初二奥数题实数练习.docx
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初二奥数题实数练习
三、练习
1.分解因式:
①x4+x2y2+y4②x4+4③x4-23x2y2+y4
2.分解因式:
①x3+4x2-9②x3-41x+30
③x3+5x2-18④x3-39x-70
3.分解因式:
①x3+3x2y+3xy2+2y3②x3-3x2+3x+7
③x3-9ax2+27a2x-26a3④x3+6x2+11x+6
⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4.分解因式:
①3x3-7x+10②x3-11x2+31x-21
③x4-4x+3④2x3-5x2+1
5.分解因式:
①2x2-xy-3y2-6x+14y-8②(x2-3x-3)(x2+3x+4)-8
③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91
6.分解因式:
①x2y2+1-x2-y2+4xy②x2-y2+2x-4y-3
③x4+x2-2ax-a+1④(x+y)4+x4+y4
⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3)
7.己知:
n是大于1的自然数求证:
4n2+1是合数
8.己知:
f(x)=x2+bx+c,g(x)=x4+6x2+25,p(x)=3x4+4x2+28x+5
且知f(x)是g(x)的因式,也是p(x)的因式
求:
当x=1时,f(x)的值
练习题参考答案
1.添项,配成完全平方式(仿例3)2.拆中项,仿例1
3.拆项,配成两数和的立方
①原式=(x+y)3+y3……③原式=(x-3a)3+a3
⑤原式=(a+1)3+(b+1)3
4.用因式定理,待定系数法,仿例5,6
④x=
时,原式=0,有因式2x-1
5.看着是某代数式的二次三项式,仿例7
④原式=(2x-7)(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=……
6.分组配方
③原式=(x2+1)2-(x+a)2……④把原式用乘法展开,合并,再分解
⑤以a=-b代入原式=0,故有因式a+b
7.可分解为两个非1的正整数的积
8.提示g(x),p(x)的和,差,倍仍有f(x)的因式,
3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)比较系数……,f
(1)=4
一、内容提要
1.定义:
如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式被另一个整式整除。
2.根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式,
那么式的整除的意义可以表示为:
若f(x)=p(x)×q(x),则称f(x)能被p(x)和q(x)整除
例如∵x2-3x-4=(x-4)(x+1),
∴x2-3x-4能被(x-4)和(x+1)整除。
显然当x=4或x=-1时x2-3x-4=0,
3.一般地,若整式f(x)含有x–a的因式,则f(a)=0
反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。
4.在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab
在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
二、例题
例1己知x2-5x+m能被x-2整除,求m的值。
x-3
解法一:
列竖式做除法(如右)x-2x2-5x+m
由余式m-6=0得m=6x2-2x
解法二:
∵x2-5x+m含有x-2的因式-3x+m
∴以x=2代入x2-5x+m得-3x+6
22-5×2+m=0得m=6m-6
解法三:
设x2-5x+m除以x-2的商是x+a(a为待定系数)
那么x2-5x+m=(x+a)(x-2)=x2+(a-2)x-2a
根据左右两边同类项的系数相等,得
解得
(本题解法叫待定系数法)
例2己知:
x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除
求:
m、n的值及商式
解:
∵被除式=除式×商式(整除时余式为0)
∴商式可设为x2+ax+b
得x4-5x3+11x2+mx+n=(x2-2x+1)(x2+ax+b)
=x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b
根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得
解得
∴m=-11,n=4,商式是x2-3x+4
例3m取什么值时,x3+y3+z3+mxyz(xyz≠0)能被x+y+z整除?
解:
当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时,它含有x+y+z因式
令x+y+z=0,得x=-(y+z),代入原式其值必为0
即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0
把左边因式分解,得-yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0,∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时,m可取任何值,
当m=-3时,x,y,z不论取什么值,原式都能被x+y+z整除。
例4分解因式x3-x+6
分析:
为获得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值,只有x=-2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)
解:
x3-x+6=(x+2)(x2-2x+3)
三、练习
1.若x3+2x2+mx+10=x3+nx2-4x+10,则m=___,n=___
2.x3-4x2+3x+32除以x+2的余式是___,
x4-x2+1除以x2-x-2的余式是___
3.己知x3+mx+4能被x+1整除,求m
4.己知x4+ax3+bx-16含有两个因式x-1和x–2,求a和b的值
5.己知13x3+mx2+11x+n能被13x2-6x+5整除,求m、n及商式
6.己知ab≠0,m取什么值时,a3-6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.
7.分解因式:
①x3-7x+6,②x3-3x2+4,③x3-10x-3
8.选择题
①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是()
(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)
(c)(x-y)(y-z)(x+z)(D)(x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数),对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是()
(A)p=100,q=10(B)p=5000,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.
练习题参考答案
1.–4,2
2.2;4x+53.3
4.
5.
商式x-1
6.127.①(x-1)(x-2)(x+3),②(x-2)2(x+1),③(x+3)(x2-3x-1)
8.①(A)②(D)
例2化简:
分析两个题分母均含有根式,若按照通常的做法是先分母有理化,这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后,再化简.
解法1配方法.
配方法是要设法找到两个正数x,y(x>y),使x+y=a,xy=b,则
解法2待定系数法.
例4化简:
(2)这是多重复合二次根式,可从里往外逐步化简.
分析被开方数中含有三个不同的根式,且系数都是2,可以看成
解设
两边平方得
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352.
因为x,y,z均非负,所以xyz≥0,所以
xyz=35.⑤
⑤÷②,有z=7.同理有x=5,y=1.所求x,y,z显然满足①,所以
解设原式=x,则
解法1利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解.
将方程左端因式分解有
(x-4)(x2+4x+10)=0.
因为
x2+4x+10=(x+2)2+6>0,
所以x-4=0,x=4.所以原式=4.
解法2
说明解法2看似简单,但对于三次根号下的拼凑是很难的,因此本题解法1是一般常用的解法.
例8化简:
解
(1)
本小题也可用换元法来化简.
解用换元法.
解直接代入较繁,观察x,y的特征有
所以
3x2-5xy+3y2=3x2+6xy+3y2-11xy
=3(x+y)2-11xy
=3×102-11×1=289.
例11求
分析本题的关键在于将根号里的乘积化简,不可一味蛮算.
解设根号内的式子为A,注意到1=(2-1),及平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,所以
A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(2256+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(2256+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)…(2256+1)+1
=…=(2256-1)(2256+1)+1
=22×256-1+1=22×256,
的值.
分析与解先计算几层,看一看有无规律可循.
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