高中苏教数学课件必修一第3章341第2课时.docx
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高中苏教数学课件必修一第3章341第2课时
第2课时用二分法求方程的近似解
教师用书独具演示
•三维目标
1.知识与技能
、掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤,会用二分法求方程的近似解.
2.过程与方法
体会通过取区间中点,应用零点存在性定理,逐步缩小零点所属区间的范围,而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想,渗透算法思想.
3.情感、态度及价值观
在灵活调整算法,在由特殊到一般的认识过程中,养成
良好的学习品质和思维品质,享受数学的无穷魅力.
•重点、难点重点:
用二分法求方程的近似解.
难点:
二分法的思想及应用.
•教学建议
1.关于二分法基本思想和精确度概念的理解的教学建
议:
学生在学习本堂课内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻,对精确度的理解会有困难.教学中可恰当地借用生产生活中的事例,使学生在解决实际问题的实践应用中充分体会“无限逼近”的思想以及精确度在“二分”中的作用.
2.关于用二分法求给定方程近似解的步骤和过程的教学建议:
用二分法求给定方程近似解的步骤和过程中渗透了程序解法所蕴含的算法思想,同时由于数值计算较为复杂,对获得给定精确度的近似解增加了困难.教学中可恰当地使用信息技术工具,将本课内容制作成课件给学生充分展示计算的步骤和过程,引导学生观察、计算、思考,理解问题的本质,从而得出结论,同时让学生利用科学计算器自己动手实践,感知和体会近似思想、逼近思想、算法思想.
•教学流程
创设问题情境,结合实例,引出二分法的定义
利用科学计算器或信息技术工具,引导学生理解二分法基本思想,体会近似思想、逼近思想、算法思想
通过例3及其互动探究,使学生掌握用二分法求方程近似解的方法
归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识
完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正
演示结束
課询自主导学
理敎材自查自测固'’基昭
自主学习区4
1・通过实例理解二分法的概念(难点).
课标2•了解二分法是求方程近似解的解读常用方法.
3•能够借助计算器用二分法求方程的近似解(重点).
二分法的定义
【问题导思】
已知函数f{x)=x~5.
1.试写出正零点所在整数区间.
【提示】[2,3].
2.你能利用示例1的方法把零点所在区间缩小一半吗?
【提示】可以,取区间中点2.5,计算知/
(2)=—1<0,斤2.5)=1.25,知零点在[2,2.5]内.
3.能不能再进一步把区间缩小判断?
【提示】能.取[2,2.5]的中点2.25,计算知斤2.25)=0.0625,而几2)=—1V0,知零点在[2,2.25]内,如此继续下去,便可得到的零点.
对于在区间[。
切上的图象连续不断且加皿)<°的函数y=f(x),通过不断地把函数ZU)的零点所在的区间-分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做一二分法.
課它互动探究
破疑难师生互动提“知能
合作探究区I
二分法的概念
■■■■■■■■■■(
卜例下列函数中,
不能用二分法求零点的是
【思路探究】
③
解答本题可利用二分法的定义,
否具备使用二分法的条件.
【自主解答】四个图象在零点附近的图象都是不间断的,且图象①③④的零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点,图象②的零点两侧同为正值,故不可采用二分法求零占
V八、、•
【答案】⑵
I规律方法I
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:
其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
»变垃训练
已知函数斤劝的图象如图3—4—1所示,其中零点的个数
与可以用二分法求解的个数分别为.
【解析】图象与兀轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的个数为3.
【答案】4,3
「例求函数»=?
+%2-2%-2的一个为正数的零
点(精确到0.1).
【思路探究】先找一个两端点函数值符号相反的区间,然后用二分法逐步缩小零点所在的区间,直到达到要求的近似值,最后确定要求的近似值.
【自主解答】由于_/□)=—2v0,斤2)=6>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,在区间(1,2)内,方程有一解,记为%1,
用二分法逐步计算,得:
/
(1)<0,几1.5)>0,3兀1丘(1,1.5)
/(1.25)<0,口5)>061三(1・25丄5),
X1.375)<0,
斤1・5)>0。
兀1丘(1・375丄5),
/(1.375)<0,/(1.4375)>0^%e(1.375,1.4375),
因为1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4,所以
1.4是函数f(x)=x3+x2-2x~2的一个为正数的零点的近似值.
