人教版九年级上《第二十一章一元二次方程》单元测试题含答案.docx
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人教版九年级上《第二十一章一元二次方程》单元测试题含答案
2019年春九年级上册数学《第二十一章一元二次方程》单元测试题
一.选择题(共10小题)
1.关于x的方程(m﹣1)x2+2mx﹣3=0是一元二次方程,则m的取值是( )
A.任意实数B.m≠1C.m≠﹣1D.m>1
2.一元二次方程x2+5=﹣4x的一次项的系数是( )
A.4B.﹣4C.1D.5
3.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.±1D.0
4.方程(x+1)2=0的根是( )
A.x1=x2=1B.x1=x2=﹣1C.x1=﹣1,x2=1D.无实根
5.方程x2+2x+1=0的根是( )
A.x1=x2=1B.x1=x2=﹣1C.x1=﹣1,x2=1D.无实根
6.一元二次方程x2+x﹣1=0的根是( )
A.x=1﹣
B.x=
C.x=﹣1+
D.x=
7.方程x2=4x的根是( )
A.x=4B.x=0C.x1=0,x2=4D.x1=0,x2=﹣4
8.如果(x+2y)2+3(x+2y)﹣4=0,那么x+2y的值为( )
A.1B.﹣4C.1或﹣4D.﹣1或3
9.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.则k的取值范围为( )
A.k>﹣
B.k>4C.k<﹣1D.k<4
10.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件182万个.若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,则下面所列方程正确的是( )
A.50(1+x)2=182
B.50+50(1+x)2=182
C.50+50(1+x)+50(1+2x)=182
D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
二.填空题(共8小题)
11.已知x=﹣1是方程x2+ax+3﹣a=0的一个根,则a的值是 .
12.如果关于x的方程(m﹣1)x3﹣mx2+2=0是一元二次方程,那么此方程的根是 .
13.已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有实数根,则m的取值范围是 .
14.将一元二次方程x2﹣6x+10=0化成(x﹣a)2=b的形式,则b的值为 .
15.圣诞节时,某班一个小组有x人,他们每两人之间互送贺卡一张,已知全组共送贺卡110张,则可列方程为 .
16.我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造,2015年市政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,2017年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为 .
17.已知x1,x2是方程x2﹣3x+1=0的两个实数根,则
= .
18.已知x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根,则方程的另一个根是 .
三.解答题(共7小题)
19.解方程:
(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3)
(2)2x2﹣x﹣3=0.
20.是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根?
如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.
21.关于x的方程(m+1)x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程,求m的值.
22.已知:
关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于0,求k的取值范围.
23.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2015年盈利1500万元,到2017年盈利2160万元,且从2015年到2017年,每年盈利的年增长率相同.
(1)求平均年增长率?
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2018年盈利多少万元?
24.某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2016年投入资金1000万元,2018年投入资金1210万元.
(1)求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率;
(2)若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变,求该镇2019年预计投入资金多少万元?
25.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九
(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:
(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;
(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:
共有多少名同学参加了研学游活动?
2019年春九年级上册数学《第二十一章一元二次方程》单元测试题
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.关于x的方程(m﹣1)x2+2mx﹣3=0是一元二次方程,则m的取值是( )
A.任意实数B.m≠1C.m≠﹣1D.m>1
【分析】根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足二次项系数不为0,所以m﹣1≠0,即可求得m的值.
【解答】解:
根据一元二次方程的定义得:
m﹣1≠0,即m≠1,
故选:
B.
【点评】此题考查一元二次方程,一元二次方程必须满足三个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.
(3)整式方程.
要特别注意二次项系数a≠0这一条件,当a=0时,上面的方程就不是一元二次方程了.
当b=0或c=0时,上面的方程在a≠0的条件下,仍是一元二次方程,只不过是不完全的一元二次方程.
2.一元二次方程x2+5=﹣4x的一次项的系数是( )
A.4B.﹣4C.1D.5
【分析】方程整理为一般形式,找出一次项系数即可.
【解答】解:
方程整理得:
x2+4x+5=0,
则一次项系数为4.
故选:
A.
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
3.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.﹣1C.±1D.0
【分析】把x=0代入方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0得a2﹣1=0,然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值.
【解答】解:
把x=0代入方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0得a2﹣1=0,解得a1=1,a2=﹣1,
而a+1≠0,
所以a=1.
故选:
A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
4.方程(x+1)2=0的根是( )
A.x1=x2=1B.x1=x2=﹣1C.x1=﹣1,x2=1D.无实根
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案.
【解答】解:
由于(x+1)2=0,
∴x+1=0,
∴x1=x2=﹣1
故选:
B.
【点评】本题考查一元二次方程的解法,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.
5.方程x2+2x+1=0的根是( )
A.x1=x2=1B.x1=x2=﹣1C.x1=﹣1,x2=1D.无实根
【分析】由原方程得出(x+1)2=0,开方即可得.
【解答】解:
∵x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,
则x+1=0,
解得:
x1=x2=﹣1,
故选:
B.
