第三章 322函数模型的应用实例.docx
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第三章322函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤,并了解检验和调整的必要性.
知识点一 几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=
+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)求模——求解数学模型,得出数学模型;
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( × )
2.在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.( × )
3.利用函数模型求实际应用问题的最值时,要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.( √ )
4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.( × )
题型一 一次函数、二次函数模型
例1 据市场分析,某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本为最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系;
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?
解
(1)设y=a(x-15)2+17.5,a>0,将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5.
解得a=
.所以y=
(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-
=-
(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
因为x=23∈[10,25],
所以当月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.
反思感悟 利用二次函数模型解决问题的方法
在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
跟踪训练1 某家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游,甲旅行社说:
“如果父亲买一张全票,其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说:
“家庭旅行为集体票,按原价的三分之二优惠.”这两家旅行社的原价是一样的,根据该家庭中孩子数的不同,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠.
解 设该家庭中孩子数为x(x≥1,x∈N*),旅行社的收费为y,旅行社的原价为a.
甲旅行社收费:
y=a+
(x+1)a=
(x+3)a;
乙旅行社收费:
y=
(x+2)a.
因为
(x+2)a-
(x+3)a=
(x-1)a,
所以当x=1时,两家旅行社收费相等;
当x>1时,甲旅行社更优惠.
题型二 分段函数模型
例2 季节性服装的销售当旺季来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后旺季过去,平均每周减价2元,直到16周后,该服装不再销售.
(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式;
(2)若此服装每周进货一次,每件进价Q与周次t之间的关系为Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N,试问该服装第几周每件销售利润最大?
最大值是多少?
解
(1)p=
(2)设第t周时每件销售利润为L(t),
则L(t)=
=
当t∈[0,5],t∈N时,L(t)单调递增,L(t)max=L(5)=9.125;
当t∈(5,10],t∈N时,L(t)max=L(6)=L(10)=8.5;
当t∈(10,16],t∈N时,L(t)单调递减,L(t)max=L(11)=7.125.
由9.125>8.5>7.125,知L(t)max=9.125.
从而第5周每件销售利润最大,最大值为9.125元.
反思感悟
(1)分段函数模型的应用
分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间.对每一个区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式,需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者.
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
③分段函数的值域求法:
逐段求函数值的范围,最后再求各段函数值范围的并集.
跟踪训练2 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.
旅游点规定:
每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元,每辆自行车的日租金x只取整数,用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?
日净收入最多为多少元?
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解
(1)当3≤x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,
解得x>2.3.
又因为x∈N,所以3≤x≤6,且x∈N.
当6<x≤20,且x∈N时,
y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115,
综上可知
y=f(x)=
(2)当3≤x≤6,且x∈N时,因为y=50x-115是增函数,所以当x=6时,ymax=185元.
当6<x≤20,且x∈N时,
y=-3x2+68x-115=-3
2+
,
所以当x=11时,ymax=270元.
综上所述,当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多,为270元.
题型三 指数、对数型函数模型
例3 目前某县有100万人,经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题:
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).
解
(1)当x=1时,
y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);
当x=2时,
y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2;
当x=3时,
y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;….
故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(x∈N*).
(2)当x=10时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人.
(3)设x年后该县的人口总数为120万,
即100×(1+1.2%)x=120,
解得x=log1.012
≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万.
反思感悟 解决指数、对数型函数模型的方法
(1)有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.
(2)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.
跟踪训练3 某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y=2tB.y=2t2
C.y=t3D.y=log2t
答案 D
1.一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 A
2.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m2)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时,y=108g/m2,则y与x的函数关系式为( )
A.y=3x(x≥0)B.y=3x
C.y=
x(x≥0)D.y=
x
答案 A
3.国内邮寄1000g以内的包裹的邮资标准如下表:
运送
距离x(km)