I规律方法I
用二分法求函数零点近似值的过程中,首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间,此区间选取应尽量小,并且易于计算,再不断取区间中点,把区间的范围逐步缩小,使得在缩小的区间内存在一零点.当达到精确度时,这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点.
判断函数y=x3~x~l在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).
【解】因为/
(1)=-1<0,几1・5)=0・875>0,且函数y=x3-x-l的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,记为羽,用二分法逐次计算,得:
几1)<0,几1.5)>0詁匕(1,1.5),
/(1.25)<0,几1・5)>0。
兀1丘(1・25丄5),
/(1.25)<0,几1・375)>0。
兀1三(1・25丄375),
/(1.3125)<0,介1・375)>0。
兀1^(1・3125丄375),
/(1.3125)<0,介1・34375)>0。
%1丘(1・3125,1.34375).
因为1.3125,1.34375精确到0.1的近似值都为1.3,所以
函数的一个近似零点为1.3.
证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实
数解,并求出这个实数解(精确到0・1)・
【思路探究】构造函数/(兀)=2*+3兀一6f
验证/⑴・/
(2)v0|f|根据图象说明解唯一
利用二分法求近似解
【自主解答】分别画
如图所示:
兀
3-
2-
-2-10
函数y=2"和y=6—3x的图象,
在两个函数图象的交点处,函数值相等,因此,这个点的横坐标就是方程6-3x-2%的解.
由函数歹=2乂和y=6—3兀的图象可以发现,
方程6—3兀=2‘有唯一解,记为jq,
并且这个解在区间(1,2)上.
设»=2x+3x-6,用计算器计算,得
/U)vo,介2)>0乍兀1丘(1,2),
Al)<0,几1.5)>0之1丘(1,1.5),
Xl)<0,斤1・25)>0之1丘(1丄25),
X1.125)<0,几1・25)>0乍兀1丘(1・125丄25),
XI.1875)<0,斤1・25)>0。
兀1丘(1・1875丄25),
/(1.21875)<0,介1・25)>0。
兀1丘(1・21875,1.25),
X1.21875)<0,X1.234375)>0。
力U(1.21875,1.234375).
因为1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为12
所以原方程的近似解为兀]~12
I规律方法I
1.由方程的解与函数零点的等价性知,用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数,转化为求函数的零点近似值问题.
2.求方程f(x)=g⑴的近似值注意的问题:
①确定初值区间时,一般采用图象法,作函数y,y=g(x)的图象,观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围;②实施二分法时,需构造函数F(x)=»-g(x),求F(x)=O的近似解.
将本题方程改为“2—兀=2",如何求方程在(0,1)的近似解(精确到0.1).
【解】分别画出函数y=2\y=2—x的图象(如图所示),方程的解就是两函数图象的交点的横坐标.
由函数尸2r的图象,可以得到方程2“=2r有唯一解,记为兀1,并且在区间(0,1)上.设函数f(x)=2x+x-2,利用计算器可以求得:
几0)呎1)<03兀1丘(0,1);
几0.5)呎1)<0乍羽丘(0.5,1);
几0.5)呎0.75)<03兀1丘(0.5,0.75);
几0.5)呎0.625)v0乍兀1丘(0.5,0.625);
斤0.5)刃0.5625)v03jq2(0.5,0.5625);
斤0・53125)-/(0.5625)<0^xie(0.5312505625);
斤0.53125)呎0.546875)<0。
期e(0.53125,0.546875).
因为0.53125和0.546875精确到0.1的近似值都为0.5,
所以方程的近似解为兀1~0・5・
混淆“精确度”与“精确到”的概念致误
1典例用二分法求方程?
-5=0的一个近似正解(精
确度为0.1).
【错解】令f{x)=x—5,因为斤2.2)=2.22—5=—0.16<0,介2.4)=2.42—5=0.76>0,
所以斤2.2)刃2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点兀0,
取区间(2.224)的中点%i=2.3,
/(2.3)=2.32-5=0.29,
因为几2.2)呎2.3)vO,所以话(2.2,2.3),再取区间(2.2,2.3)的中点也=2.25,/(2.25)=0.0625,
因为几2.2)呎2.25)v0,所以勺W(2.2,2.25),由于12.25-2.21=0.05<0.1,
所以原方程的近似解可取为2.25.
【错因分析】本题错误的原因是混淆了“精确度”与“精确到”的概念,本题错解中误认为“精确度”就是“精确到”.
【防范措施】1•用二分法求方程的近似解,首先是大致区间的确定,使区间长度尽量小,否则会增加运算量,虽然此类问题要求用计算器运算,但也应注意运算的准确性.