【点评】本题主要考查解一元二次方程,解题的关键是熟练掌握完全平方公式及配方法解一元二次方程.
6.一元二次方程x2+x﹣1=0的根是( )
A.x=1﹣
B.x=
C.x=﹣1+
D.x=
【分析】先计算判别式的值,然后根据判别式的意义可判断方程根的情况.
【解答】解:
∵△=12﹣4×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的两个实数根,
即x=
.
故选:
D.
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程,用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:
①a≠0;②b2﹣4ac≥0.
7.方程x2=4x的根是( )
A.x=4B.x=0C.x1=0,x2=4D.x1=0,x2=﹣4
【分析】原式利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:
方程整理得:
x(x﹣4)=0,
可得x=0或x﹣4=0,
解得:
x1=0,x2=4,
故选:
C.
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
8.如果(x+2y)2+3(x+2y)﹣4=0,那么x+2y的值为( )
A.1B.﹣4C.1或﹣4D.﹣1或3
【分析】在本题中有两个未知数,且通过观察最后结果,可采用换元法,把x+2y当成一个整体进行考虑.
【解答】解:
设x+2y=a,则原方程变形为a2+3a﹣4=0,解得a=﹣4或a=1.故选C.
【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体,把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程,利用求根公式求解.
9.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.则k的取值范围为( )
A.k>﹣
B.k>4C.k<﹣1D.k<4
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根,
∴△=(2k+1)2﹣4×1×k2=4k+1>0,
∴k>﹣
.
故选:
A.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
10.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件182万个.若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,则下面所列方程正确的是( )
A.50(1+x)2=182
B.50+50(1+x)2=182
C.50+50(1+x)+50(1+2x)=182
D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,根据该机械厂七月份及整个第三季度生产零件的数量,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:
设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,
根据题意得:
50+50(1+x)+50(1+x)2=182.
故选:
D.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
二.填空题(共8小题)
11.已知x=﹣1是方程x2+ax+3﹣a=0的一个根,则a的值是 2 .
【分析】把x=﹣1代入方程x2+ax+3﹣a=0得到关于a的一元一次方程,解之即可.
【解答】解:
把x=﹣1代入方程x2+ax+3﹣a=0得:
1﹣a+3﹣a=0,
解得:
a=2,
故答案为:
2.
【点评】本题考查了一元二次方程的解,正确掌握代入法是解题的关键.
12.如果关于x的方程(m﹣1)x3﹣mx2+2=0是一元二次方程,那么此方程的根是
.
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围,再代入方程解方程即可.
【解答】解:
由题意得:
,
∴m=1,
原方程变为:
﹣x2+2=0,
x=
,
故答案为:
.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义,正确把握二次项系数不为零是解题关键.
13.已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有实数根,则m的取值范围是 m≤
且m≠0 .
【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根,计算根的判别式,得关于m的不等式,求解即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有实数根,
则△=1﹣4m≥0,且m≠0.
解得m≤
且m≠0.
故答案为:
m≤
且m≠0.
【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义.题目难度不大,解题过程中容易忽略m≠0条件而出错.
14.将一元二次方程x2﹣6x+10=0化成(x﹣a)2=b的形式,则b的值为 ﹣1 .
【分析】利用配方法得到(x﹣3)2=﹣1,从而得到b的值.
【解答】解:
x2﹣6x+10=0,
x2﹣6x=﹣10,
x2﹣6x+9=﹣1,
(x﹣3)2=﹣1,
所以b的值为﹣1.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
15.圣诞节时,某班一个小组有x人,他们每两人之间互送贺卡一张,已知全组共送贺卡110张,则可列方程为 x(x﹣1)=110 .
【分析】设这个小组有x人,要求他们之间互送贺卡,即除自己外,每个人都要求送其他的人一张贺卡,即每个人要送x﹣1张贺卡,所以全组共送x(x﹣1)张,又知全组共送贺卡110张,由送贺卡数相等为等量关系,列出方程即可.
【解答】解:
设这个小组有x人,则每人应送出x﹣1张贺卡,由题意得:
x(x﹣1)=110,
故答案为:
x(x﹣1)=110.
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识,关键在于找出等量关系,列出方程.
16.我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造,2015年市政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,2017年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为 20% .
【分析】设每年投资的增长率为x,根据2015年及2017年市政府投资的钱数,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:
设每年投资的增长率为x,
根据题意得:
5(1+x)2=7.2,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
故答案为:
20%.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
17.已知x1,x2是方程x2﹣3x+1=0的两个实数根,则
= 3 .
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=3,x1x2=1,然后将
变形,再将x1+x2=3,x1x2=1代入即可.
【解答】解:
∵x1,x2是方程x2﹣3x+1=0的两个实数根,
根据根与系数的关系有:
x1+x2=3,x1x2=1,
所以
=
=3.
故答案为:
3.
【点评】本题主要考查根与系数的关系,关键是熟练运用.