0 500 1000 1500 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地,那么他应付的邮资是( ) A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元 答案 C 4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表: x 1 2 3 … y 1 3 8 … 则下面的函数关系式中,拟合效果最好的是( ) A.y=2x-1B.y=x2-1 C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2 考点 函数拟合问题 题点 函数拟合问题 答案 D 5.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( ) A.y=ax+bB.y=ax2+bx+c C.y=aex+bD.y=alnx+b 考点 函数拟合问题 题点 函数拟合问题 答案 B 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题: 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模: 将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模: 求解数学模型,得出数学结论; (4)还原: 将数学问题还原为实际问题. 一、选择题 1.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y=alog3(x+2),观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只,估计到2019年冬有越冬白鹤( ) A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只 考点 函数模型应用 题点 指数、对数函数模型的应用 答案 C 解析 当x=1时,由3000=alog3(1+2),得a=3000,所以到2019年冬,即第7年,y=3000×log3(7+2)=6000.故选C. 2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( ) A.y= B.y=(0.9576)100x C.y= xD.y=1- 考点 函数模型的应用 题点 指数、对数函数模型的应用 答案 A 3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A.y=2x-2B.y= (x2-1) C.y=log2xD.y= 考点 函数模型的应用 题点 一次、二次函数模型的应用 答案 B 解析 由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 4.某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( ) A.2017年B.2018年C.2019年D.2020年 考点 函数模型的应用 题点 指数、对数型函数模型的应用 答案 D 解析 设从2016年起,过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元,则130×(1+12%)n≥200,则n≥ ≈ =3.8,由题意取n=4,则n+2016=2020.故选D. 5.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年比上一年平均增长9.8%,专家预测经过x年的增长,荒漠化土地面积为y(平方千米),则函数y=f(x)的图象大致为( ) 答案 D 6.某城市出租汽车的收费标准是: 起步价为6元,行程不超过2千米者均按此价收费;行程超过2千米,超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价);另外,遇到堵车或等候时,汽车虽没有行驶,但仍按6分钟折算1千米计价(不足1千米按1千米计价),陈先生坐了一趟这种出租车,车费为24元,车上仪表显示等候时间为11分30秒,那么陈先生实际行程的取值范围是( ) A.[5,6)B.(5,6]C.[6,7)D.(6,7] 答案 B 解析 设陈先生此趟行程为x千米(x∈Z),则6+(x-2)×3+2×3=24. 得x=6,故实际行程的取值范围是(5,6]. 7.一种放射性元素最初的质量为500g,按每年10%衰减,则这种放射性元素的半衰期为(注: 剩余量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)(精确到0.1,已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)( ) A.5.2年B.6.6年C.7.1年D.8.3年 答案 B 解析 设半衰期为x年,则有500(1-10%)x=250,即 x= ,取对数得x(lg9-1)=-lg2,所以x= ≈ ≈6.6(年). 8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为( ) A.x=15,y=12B.x=12,y=15 C.x=14,y=10D.x=10,y=14 考点 函数模型的应用 题点 二次函数模型的应用 答案 A 解析 由三角形相似,得 = , 得x= (24-y), ∴S=xy=- (y-12)2+180(8≤y<24). ∴当y=12时,S有最大值,此时x=15. 二、填空题 9.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件. 考点 函数模型的应用 题点 指数、对数型函数模型的应用 答案 1.75 解析 由题意有 解得 ∴y=-2×0.5x+2, ∴3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件). 10.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲: y=x2+1,乙: y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.(填“甲”“乙”) 考点 函数拟合问题 题点 据实际问题选择函数模型 答案 甲 解析 将x=3分别代入y=x2+1及y=3x-1中,得y=32+1=10,y=3×3-1=8.由于10更接近10.2,所以选用甲模型. 11.计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机9年后的价格为________元. 答案 2400 解析 依题意得,所求价格为8100× 3=8100× 3=2400(元). 12.某电信公司推出手机的两种收费方式: A种方式月租20元,B种方式月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费y(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式的电话费相差________元. 答案 10 解析 由题图可知,当打出电话150分钟时,这两种方式的电话费的差为线段CD的长度,根据相似三角形的性质可得 = ,∴|CD|=10. 三、解答题 13.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(如图所示). (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式; (2)设公司获得的利润为S(元)(利润=销售总价-成本总价,销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量). ①试用销售单价x表示利润S; ②当销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润? 最大利润是多少? 此时的销售量是多少? 解 (1)由图象可知, 解得 所以y=-x+100(50≤x≤80). (2)①由 (1)知,S=xy-50y=(-x+100)(x-50) =-x2+150x-5000(50≤x≤80). ②由①可知,S=-(x-75)2+625, 其图象开口向下,对称轴为x=75, 所以当x=75时,Smax=625, 即该公司可获得的最大利润为625元, 此时相应的销售单价为75元/件,销售量为25件. 14.某商场在国庆促销期间规定,商场内所有商品按标价的80%出售,同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的范围 [200,400) [400,500) [500,700) [700,900) … 获得奖券的金额(元) 30 60 100 130 … 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品,则所能得到的优惠额为________元. 考点 函数模型的应用 题点 分段函数模型的应用 答案 330 解析 依题意知,得到的优惠额为1000×(1-80%)+130=200+130=330(元). 15.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示,假设其关系为指数函数,并给出了下列说法: ①此指数函数的底数为2; ②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30m2; ③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月; ④设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3. 其中正确的说法有________.(请把正确说法的序号都填在横线上) 考点 函数模型的应用 题点 指数、对数函数模型的应用 答案 ①②④ 解析 该指数函数的解析式为f(x)=2x,所以①正确;当x=5时,f(5)=32>30,所以②正确;由f(x1)= =4和f(x2)= =12,得x1=2,x2=log212=2+log23,所以x2-x1=log23>1.5,所以③错误;设 =2, =3, =6,则t1=1,t2=log23,t3=log26,则t1+t2=1+log23=log2(2×3)=log26=t3,所以④正确.
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