上,且过原点的抛物线表达式 .
13.(3分)如图,⊙O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4,∠APO=30°,则弦AB的长为 .
14.(3分)抛物线y1=ax2与直线y2=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则抛物线y=ax2﹣bx﹣c的对称轴为 .
15.(3分)小阳在如图1所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走,他从点O出发,沿箭头所示的方向经过点M再走到点N,共用时70秒.有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程,设小阳走路的时间为t(单位:
秒),他与摄像机的距离为y(单位:
米),表示y与t的函数关系的图象大致如图2,则这个固定位置可能是图1中的点 (在点P、N、Q、M、O中选取).
16.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(1,0)和(x1,0),其中﹣2<x1<﹣1,与y轴交于正半轴上一点.下列结论:
①b>0;②;③a>b;④﹣a<c<﹣2a.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题(共4小题,满分22分)
17.(4分)如图,在△ABC和△CDE中,∠B=∠D=90°,C为线段BD上一点,且AC⊥CE.AB=3,DE=2,BC=6.求CD的长.
18.(5分)如图,点A、B、C是⊙O上的三点,AB∥OC.
(1)求证:
AC平分∠OAB.
(2)过点O作OE⊥AB于点E,交AC于点P.若AB=2,∠AOE=30°,求PE的长.
19.(5分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为(﹣1,﹣1).
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标;
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C,画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标;
(3)把△ABC以点A为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为1:
2,画出△AB3C3的图形.
20.(8分)已知:
二次函数y=ax2+bx+c,y与x的一些对应值如表:
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
ax2+bx+c
…
3
﹣1
3
…
(1)根据表格中的数据,确定二次函数解析式为 ;
(2)填齐表格中空白处的对应值并利用表,用五点作图法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象.(不必重新列表)
(3)当1<x≤4时,y的取值范围是 .
四、解答题(共27分)
21.(7分)如图,在平面直角坐标xOy中,抛物线C1的顶点为A(﹣1,﹣4),且过点B(﹣3,0).
(1)将抛物线C1向右平移2个单位得抛物线C2,设C2的解析式为y=ax2+bx+c,求a,b,c的值;
(2)在
(1)的条件下,直接写出ax2+bx+c>5的解集
(3)写出阴影部分的面积S= .
22.(8分)阅读理解:
如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合),分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由.
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,在图2中作出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E.(作出一个即可,不限作图工具)
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,则S△AME:
S△MEC= (直接写出结果).
23.(6分)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是( )元;②月销量是( )件;(直接写出结果)
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
24.(6分)阅读材料:
小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒,现选用一些废弃的纸片进行如图设计:
说明:
方案一图形中的圆过点A,B,C,圆心O也是正方形的顶点;
回答问题(直接写出结果):
(1)方案二中,直角三角形纸片的两条直角边长分别为 cm和 cm;
(2)小明通过计算,发现方案一中纸片的利用率是 (填准确值),近似值约为38.2%.相比之下,方案二的利用率是 %.小明感觉上面两个方案的利用率均偏低,又进行了新的设计(方案三),请直接写出方案三的利用率是 .
五、综合题(共23分)
25.(7分)探究活动:
利用函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象(如图1)和性质,探究函数y=的图象与性质.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;
(2)如图2,他列表描点画出了函数y=图象的一部分,请补全函数图象;
解决问题:
设方程﹣x﹣b=0的两根为x1、x2,且x1<x2,方程x2﹣3x+2=x+B的两根为x3、x4,且x3<x4.若1<b<,则x1、x2、x3、x4的大小关系为 (用“<”连接).
26.(8分)已知:
抛物线C1:
y=2x2+bx+6与抛物线C2关于y轴对称,抛物线C1与x轴分别交于点A(﹣3,0),B(m,0),顶点为M.
(1)求b和m的值;
(2)求抛物线C2的解析式;
(3)在x轴,y轴上分别有点P(t,0),Q(0,﹣2t),其中t>0,当线段PQ与抛物线C2有且只有一个公共点时,求t的取值范围.
27.(8分)已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.求证:
;
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形.试探究:
当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?
并证明你的结论;
(3)如图3,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF.请直接写出的值.
数学试题答案
一、选择题(每题3分,共30分)
1.【解答】y=(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2).故选A.
2.【解答】4x=5y(y≠0),两边都除以20,得=,故B正确;故选:
B.
3.【解答】A、任意两个等腰三角形,无法确定形状是否相同,不符合相似图形的定义,故不符合题意;
B、任意两个矩形,对应角相等,对应边不一定成比例,不符合相似图形的定义,故不符合题意;
C、两个等边三角形,对应角相等,对应边一定成比例,符合相似图形的定义,故符合题意;
D、任意两个菱形,对应边成比例,对应角不一定相等,不符合相似图形的定义,故不符合题意.
故选:
C.
4.【解答】∵△ABC∽△DEF,相似比为2:
1,
∴△ABC和△DEF的面积比为4:
1,又△DEF的面积为4,
∴△ABC的面积为16.
故选:
D.
5.【解答】A、不在同一直线上的三点确定一个圆,故错误;
B、任何一个三角形有且只有一个外接圆,正确;
C、所有的凸多边形都有一个外接圆,故错误;
D、三角形的外心还可以在三角形的边上或三角形的内部,故错误,
故选B.
6.【解答】∵M、N分别是AC,BC的中点,
∴MN∥AB,MN=AB,
∴AB=2MN=2×12=24m,
△CMN∽△CAB,
∵M是AC的中点,
∴CM=MA,
∴CM:
MA=1:
1,
故描述错误的是D选项.故选:
D.
7.【解答】设此函数解析式为:
y=ax2,a≠0;
那么(2,﹣2)应在此函数解析式上.
则﹣2=4a
即得a=﹣,
那么y=﹣x2.
故选:
C.
8.【解答】∵∠A=∠A,∠AED=∠B,
∴△ADE∽△ACB,①正确;
∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,
∴△ADE∽△ACB,②正确;
∵∠A=∠A,,
∴△ADE∽△ACB,④正确;
由,或AC2=AD•AE不能证明△ADE与△ACB相似.
故选:
A.
9.【解答】y=x2﹣4x+4﹣t=(x﹣2)2﹣t,
抛物线的顶点为(2,﹣t),
当抛物线与x轴的公共点为顶点时,﹣t=0,解得t=0,
当抛物线在0<x<3的范围内与x轴有公共点,如图,
﹣t<0,解得t>0,则x=0时,y>0,即4﹣t>0,解得t<4;
x=3时,y>0,即1﹣t>0,解得t<1,此时t的范围为0<t<4,
综上所述,
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