2.注意区分“精确度”与“精确到”的概念,精确度0.1是指区间(a,b)满足lb—alvO.l;精确到0.1是指区间(°,b)的端点精确到0.1的值相等.
【正解】令f{x)=X—5,因为7(2.2)=—0.16v0,几2.4)=0.76>0,所以斤2.2)沢2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点兀0,
取区间(2.2,2.4)的中点刃=2.3,几2.3)=0.29,因为斤2.2)沢2.3)<0,
所以対丘(2.2,2.3),
再取区间(2.223)的中点%2=2.25,/(2.25)=0.0625,因为
f(2.2\f(2.25)<09
所以対丘(2.2,2.25),
再取区间(2.2,2.25)的中点兀3=2.225,
7(2.225)^-0.0494,f(2.225\f(2.25)<0,
所以%oe(2.225,2.25).
因为2.225与2.5精确到0.1的近似值都为22所以原
方程的近似解为22
1.
近似值:
在解方程或求函数的零点等问题中,当不能用准确值来表示时,常依据某一要求,用较接近准确值的一个值来表示,则这个值称之为近似值.对取近似值的要求常有“精确度为……”或“精确到……”等.
2.
运用二分法求函数零点应注意以下两点:
(1)条件:
函数y=f(x)的图象在[a,切上为一条连续曲线,且f(a\f(b)<0时,方可使用二分法.
1・若函数几X)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、
(0,4)>(0,2)内,下列结论:
(1)函数几X)在区间(0」)内有零点;
(2)函数伦)在区间(0,1)
或(12)内有零点;
(3)函数几x)在区间[2,16)内无零点;⑷函数几x)在区间
(1,16)内无零点.
其中正确的有(写出所有正确结论的序号).
【解析】结合二分法的原理可知,函数/(%)唯一的一个零点应在区间©2)内,故(3)正确,其余结论均不正确.
【答案】(3)
2.用二分法求方程x3—2x—5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点必=2.5,那么下一个有根区间是•
【解析】设f(x)=x3—2x~5.则/(2.5)=5.625>0,又介2)=—lvO,
・°•下一区间为(2,2.5).
【答案】(2,2.5)
3.下列函数零点不能用二分法求解的是
(2y(x)=lnx+3
(3)/(x)+2\[2x+3
@f(x)=—x2+4x一1
【解析】由函数图象可看出③中函数与兀轴无交点.
【答案】③
4.
利用计算器,求方程l^=2-x的近似解(精确到0」)・【解】作出y=lgx,y=2—x的图象如图所示,可以发现方程lgx—2—x有唯一解,记为心,并且解在区间(1,2)内.设f(x)=\gx-[-x—2,则几巧的零点为和
y=lg%
/I4三
y=2—x
用计算器计算得/
(1)<0,几2)>0。
也^(1,2);
/U.5)vO,斤2)>03勿丘(1.5,2);
X1.75)<0,几2)>0乍恋丘(1・75,2);
X1.75)<0,X1.875)>0^^(1.75,1.875);
X1.75)<0,和・8125)>0。
恋丘(1・75丄8125).
又因为1.75与1.8125精确到0.1都为1.8,所以方程lgx=2—x的近似解为兀0〜1・&
课时作业
(二十)
易拓展因材施敎阔"视野”
资源查找区I
•备迭创题如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸房(设
为4)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障•这是一条
10km长的线路,如何迅速查出故障所在?
如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多・每查一个
点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电线杆子
呢!
想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
每查一
次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50m〜100ni左右,即一两根电线杆附
近,要查多少次?
检查CQ、
一|取有问题的段的中点-
-…一I故障点在50〜100间
【自主解答】
(1)如图所示,他首先从中点C查,用随
身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在仞段,再到CQ段中点E来查•依次类推
闸房
I
A
指挥部
□III
CEDB
(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此只
要7次就够了.
I规律方法I
1・本题是二分法的应用,二分法不仅可用于查找电线、
水管、气管故障,还能用于实验设计、资料查询,也是求根
的常用方法.
2・此方案应该说方便、迅速、准确,而且很科学.在实际生活中处处有数学,碰到问题多用数学方法去思考,会使我们变得更聪明,更具有数学素养.
•备迭娈述
在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同
的假币(质量轻一点),现在只有一台天平,请问:
你最多称
次就可以发现这枚假币?
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
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