空间立体几何建系练习题.docx
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空间立体几何建系练习题
空间立体几何建系设点专题
引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空间直角坐标系进行向量运算,而如何建立恰当的坐标系,成为用向量解题的关键步骤之一•所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算
1、如图所示,四棱锥P—ABCD中,AB_AD,CD_AD,PA_底面ABCD,
PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:
BM//平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN_平面PBD;
(3)
求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
19.(本題满分直分)
正方形曲与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2t点E%AB的中点.
(1)求证:
轲"平面A^DEt
(H)求二面角DSE①的大卜
(III)求多面体AyDyDBE的休积*
3.已知多面体ABCDE中,AB丄平面ACD,DE丄平面ACD,AC=AD=CD=DE
=2a,AB=a,F为CD的中点.
4.如图,四边形ABCD是正方形,PB丄平面ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA,
(I)证明:
AC//平面PMD;
(U)求直线BD与平面PCD所成的角的大小;
(川)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小。
5.已知斜三棱柱ABC-AB。
.BCA=90“,AC二BC=2,A在底面ABC上
的射影恰为AC的中点D,又知BA_ACi
(I)求证:
ACi_平面ABC;
(II)求CCi到平面AAB的距离;
(III)求二面角A-AB-C的大小。
6.(湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高都为2,AB=4.
(1)证明:
PQ丄平面ABCD;
(2)求异面直线AQ与PB所成的角;
(3)
求点P到平面QAD的距离.
7.(全国卷U理科第19题)在直三棱柱ABC-ABQi中,AB=BC,D、E分别
为B%AG的中点.
(1)证明:
ED为异面直线BBi与ACi的公垂线;
(2)设AA=AC=:
:
;2aB,求二面角几-AD-G的大小.
8.如图,平面PAC_平面ABC,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,
E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA二PC=10.
(I)设G是OC的中点,证明:
FG//平面BOE;
(II)证明:
在ABO内存在一点M,使FM_平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
9.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,
AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、
AA1、AB的中点。
(1)证明:
直线EE1//平面FCC1;
(2)
求二面角B-FCi-C的余弦值。
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.
已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2.2,PAB=60.
(I)证明AD_平面PAB;
(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
(川)求二面角P-BD-A的大小.
高三立几建系设点专向练习
1.在正方体A—Ci中,E、F分别为DiCi与AB的中点,
所成的角的正弦值为()
A.sin空B.sin—3
33
2.如图,正三棱柱ABC-ABG中,
则AiBi与截面AiECF
值为()
6
C.sin-
2
则AC与平面
D•都不对
ab=aa,
bbcc所成的角的正弦
2
3
3.已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,
求异面直线BD与BiC的距离。
4.四棱椎P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PCD为正三角形,平面PCD_平面ABCD,PB_AC,E为PD中点.
(1)求证:
PB//平面AEC
(2)求二面角E—AC—D的大小.
5.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA_平面ABCD,
.ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:
AE_PD;
⑵若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为于,求二
面角E-AF-C的余弦值.
6.如图,ABCD是边长为a的菱形,且/BAD=60°,
△PAD为正三角形,且面PAD丄面ABCD
(1)求COS〈AB,PD〉的值;
(2)若E为AB的中点,F为PD的中点,求|EF|的值;
(3)求二面角P—BC—D的大小
7.如图,四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD,PC丄AD.底面ABCD为梯形,AB//DC,AB_BC.PA二AB二BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:
平面PAB丄平面PCB;
(2)求证:
PD//平面EAC;
(3)(理)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
8.三棱锥C-OAB的底面OAB是边长为4的正三角形,CO_平面OAB且
CO=2,设D、E分别是OA、AB的中点。
(I)求证:
OB//平面CDE;
(II)求二面角O-DE-C的余弦值.
9.如图所示,AF、DE分别是圆O、圆Oi的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,
AD=8.BC是圆O的直径,AB=AC=6,OE//AD.
(I)求二面角B-AD-F的大小;
(II)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
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