正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀.docx
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正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀
正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀
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个平面,共有哪些不同的图形呢?
要搞清这个问题,最好是动手实践,比如找一些正方体纸盒,沿着棱按不同方式将其剪开(但不要剪断,六个面要通过边连在一起),展成平面,再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。
如果不容易找到足够的正方体纸盒,还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板,利用逆向思维,先猜测正方体展开图会有哪些不同形状,并将它们画在纸板上,再将周围多余部分剪去,然后沿所画直线直行折叠,看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。
这种探究方法虽然有点麻烦,但操作简便易行,快速有效。
事先可多画一些纸板(六个正方形边与边对齐,任意连接成不同的平面图形),经过逐个验证,记录下所有可以折叠成正方体的图形,再将这些图形分类,总结并寻找出其中的规律。
那么,沿棱剪开展开一个正方体,究竟有哪些不同的形状呢?
如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同,只从本质上讲,有以下三类共11种。
一、“141型”(共6种)
特点:
这类展开图中,最长的一行(或一列)有4个正方形(图1~图6)。
理解:
有4个面直线相连,其余2个面分别在“直线”两旁,位置任意。
二、“231型”与“33型”(共4种)
特点:
这类展开图中,最长的一行(或一列)有3个正方形(如图7~图10)。
理解:
在“231型”中,“3”所在的行(列)必须在中间,“2”、“1”所在行(列)分属两边(前后不分),且“2”与“3”同向,“1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边,这种情况共有3种,而“33型”只有1种。
三、“222型”(只有1种)
特点:
展开图中,最多只有2个面直线相连(图11)。
评注:
⑴将上面11个图中的任意一个,旋转一定角度或翻过来,看上去都与原图似有不同,但这只是图形放置的位置或方式不同。
实际上,它与原图能够完全重合,不能算作一个独立的新图,而从上面11个图中任取两个,不论怎样操作(旋转、翻折、平移等),它们都不可能完全重合,即彼此是独立的、不同的图形。
⑵对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图,如果图中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、“凹”字型,就一定不能折成正方体。
概括地说,只要不符合上述“141”、“231”和“33”、“222”的特点,就不能折成正方体。
如图12,如果将其看作“231”型,那么,无论怎么看,“2”和“3”都不是同向,故不能折成正方体。
其实,它属于“123”(或“321”)型。
巧记口诀确定正方体表面展开图
6个相连的正方形组成的平面图形,经折叠能否围城正方体问题,是近年来中考常考题型。
同学们在学习这一知识时常感到无从下手,现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来,供大家参考:
正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁。
十四条边布周围,十一类图记分明:
四方成线两相卫,六种图形巧组合;
跃马失蹄四分开;两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。
现将口诀的内涵解释如下:
将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开,展开成平面图形,需剪7刀,故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图:
一、四方成线两相卫,六种图形巧组合
(1)
(2)(3)(4)
(5)(6)
以上六种展开图可归结为四方连线,即,另外两个小方块在四个方块的上下两侧,共六种情况。
二、跃马失蹄四分开
(1)
(2)(3)(4)
以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形(如图),另外一个小方块的位置有四种情况,即图中四个小方块中的任意一个,这一图形有点像失蹄的马,故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯
这一种图形是两个小方块一组,两两错开,像阶梯一样,故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连
这是确定展开图的又一种方法,也是确定展开图中的对面的一种方法。
如果出现三个相连,则1号面与3号面是对面,中间隔了一个2号面,并且是对面的一定不相连。
1
2
3
五、识图巧排“7”、“凹”、“田”
1
2
3
4
5
(1)
(2)(3)
这里介绍的是一种排除法。
如果图中出现象图
(1)中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的,因为图中1号面与3号面是对面,3号面又与5号面是对面,出现矛盾。
如果图中出现象图
(2)中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的,因为同一顶点处不可能出现四个面的。
如果图中出现象图(3)中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的,因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明:
例1.(2004海口市实验区)下面的平面图形中,是正方体的平面展开图的是()
解析:
本题可用“识图巧排‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。
A、D都有“凹”形结构,B有“田”形结构,故应选C
例2.(2004扬州)马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子,他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.
(注:
①只需添加一个符合要求的正方形;②添加的正方形用阴影表示.)
解析:
本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。
图中具备了三二相连的结构,故本题有四种答案,即小方块的位置有图中所示的四种情况之一。
试一试:
1.(2004浙江金华)下列图形中,不是立方体表面展开图的是()
2.(2004镇江)如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图可以是()
3.(2004海南)如图是一个正方体包装盒的表面展开图,若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数,使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是().
(A)0,-2,1(B)0,1,-2(C)1,0,-2(D)-2,0,1
(2005济南中考题)在正方体的表面上画有如图
(1)中所示的粗线,图
(2)是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图
(1)中剩余两个面中的粗线画入图
(2)中,画法正确的是(如果没有把握,还可以动手试一试)
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