18.已知x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根,则方程的另一个根是 x=3 .
【分析】设方程的另一根为a,由根与系数的关系可得到a的方程,可求得a的值,即可求得方程的另一根.
【解答】解:
设方程的另一根为a,
∵x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根,
∴2a=6,解得a=3,
即方程的另一个根是x=3,
故答案为:
x=3.
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,掌握一元二次方程的两根之和等于﹣
、两根之积等于
是解题的关键.
三.解答题(共7小题)
19.解方程:
(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3)
(2)2x2﹣x﹣3=0.
【分析】
(1)先移项得到2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,然后利用因式分解法解方程;
(2)利用因式分解法解方程.
【解答】解:
(1)2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,
(x﹣3)(2﹣3x)=0,
x﹣3=0或2﹣3x=0,
所以x1=3,x2=
;
(2)(2x﹣3)(x+1)=0,
2x﹣3=0或x+1=0,
所以x1=
,x2=﹣1.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
20.是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根?
如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.
【分析】设两方程的公共根为a,然后将两方程相减,消去二次项,求出公共根和m的值.
【解答】解:
假设存在符合条件的实数m,且设这两个方程的公共实数根为a,则
①﹣②,得
a(m﹣2)+(2﹣m)=0
(m﹣2)(a﹣1)=0
∴m=2或a=1.
当m=2时,已知两个方程是同一个方程,且没有实数根,故m=2舍去;
当a=1时,代入②得m=﹣3,
把m=﹣3代入已知方程,求出公共根为x=1.
故实数m=﹣3,两方程的公共根为x=1.
【点评】本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题,一般情况是将两方程相减求出公共根,再求出其中的字母系数.
21.关于x的方程(m+1)x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程,求m的值.
【分析】根据一元二次方程的定义,必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0,据此即可求解.
【解答】解:
根据题意得,|m﹣1|=2,且m+1≠0,
解得:
m=3,
答:
m的值为3.
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),特别要注意a≠0的条件.
22.已知:
关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于0,求k的取值范围.
【分析】
(1)根据方程的系数结合根的判别式可得出△=(k﹣1)2≥0,由此可证出方程总有两个实数根;
(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值,结合方程有一个根小于0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范围.
【解答】
(1)证明:
∵△=[﹣(k+3)]2﹣4×1×(2k+2)=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,
∴方程总有两个实数根;
(2)解:
∵x2﹣(k+3)x+2k+2=0,即(x﹣2)[x﹣(k+1)]=0,
∴x1=2,x2=k+1.
∵方程有一个根小于0,
∴k+1<0,
∴k<﹣1.
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程,解题的关键是:
(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;
(2)利用因式分解法求出一元二次方程的根.
23.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2015年盈利1500万元,到2017年盈利2160万元,且从2015年到2017年,每年盈利的年增长率相同.
(1)求平均年增长率?
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2018年盈利多少万元?
【分析】
(1)设平均年增长率为x,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;
(2)由求出的年增长率确定出所求即可.
【解答】解:
(1)设平均年增长率为x,
根据题意得:
1500(1+x)2=2160,
整理得:
(1+x)2=1.44,
开方得:
1+x=±1.2,
解得:
x=0.2=20%或x=﹣2.2(舍去),
则平均年增长率为20%;
(2)根据题意得:
2160×(1+20%)=2592(万元),
则2018年盈利2592万元.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用,弄清题意是解本题的关键.
24.某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2016年投入资金1000万元,2018年投入资金1210万元.
(1)求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率;
(2)若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变,求该镇2019年预计投入资金多少万元?
【分析】
(1)设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x,根据该镇2016年及2018年投入的资金金额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(2)根据2019年投入资金金额=2018年投入资金金额×(1+增长率),即可求出结论.
【解答】解:
(1)设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x,
根据题意得:
1000(1+x)2=1210,
解得:
x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(舍去).
答:
该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%.
(2)1210×(1+10%)=1331(万元).
答:
该镇2019年预计投入资金1331万元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;
(2)根据数量关系,列式计算.
25.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九
(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:
(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;
(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:
共有多少名同学参加了研学游活动?
【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上,设共有x名同学参加了研学游活动,再根据等量关系:
(100﹣在30人基础上降低的人数×2)×参加人数=3150,列出方程,然后求解即可得出答案.
【解答】解:
∵100×30=3000<3150,
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人.
设共有x名同学参加了研学游活动,由题意得:
x[100﹣2(x﹣30)]=3150,
解得x1=35,x2=45,
当x=35时,人均旅游费用为100﹣2(35﹣30)=90>80,符合题意;
当x=45时,人均旅游费用为100﹣2(45﹣30)=70<80,不符合题意,应舍去.
答:
共有35名同学参加了研学游活动.
【点评】此题考查一元二次方程的应用;得到人均付费是解决本题的易错点,得到总费用的等量关系是解决本题的关键.
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- 第二十一章一元二次方程 人教版 九年级 第二十一 一元 二次方程 单元测试 答案