椭圆与双曲线椭圆与双曲线弄混了.docx

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椭圆与双曲线

一、知识网络

二、高考考点

1.椭圆与双曲线的定义、国际标准方程与几何性质；

2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；

3.直线与单位向量的问题：

对称问题；最值问题；范围问题等；

4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；

5.以圆锥曲线为主要内容的综合主要用途症结；

6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。

三、知识要点

（一）椭圆Ⅰ定义与推论1、定义1的的认知设M

为圆锥上任意一点，

分别为椭圆两焦点，

分别为椭圆长轴端点，则

有

（1）明朗的等量关系：

（解决双焦点半径聚焦点问题的首选公式）

（2）隐蔽的不等关系：

，

（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）

2、定义2的推论

根据椭圆第二描述，设

为椭圆

上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：

（d1为点M到左准线l1的距离）

（d2为点M到右准线l2的距离）

由此导出椭圆的焦点半径公式：

Ⅱ标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程

中心在原点，焦点在x

轴上的椭圆质量标准方程①

中心在原点，焦点在y

轴上的椭圆标准方程

②

（1）标准方程①、②中的a、b、c

具有相同的意义与相同的联系：

（2

）标准方程①、②统一形式：

2

、椭圆的几何性质

（1

）范围：

（有界曲线）

（2）对称性：

关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）

（3

）顶点与轴长：

顶点予a、b名称与几何意义）

，长轴2a，短轴2b（由此赋

（4

）离心率：

（5）

刻画圆形的扁平程度

准线：

左焦点

对应的左准线

右焦点

对应的右准线

椭圆共性：

若两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为

；

中心到准线的距离为

Ⅲ挖掘与引申

；焦点到相应准线的距离为.

1、最能体现特殊联系的椭圆的方程

（1

）共焦距的椭圆的方程

且

（2

）同离稳态的椭圆的方程

且

2、弦长公式：

设斜率为k的直线l

与椭圆交于不同两点

则

；

，

或

（二）双曲线Ⅰ、定义与推论1．定义1的认知

。

设M

为双曲线上为任意一点，点，则有：

（1）明朗的等量关系：

（2）隐蔽的不等关系：

2．定义2的推论

分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端

（解决双焦点宽度问题的间距首选公式）

，

（某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）

设右焦点，则有

为双曲线

上任意上点，分别为双曲线左、

，其中，为焦点

到相应准线li

的距离

推论：

焦点半径公式当点M

在双曲线右支上能时，当点M

在双曲线左支上能时，

Ⅱ、标准方程与二维性质3．双曲线的标准公式

；

。

中心在原点，焦点在x

轴上的双曲线标准常数为

①

中心在原点，焦点在y

轴上的抛物线标准方程为

（1）标准方程①、②中的a、b、c

具有相同的意义与相同的联系：

（2

）标准方程①、②的统一形式：

②

或：

（3

）椭圆椭圆与圆锥标准方程的统一形式：

4

．双曲线（1

）范围：

的几何性质

（2）对称性：

关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）

（3）顶点与轴长：

顶点

（由此赋予a,b名称与几何意义）

（4

）离心率：

（5）

准线：

左焦点

对应的左准线

；右焦点

对应的右准线

双曲线共性：

准线垂直于实轴；

两准线间距离为；

中心到准线的距离为

；

焦点到相应准线的距离为

（6

）渐近线：

双曲线的渐近线方程：

Ⅲ、挖掘与延伸

1．具有特殊有著联系的双曲线的方程

或：

（3

）圆形椭圆与双曲线标准方程的统一形式：

4

．双曲线（1

）范围：

的几何性质

（2）对称性：

关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）

（3）顶点与轴长：

顶点

（由此赋予a,b名称与几何意义）

（4

）离心率：

（5）

准线：

左焦点

对应的左准线

；右焦点

对应的右准线

双曲线共性：

准线垂直于实轴；

两准线间距离为；

中心到准线的离为

；

焦点到相应准线的距离为

（6

）渐近线：

双曲线的渐近线方程：

Ⅲ、挖掘与延伸

1．具有例如联系的双曲线的方程

对于双曲线（※）

（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：

c2=λ+μ;

