高中数学第十章《概率与统计》复习备考策略.docx
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高中数学第十章《概率与统计》复习备考策略
高中数学第十章《概率与统计》复习备考策略
【命题热点】
概率与统计是高考中相对独立的一块内容,处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量,该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力;概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征;离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点,难度多为中低档类题目,特别是与统计内容的渗透,背景新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
命题热点一 概率与统计的综合应用
[典例1] (2019·仙桃模拟)(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
学/审/题►
①看到表格,想到表中最高气温与天数的对应关系
②看到估计概率,想到频率与概率的关系可得估计值
③看到酸奶的利润,想到进货成本与售价,注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理
学/规/范►
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ①,(2分)
由表格数据知,最高气温低于25的频率为
=0.6,(4分)
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(5分)
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,
则Y=6×450-4×450=900 ②;(6分)
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300 ③;(7分)
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100 ④;(8分)
所以Y的所有可能值为900,300,-100.(10分)
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
=0.8,(11分)
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.(12分)
防/失/误►
①处注意结合题意将需求量不超过300瓶转化为最高气温的关系问题,再利用频率估计概率,易不理解题意失误.
②③④处注意结合气温区间及需求量的关系,计算出Y值,易忽视卖不完的要降价处理.
通/技/法►
解决概率与统计综合问题的一般步骤
[跟踪训练]
1.(2019·桂林、贺州、崇左联考)在某大学的自主招生考试中,所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人.
(1)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分;
(2)求该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的考生人数;
(3)如果参加本次考试的考生中,恰有2人的两科成绩等级均为A,在至少有一科成绩等级为A的考生中,随机抽取2人进行访谈,求所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率.
解:
(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,
所以该考场有考生10÷0.25=40(人).
“数学与逻辑”科目中成绩等级为D的频率为1-0.075-0.2-0.25-0.375=0.1.
该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分为
[1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075)]÷40=2.9(分).
(2)依题意知该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的人数为40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3.
(3)因为两科考试中,共有6人次的成绩等级为A,又恰有2人的两科成绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目的成绩等级为A.
设这4人为甲、乙、丙、丁,其中甲,乙是两科成绩等级都是A的学生,在至少一科成绩等级为A的4位考生中,随机抽取2人进行访谈包含的基本事件有{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁},共6个,
其中所抽取的2人的两科成绩等级均为A的事件为{甲,乙},
所以所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率为
.
命题热点二 随机变量的期望及综合应用
[典例1] (2017·全国Ⅲ卷)(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
学/审/题►
①看到表格,想到表中最高气温与天数的关系及气温与酸奶的需求量的关系
②看到一天中酸奶的需求量,想到表格中关系可求解
③看到EY的最值问题,想到利用进货量n表示EY,建立函数关系后可求解.
学/规/范►
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500 ①,(2分)
由表格数据知,
P(X=200)=
=0.2,P(X=300)=
=0.4,
P(X=500)=
=0.4.(5分)
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(6分)
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500 ②,(7分)
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n ③,
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n ④;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n ⑤;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n(9分)
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n ⑥;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n ⑦;(11分)
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n,
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.(12分)
防/失/误►
①处易出现题意理解错误,导致求错X的取值.
②处易忽视题意中需求量n的范围.
③④⑤⑥⑦处易忽视酸奶的利润Y取决于酸奶的需求量及售不完的也要当天处理完,导致Y值求错.
通/技/法►
求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型
[跟踪训练]
1.(2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
[思维导引]
(1)先根据二项分布的概念判断并求解相应概率及其最值;
(2)利用离散型随机变量的期望的性质求解并根据概率的意义进行判断.
解析:
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C
p2.(1-p)18.因此f′(p)=C
[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C
p(1-p)17(1-10p).
令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由
(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
命题热点三 统计案例
[典例2] (本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据
(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程.
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据
(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
学/审/题►
①看到判断属于哪种回归模型,想到散点图的分布趋势
②看到求回归方程,想到利用最小二乘法求回归系数
③看到预报值,想到代入回归方程
④看到利润最大,想到利润=收益-成本,列出利润表达式,利用函数性质求最值.
学/规/范►
(1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+d
适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 ①.(3分)
(2)令ω=
,先建立y关于w的线性回归方程.
=
-d
=563-68×6.8=100.6,
所以y关于ω的线性回归方程为
=100.6+68w,
因此y关于x的回归方程为
=100.6+68
②.(7分)
(3)①由
(2)知,当x=49时,
年销售量y的预报值
=100.6+68
=576.6,
年利润z的预报值
=576.6×0.2-49=66.32 ③.(9分)
②根据
(2)的结果知,年利润z的预报值
=0.2(100.6+68
)-x=-x+13.6
+20.12.
所以当
=
=6.8 ④.即x=46.24时,
取得最大值.(11分)
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)
防/失/误►
①处易判断方程类型错误,注意充分利用散点图联想函数图像特征作出判断.
②处求回归方程时易计算失误,注意要强化计算能力.
③处无法表达出利润表达式而失分,注意借助于函数知识解决.
④处未用二次函数求最值导致失分,注意判断函数类型及换元法的使用.
通/技/法►
[跟踪训练]
2.(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:
=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
[思维导引] 根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值,再根据题中给出的折线图进行对照说明.
解:
(1)利用模型①,2018年对应t=19,
∴
=-30.4+13.5×19=226.1.
利用模型②,2018年对应t=9.
∴
=99+17.5×9=256.5.
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势,2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
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- 概率与统计 高中数学 第十 概率 统计 复习 备考 策略