八上数学 第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选含答案.docx
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八上数学 第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选含答案.docx
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八上数学第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选含答案
八年级数学上册第一章勾股定理
知识点+易错题精选
1、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:
满足的三个正整数,称为勾股数。
勾股定理易错题精选
一.选择题
1.以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4B.6,8,10C.5,8,13D.12,13,14
2.用四个边长均为a、b、c的直角三角板,拼成如图中所示的图形,则下列结论中正确的是( )
A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2﹣2ab+b2D.c2=(a+b)2.
3.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都是矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为( )
A.360B.400C.440D.484
4.如图,甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数( )
A.3B.4C.5D.6
5.下列说法中正确的是( )
A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c2
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的方格的边长均为1,则点A到边BC的距离为( )
A.B.C.D.3
7.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A.b2﹣c2=a2B.a:
b:
c=3:
4:
5
C.∠C=∠A﹣∠BD.∠A:
∠B:
∠C=9:
12:
15
8.某中学旁边有一块三角形空地,为了保持水土,美化环境,全校师生一齐动手,在空地的三条边上栽上了树苗(如图).已知三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,那么这块空地的形状为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定
9.长方形门框ABCD中,AB=2m,AD=1.5m.现有四块长方形薄木板,尺寸分别是:
①长1.4m,宽1.2m;②长2.1m,宽1.7m;③长2.7m,宽2.1m;④长3m,宽2.6m.其中不能从门框内通过的木板有( )
A.0块B.1块C.2块D.3块
10.如图铁路上A,B两点相距40千米,C,D为两村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A和B,DA=24千米,CB=16千米.现在要在铁路旁修建一个煤栈E,使得C,D两村到煤栈的距离相等,那么煤栈E应距A点( )
A.20千米B.16千米C.12千米D.无法确定
二.填空题
11.已知直角三角形的三边分别为6、8、x,则x= .
12.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为 .
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为 .
14.观察下列式子:
当n=2时,a=2×2=4,b=22﹣1=3,c=22+1=5
n=3时,a=2×3=6,b=32﹣1=8,c=32+1=10
n=4时,a=2×4=8,b=42﹣1=15,c=42+1=17…
根据上述发现的规律,用含n(n≥2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a= ,b= ,c= .
15.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,则此三角形的形状是 三角形.
16.已知一个三角形的三条边的长分别为、和,那么这个三角形的最大内角的大小为 度.
17.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,AD=13cm.求四边形ABCD的面积= cm2.
18.如图,在一次测绘活动中,某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船,测得船B在点A北偏东75°方向150米处,船C在点A南偏东15°方向120米处,则船B与船C之间的距离为 米(精确到0.1m).
19.上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测得∠BAC=60°,点C在点B的正西方向,海岛B与灯塔C之间的距离是 海里.
20.如图是一段楼梯,∠A=30°,斜边AC是4米,若在楼梯上铺地毯,则至少需要地毯 米.
二.解答题
21.如图,你能用它验证勾股定理吗?
(提示:
以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积)
22.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.试判断△ACD的形状,并说明理由.
23.问题情境:
在综合与实践课上,同学们以“已知三角形三边的长度,求三角形面积”为主题开展数学活动,小颖想到借助正方形网格解决问题.图1,图2都是8×8的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.
操作发现:
小颖在图1中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点,同时构造正方形BDEF,使它的顶点都在格点上,且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出了△ABC的面积.
(1)在图1中,小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ,BC= ,AC= ;△ABC的面积为 .
解决问题:
(2)已知△ABC中,AB=,BC=2,AC=5,请你根据小颖的思路,在图2的正方形网格中画出△ABC,并直接写出△ABC的面积.
24.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否而需要暂时封锁?
请通过计算进行说明.
25.某研究性学习小组进行了探究活动.如图,已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处,竹梯AB=13m,梯子底端离墙角的距离BO=5m.
(1)求这个梯子顶端A距地面有多高;
(2)如果梯子的顶端A下滑4m到点C,那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离
BD=4m吗?
为什么?
(3)亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动,在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值,会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗?
26.如图,圆柱形容器高12cm,底面周长24cm,在杯口点B处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处,
(1)求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离;
(2)若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑,4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜,求蚂蚁的平均速度至少是多少?
参考答案
一.选择题
1.
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形.
【解答】解:
A、22+32=13≠42,不能构成直角三角形,故本选项错误;
B、62+82=100=102,能构成直角三角形,故本选项正确;
C、52+82=89≠132,不能构成直角三角形,故本选项错误;
D、122+132=313≠142,不能构成直角三角形,故本选项错误;
故选:
B.
2.
【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其中小四边形也为正方形,大正方形的面积可以由边长的平方求出,也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求,两种方法得出的面积相等,利用完全平方公式展开,合并后即可得到正确的等式.
【解答】解:
由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,
里边的小四边形也为正方形,边长为b﹣a,
则有c2=ab×4+(b﹣a)2,
整理得:
c2=a2+b2.
故选:
A.
3.
【分析】延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,可得四边形AOLP是正方形,然后求出正方形的边长,再求出矩形KLMJ的长与宽,然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解:
如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,
所以,四边形AOLP是正方形,
边长AO=AB+AC=6+8=14,
所以,KL=6+14=20,LM=8+14=22,
因此,矩形KLMJ的面积为20×22=440.
故选:
C.
4.
【分析】OA1=1,OA2==,OA3==,找到OAn=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数.
【解答】解:
找到OAn=的规律,
所以OA1到OA25的值分别为,,……,
故正整数为=1,=2,=3,=4,=5.
故选:
C.
5.
【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和,且斜边对角为直角,根据此就可以直接判断A、B、C、D选项.
【解答】解:
在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和,且斜边对角为直角.
A、不确定c是斜边,故本命题错误,即A选项错误;
B、不确定第三边是否是斜边,故本命题错误,即B选项错误;
C、∠C=90°,所以其对边为斜边,故本命题正确,即C选项正确;
D、∠B=90°,所以斜边为b,所以a2+c2=b2,故本命题错误,即D选项错误;
故选:
C.
6.
【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长,然后得到三角形是等腰三角形,进而利用勾股定理求出AD的长即可.
【解答】解:
根据勾股定理可知:
AB==,AC==,BC==,
则△ABC是等腰三角形,
过点A作AD⊥BC,垂足为D,
即BD=CD=BC=,
AD===,
即点A到BC的距离为.
故选:
C.
7.
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可.
【解答】解:
b2﹣c2=a2
则b2=a2+c2
△ABC是直角三角形;
a:
b:
c=3:
4:
5,
设a=3x,b=4x,c=5x,
a2+b2=c2,
△ABC是直角三角形;
∠C=∠A﹣∠B,
则∠B=∠A+∠C,
∠B=90°,
△ABC是直角三角形;
∠A:
∠B:
∠C=9:
12:
15,
设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x,
则9x+12x+15x=180°,
解得,x=5°,
则∠A、∠B、∠C分别为45°,60°,75°,
△ABC不是直角三角形;
故选:
D.
8.
【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49,根据三边的长判断三角形的形状即可.
【解答】解:
∵三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗株距均为1米,
∴三边的长分别为13米、47米、49米,
假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x,
则:
x2=132+472=2378,
∵492=2401>2378,
∴该三角形为钝角三角形.
故选:
B.
9.
【分析】求出长方形门框的对角线长,宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过.
【解答】解:
门框的对角线长是:
=2.5m.
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