第2讲 导数的应用一.docx
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第2讲导数的应用一
第2讲 导数的应用
(一)
【2014年高考会这样考】
1.利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.
2.由函数单调性和导数的关系,求参数的范围.
【复习指导】
本讲复习时,应理顺导数与函数的关系,理解导数的意义,体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用,重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间.
基础梳理
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线l的斜率,切线l的方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.导数的物理意义
若物体位移随时间变化的关系为s=f(t),则f′(t0)是物体运动在t=t0时刻的瞬时速度.
3.函数的单调性
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a,b)上单调递增;
f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a,b)上单调递减.
易误警示
直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线;反之直线是曲线的切线,但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.
两个条件
(1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
三个步骤
求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围.
当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间.
双基自测
1.(2011·山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).
A.-9B.-3
C.9D.15
解析 由已知y′=3x2,则y′|x=1=3
切线方程为y-12=3(x-1),
即y=3x+9.
答案 C
2.(2012·烟台模拟)函数f(x)=x2-2lnx的递减区间是( ).
A.(0,1]B.[1,+∞)
C.(-∞,-1),(0,1)D.[-1,0),(0,1]
解析 函数的定义域为(0,+∞),
又f′(x)=2x-
=2
由f′(x)≤0,解得0<x≤1.
答案 A
3.(2012·长沙一中月考)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小值为( ).
A.1B.
C.
D.
解析 由已知y′=2x-
,令2x-
=1,解得x=1.曲线y=x2-lnx在x=1处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.两直线x-y=0,x-y-2=0之间的距离为d=
=
.
答案 B
4.(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中,ts时运动员相对水面的高度(单位:
m)是t1(t)=-4.9t2+6.5t+10,高台跳水运动员在t=1s时的瞬时速度为________.
答案 -3.3m/s
5.函数f(x)=x3-3x2+1的递增区间是________.
解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
由f′(x)>0解得x<0,或x>2.
答案 (-∞,0),(2,+∞)
考向一 求曲线切线的方程
【例1】►已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在x=2处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
[审题视点]由导数几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点.
解
(1)f′(x)=3x2-8x+5
f′
(2)=1,又f
(2)=-2
∴曲线f(x)在x=2处的切线方程为
y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x
-4x
+5x0-4)
f′(x0)=3x
-8x0+5
则切线方程为
y-(-2)=(3x
-8x0+5)(x-2),
又切线过(x0,x
-4x
+5x0-4)点,
则x
-4x
+5x0-2=(3x
-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,
解得x0=2,或x0=1,
因此经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0,或y+2=0.
首先要分清是求曲线y=f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线.
(1)求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程可先求f′(x0),利用点斜式写出所求切线方程;
(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标,求出切点坐标后再写切线方程.
【训练1】若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,试求k的值.
解 设y=kx与y=x3-3x2+2x相切于P(x0,y0)则
y0=kx0,①
y0=x
-3x
+2x0,②
又y′=3x2-6x+2,∴k=y′|x=x0=3x
-6x0+2,③
由①②③得:
(3x
-6x0+2)x0=x
-3x
+2x0,
即(2x0-3)x
=0.
∴x0=0或x0=
,∴k=2或k=-
.
考向二 函数的单调性与导数
【例2】►已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间.
[审题视点]函数单调的充要条件是f′(x)≥0或f′(x)≤0且不恒等于0.
解
(1)对f(x)求导,得f′(x)=3x2-2ax-3.
由f′(x)≥0,得a≤
.
记t(x)=
,当x≥1时,t(x)是增函数,
∴t(x)min=
(1-1)=0.
∴a≤0.
(2)由题意,得f′(3)=0,即27-6a-3=0,
∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3.
令f′(x)=0,得x1=-
,x2=3.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
-
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
∴当x∈
,[3,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈
时,f(x)单调递减.
函数在指定区间上单调递增(减),函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0),只要不在一段连续区间上恒等于0即可,求函数的单调区间解f′(x)>0(或f′(x)<0)即可.
【训练2】已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
解 f′(x)=ex-a,
(1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,
即f(x)在R上递增,
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.
因此f(x)的递增区间是[lna,+∞).
(2)由f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立.
∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.
又∵-2 当a=e3时f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,f′(x)<0, 即f(x)在(-2,3)上为减函数, ∴a≥e3. 故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上单调递减. 考向三 利用导数解决不等式问题 【例3】►设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证: 当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1. [审题视点]第 (2)问构造函数h(x)=ex-x2+2ax-1,利用函数的单调性解决. (1)解 由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln2,于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2],单调递增区间是[ln2,+∞), f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由 (1)知当a>ln2-1时,g′(x)的最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对∀x∈[a,b]都有f(x)≥g(x),可设h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可. 【训练3】已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex (1)若函数没有零点,求实数m的取值范围; (2)当m=0时,求证f(x)≥x2+x3. (1)解 由已知条件f(x)=0无解, 即x2+mx+m=0无实根, 则Δ=m2-4m<0,解得0 (2)证明 当m=0时,f(x)=x2ex 设g(x)=ex-x-1,∴g′(x)=ex-1, g(x),g′(x)随x变化情况如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) g′(x) - 0 + g(x) 0 由此可知对于x∈R,g(x)≥g(0) 即ex-x-1≥0,因此x2(ex-x-1)≥0,整理得 x2ex≥x3+x2,即f(x)≥x3+x2. 阅卷报告2——书写不规范失分 【问题诊断】利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容,这类问题求解并不难,即只需由f′x>0或f′x<0,求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分. 【防范措施】对于含有两个或两个以上的单调增区间或单调减区间,中间用“,”或“和”连接,而不能用符号“∪”连接. 【示例】►设函数f(x)=x(ex-1)- x2,求函数f(x)的单调增区间. 错因 结论书写不正确,也就是说不能用符号“∪”连接,应为(-∞,-1)和(0,+∞)实录 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)·(x+1),令f′(x)>0得,x<-1或x>0. 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(0,+∞). 正解 因为f(x)=x(ex-1)- x2, 所以f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)·(x+1). 令f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0,得x<-1或x>0. 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞). 【试一试】设函数f(x)=ax3-3x2,(a∈R),且x=2是y=f(x)的极值点,求函数g(x)=ex·f(x)的单调区间. [尝试解答] f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). 因为x=2是函数y=f(x)的极值点. 所以f′ (2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1, 经验证,当a=1时,x=2是函数f(x)的极值点, 所以
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- 第2讲 导数的应用一 导数 应用