（2）

当

为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程：

；

（3

）以直线为渐近线的双曲线（系）方程为：

特别：

与双曲线

（左边相同，区别却仅在于右边的常数）

2．弦长公式

设斜率为k的直线l

与双曲线退还于不同两点

一共共渐近线的双曲线的方程为：

则

经典例题1、

（1）若椭

圆。

的一个焦点是（-2，0），则a等于

（2

）已知椭圆

的焦点为F1、F2，点P

是其上的动点，当

为钝角时，

点P的横坐标的取值范围为。

分析：

（1）从此椭圆的标准方程切入。

由题设知已知得：

这里

由此解得

（2）这里a=3,b=2,c=

①

∴以线段F1F2

为厚度的圆的方程为

设

又由∴

，则由点P

在椭圆上得：

为钝角得：

②

∴

由①、②联立，解得：

∴所求点P

曲线图的取值范围为

点评：

注意到点P对

的大小的影响可用点P

与圆

推出

相对位置关系来反

的范围，请爸爸妈妈尝试和比

映，故选择这一解法。

当然，本题亦可由较。

2、

已知

为椭圆的两个焦点，过

的直线交椭圆于P、Q

两点，

且

，求椭圆的离心率。

分析：

不防设椭圆方程为，为等腰直角三角形，注意

到这一三角形含有两点P、Q处与的两条焦点半径，通过故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。

解：

设椭圆方程为

设

，则由

为等腰

得：

又由椭圆第一定义得

∴

∴

即

注意到∴

∴

即

的周长为4a

①为

，

②②′

因此，①代入②′得

由此解得∴

点评：

这里对条件运用颇为充分：

两次运用球状定义，第一次用于导出①，第二项用于导

出②；两次运用用

为

条件：

第一次利用

为等腰

表示出

，第二次利

导出②′。

充分利用题设条件，也是解题成功的保证之一。

3、

已知双曲线

，

成等比数列且

的左、右两个焦点为

，求双曲线方程。

，P

为双曲线上的点，又

分析：

这里要求b

的值。

注意到的定理或不等式。

由题设得

，为了求b，首先要从题设条件入手寻找关于b，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利

用双曲线的焦点问题半径公式。

因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。

解：

这里

∵

，即

（4的特殊性），

∴点P在双曲线右支上

设点

，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上以得

又由题设得∴

①代入②得

再注意到由∴

∴

即

于是③、④得而

①

②

③

得，

④

⑤

，所以由⑤得b=1

因此，所求双曲线方程为：

点评：

这里对已知条件

的两次运用：

第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P

（将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的

在双曲线右支上；第二次“细”

用，利用

范围：

。

粗细结合，将如上所述条件运用得建构酣畅淋漓。

4、

设椭圆

的焦点为，P为椭圆上一点，的最大

值为。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。

分析：

中

的最大值为

的最小值为

，循着特殊

的最小值切

相辅相成与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。

解：

（1

）设

则在

=，中由余弦定理得

，

中会运用余弦定理推导

，

即①

∴

的最小值为

又由题设知

的最大值，即

的最小值为

∴

∴

即a=2b

∴

（2）由已知椭圆方程为

②

由题设知直线l不垂直于x轴设直线l

的方程为

设

则由直线l

与圆

将③代入②得：

∴

④代入⑤得

相切得：

⑤

④

③

∴直线l与椭圆交叉点于不同两点

又由韦达定理得：

∴

，

⑥

∴

（当且仅当

的最大值为2b

（当

时取得）（此时

，即时等号成立）

∴由题设得

）⑦

∴a=2b=4⑧

进而由④得

，即

⑨

因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为直线l的方程为

或

，

点评：

这里导出的①式为此类问题的共同理论指导：

设P为椭圆上任

意一点，

，则最小值为

据此

若

的最大值为

，则（即）；

若

的最大值为

，则

（即）；

若

的最大值为

，则

（即）。

5、已知斜率为1的直线l

与离心率为两点，又直线l与y轴交于点R

，且

的双曲线

，

交于P、Q

，求直线和双曲线方程组。

分析：

主要借力已知条件借助向量表出，故主要问题是认知主要就已知条件，进而根据问题的具体情况或进行推理或转化。

解：

由

得

，

①

，直线l

的方程为

②

∴双曲线方程为

设

将②代入①得

对于方程③，

③恒成立

由韦达定理得

∵

∴

即

④⑤

由此得

又由题设得

，故得

⑥

∴

由④、⑥联立解得

将⑦代入⑤得

再注意到

∴

将⑦、⑧代入⑨得

解得∴

，

⑦

⑧得

⑨

⑩

因此，由①，②得所求双曲线定理为

所求直线方程为

点评：

，

（Ⅰ）关于此类直线与圆锥曲线相交的风险问题，对于交点坐标系的处置适当与否，成为程式设计繁简成败的关键。

于是，围绕着对交点月面的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：

解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。

在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，

请同学们警觉品悟这里“解”的分寸的把握。

（Ⅱ）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：

已知式（

已知式（

6、

已知

，

）→转化→代入→结论⑧；

）→转化→代入→结论⑩。

同学们应注意学习这样与追求这种解题的明晰与漂亮。

（1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程；

（2）

若直线试求m的取值范围。

分析：

对于

（1），从已知条件入手，利用表示向量的坐标表示需要进行推理；

对于

（2），此类关于直线与圆锥曲线的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。

解：

（1

）由已知得∴

由

得

，

与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），

且有

，

，得

∴所求点P的轨迹C

的方程为：

（2

）设

则将l的方程代入①得

，弦AB的中点

①

，

②

由题意得③

且

④

∴

即中点M

的坐标为

注意到

点D在弦AB的垂直平分线上

∴

∴

于是将⑤代入③得（，且

，且

））⑤或⑥

此时再注意到由⑤得

（关于k的二次函数隐含范围的发掘）⑦

于是由⑥、⑦所求m的取值范围

点评：

（1

）认知已知条件，这时将其向基本的弦长或弦中点转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本水平线思路之一；

（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的用到值域的发掘与运用：

在这里，为k

的二次函数，又由这里，故。

因此

可解关于k的二次函数m的取值范围：

知这一些，便会导出。

这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认

的错误结果。