新课标1卷文科数学高考真题及答案0418092827.docx
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新课标1卷文科数学高考真题及答案0418092827
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)文
一、选择题:
每小题5分,共60分
1、已知集合A{xx3n2,nN},B{6,8,10,12,14},则集合AB中的元素个数为
(A)5(B)4(C)3(D)2
2、已知点A(0,1),B(3,2),向量AC(4,3),则向量BC
(A)(7,4)(B)(7,4)(C)(1,4)(D)(1,4)
3、已知复数z满足(z1)i1i,则z()
(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从
1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()
(A)
3
10
(B)
1
5
(C)
1
10
(D)
1
20
5、已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为
1
2
,E的右焦点与抛物线
2
C:
y8x的焦点重合,
A,B是C的准线与E的两个交点,则AB
(A)3(B)6(C)9(D)12
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部
的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”
已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约
有()
(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛
7、已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S84S4,则a10()
(A)
17
2
(B)
19
2
(C)10(D)12
8、函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()
(A)
13
(k,k),kZ
44
(B)(21,23),
kkkZ(C)
44
13
(k,k),kZ(D)
44
13
(2k,2k),kZ
44
9、执行右面的程序框图,如果输入的t0.01,则输出的n()
(A)5(B)6(C)7(D)8
10、已知函数
f(x)
x1x
22,1
log(x1),x1
2
,
且f(a)3,则f(6a)
(A)
7
4
(B)
5
4
(C)
3
4
(D)
1
4
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几
何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何
体的表面积为1620,则r()
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
xa
12、设函数yf(x)的图像与y2的图像关于直线yx对称,且
ff,则a()(A)1(B)1(C)2(D)4
(2)(4)1
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分
13、数列an中
a12,an12an,Sn为an的前n项和,若126
S,则n.
n
14.
31
fxaxx的图像在点1,f1的处的切线过点2,7,则a.
xy20
x2y10
15.若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为.
2xy20
16.已知F是双曲线
2
y
2
C:
x1的右焦点,P是C左支上一点,A0,66,当APF周
8
长最小时,该三角形的面积为.
三、解答题
17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,
2
sinB2sinAsinC.
(I)若ab,求cosB;(II)若B90,且a2,求ABC的面积.
18.(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,BE平面ABCD,
(I)证明:
平面AEC平面BED;
(II)若ABC120,AEEC,三棱锥EACD的体积为
6
3
,求该三棱锥的侧面积.
19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x
(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响,对近8年的宣传
费
x和年销售量yii1,2,,8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
i
(I)根据散点图判断,yabx与ycdx,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(II)根据(I)的判断结果及表中数据,
建立y关于x的回归方程;(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z0.2yx,
根据(II)的结果回答下列问题:
(i)当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值时多少?
(ii)当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
20.
(本小题满分12分)已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C:
22
x2y31
交于M,N两点.(I)求k的取值范围;(II)若OMON12,其中O为坐标原点,求MN.
21.(本小题满分12分)设函数
2xln
fxeax.
(I)讨论fx的导函数fx的零点的个数;(II)证明:
当a0时
fx2aaln
2
a
.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图AB是O直径,AC是O切线,BC交O与点E.
(I)若D为AC中点,证明:
DE是O切线;
(II)若OA3CE,求ACB的大小.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线
C1:
x2,圆
22
C2:
x1y21,以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求
C1,C2的极坐标方程.
(II)若直线C3的极坐标方程为
π
4
R,设C2,C3的交点为M,N求C2MN的面积.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数fxx12xa,a0.
(I)当a1时求不等式fx1的解集;
(II)若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
一、DACCBBB(8)D(9)C(10)A(11)B(12)C
二、填空题(13)6(14)1(15)4(16)126
三、17、解:
(I)由题设及正弦定理可得
2
b=2ac.
又a=b,可得cosB=
222
acb
2ac
=
1
4
⋯⋯6分
(II)由(I)知
2o
b=2ac.因为B=90,由勾股定理得
222
ac=b.
故
22
ac=2ac,的c=a=2.所以△ABC的面积为1.⋯⋯12分
18、解:
(I)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.⋯⋯5分
(II)设AB=x,在菱形ABCD中,又∠ABC=120o,可得
AG=GC=
3
2
x
x,GB=GD=
2
.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可的EG=
3
2
x.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=2
2
x.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积
V=
EACD
1
3
×
1
2
AC·GD·BE=
66
3
x
243
故x=2⋯⋯9分
从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为5.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.⋯⋯12分
19、解:
(I)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方
程式类型.(II)令wx,先建立y关于w的线性回归方程式.由于
8
(ww)(yy)
ii
108.8
i1
d=68
8
1.6
2
(ww)
i
i1
cydw563686.8100.6,
所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w,因此y关于x的回归方程为
y100.668x
(Ⅲ)(i)由(II)知,当x=49时,年销售量y的预报值y100.66849=576.6,
年利润z的预报值z=576.60.24966.32⋯⋯9分
(ii)根据(II)的结果知,年利润z的预报值
z=0.2(100.6+68x)-x=-x13.6x20.12.
所以当
25.
x=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.
2
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.⋯⋯12分
20、解:
(I)由题设,可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点,所以
2k31
1
2
k
1
.
解得
4747
k.
33
4747
所以k的取值范围为(,)
33
.⋯⋯5分
(II)设
Mx1,y1,N(x2,y2).将ykx1代入方程
22
(x2)(y3)1,整理得
22
4(1k)7
(1k)x4(1k)x70.所以1212
xx,xx
22
1k1k
.
OMONcxyy
1212
2
1kxxkxx1
1212
4k1k
1
2
k
8
.
由题设可得
4k1k
2
1k
=12,解得k=1,所以l的方程是y=x+1.
8
故圆心C在l
上,所以MN2.⋯⋯12分
2
xa
21、解:
(I)fx的定义域为0,,fx2e(x0)
x
.
当a≤0时,fx0,fx没有零点;
2x
当a0时,因为e单调递增,
a
x
单调递减,所以fx在0,单调递增,又fa0,
当b满足0<b<
a
4
且b<
1
4
时,f(b)0,故当a<0时fx存在唯一零点.⋯⋯6分
(II)由(I),可设fx在0,的唯一零点为x,当x0,x0时,fx<0;
0
当
xx,时,fx>0.
0
故fx在0,单调递减,在x0,单调递增,所以xx0时,
fx取得最小值,最小值为
fx.
0
2
xa
由于2e00
x
0
,所以
a22
fx2axa1n2aa1n
00
2xaa
0
.
故当a0时,
fx2aa1n
2
a
.⋯⋯12分
23、解:
(I)因为xcos,ysin,所以C1的极坐标方程为cos2,
C的极坐标方程为
2
22cos4sin40.⋯⋯5分
(II)将
4
代入
22cos4sin40,得23240,解得
122,22.故122,即MN2
由于
1
C的半径为1,所以C2MN的面积为
2
2
.⋯⋯10分
24、解:
(I)当a1时,fx1化为x12x11>0.
当x1时,不等式化为x4>0,无解;
当1<x<1时,不等式化为3x2>0,解得21
<<;
x3
当x1,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以fx1的解集为22
︱<<.⋯⋯5分xx
3
x12a,x<1
(II)由题设可得,fx3x12a,1xa,
x12a,xa.
<
所以函数fx的图像与x轴围成的三角形的三个丁点分别为
2a12
A,0,B2a1,0,Ca,a1,△ABC的面积为
33
2
a1.
由题设得
2
3
2
a>6,故a>2.
1
所以a的取值范围为2,.⋯⋯10分
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