高一数学必修一 教案 14 充分条件与必要条件.docx
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高一数学必修一教案14充分条件与必要条件
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.
知识点 充分条件与必要条件
“若p,则q”为真命题
“若p,则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考 若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗?
答案 不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p可以是“x>2”“x>3”或“2 预习小测 自我检验 1.若条件p: 两个三角形相似,q: 两个三角形全等,则p是q的________条件. 答案 必要 2.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的________条件. 答案 充分 3.p: |x|=|y|,q: x=y,则p是q的________条件. 答案 必要 解析 ∵x=y⇒|x|=|y|,即q⇒p, ∴p是q的必要条件. 4.p: a=0,q: ab=0,则p是q的________条件. 答案 充分 一、充分条件的判断 例1 (1)下列命题中,p是q的充分条件的是________. ①p: (x-2)(x-3)=0,q: x-2=0; ②p: 两个三角形面积相等,q: 两个三角形全等; ③p: m<-2,q: 方程x2-x-m=0无实根. 答案 ③ 解析 ①∵(x-2)(x-3)=0, ∴x=2或x=3,不能推出x-2=0. ∴p不是q的充分条件. ②∵两个三角形面积相等,不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件. ③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件. (2)“a>2且b>2”是“a+b>4,ab>4”的________条件. 答案 充分 解析 由a>2且b>2⇒a+b>4,ab>4, ∴是充分条件. 反思感悟 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p⇒q问题. (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,则p是q的充分条件. 跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件. 答案 充分 解析 x>2⇒x2>4,故x>2是x2>4的充分条件. 二、必要条件的判断 例2 在以下各题中,分析p与q的关系: (1)p: x>2且y>3,q: x+y>5; (2)p: 一个四边形的四个角都相等,q: 四边形是正方形. 解 (1)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)由于q⇒p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件. 反思感悟 (1)判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p⇒q为真,则p是q的充分条件,若q⇒p为真,则p是q的必要条件. (2)也可利用集合的关系判断,如条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件. 跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系. (1)p: α为锐角,q: α=45°. (2)p: (x+1)(x-2)=0,q: x+1=0. 解 (1)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. 三、充分条件与必要条件的应用 例3 已知p: 实数x满足3a 实数x满足-2≤x≤3.若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. 解 p: 3a q: -2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}. 因为p⇒q,所以A⊆B, 所以 ⇒- ≤a<0, 所以a的取值范围是- ≤a<0. 延伸探究 1.将本例中条件p改为“实数x满足a 解 p: a q: -2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}. 因为q⇒p,所以B⊆A, 所以 ⇒a∈∅. 2.将例题中的条件“q: 实数x满足-2≤x≤3”改为“q: 实数x满足-3≤x≤0”其他条件不变,求实数a的取值范围. 解 p: 3a q: -3≤x≤0,即集合B={x|-3≤x≤0}. 因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以A⊆B, 所以 ⇒-1≤a<0. 所以a的取值范围是-1≤a<0. 反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用: 可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤: 先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 1.若p是q的充分条件,则q是p的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 答案 B 解析 因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 2.下列命题中,p是q的充分条件的是( ) A.p: ab≠0,q: a≠0 B.p: a2+b2≥0,q: a≥0且b≥0 C.p: x2>1,q: x>1 D.p: a>b,q: > 答案 A 解析 根据充分条件的概念逐一判断. 3.“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件,也是必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 C 4.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是________. 答案 a≤1 解析 因为x>1⇒x>a,所以a≤1. 5.“x2=2x”是“x=0”的________条件,“x=0”是“x2=2x”的________条件(用“充分”“必要”填空). 答案 必要 充分 解析 由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 1.知识清单: (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分性、必要性的判断. (3)充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系. (4)充分条件与必要条件的应用. 2.常见误区: 充分条件、必要条件不唯一;求参数范围能否取到端点值. 1.使x>3成立的一个充分条件是( ) A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2 答案 A 解析 只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3. 2.使x>1成立的一个必要条件是( ) A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2 答案 A 解析 只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A. 3.下列p是q的必要条件的是( ) A.p: a=1,q: |a|=1 B.p: -1 a<1 C.p: a a D.p: a>b,q: a>b+1 答案 D 解析 要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q: a>b+1⇒q: a-b>1⇒p: a>b,故选D. 4.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是( ) A.若 = ,则x=yB.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 = D.若x 答案 A 解析 B项中,x2=1⇒x=1或x=-1;C项中,当x=y<0时, , 无意义;D项中,当x 5.下列命题中,p是q的充分条件的是( ) A.p: a是无理数,q: a2是无理数 B.p: 四边形为等腰梯形,q: 四边形对角线相等 C.p: x>0,q: x≥1 D.p: a>b,q: ac2>bc2 答案 B 6.下列说法不正确的是________.(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件; ②“xy=0”是“x=0且y=0”的充分条件; ③“-2 答案 ② 解析 ②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②不正确;①③正确. 7.条件p: 5-x<0,条件q: x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是__________. 答案 {a|a≤5} 解析 p: x>5,若p是q的充分条件,则p⇒q,也就是说,p对应集合是q对应集合的子集,所以a≤5. 8.下列式子: ①a<0 其中能使 < 成立的充分条件有______.(只填序号) 答案 ①②④ 解析 当a<0 <0< ; 当b < <0; 当b<0 <0< ; 当0 < , 所以能使 < 成立的充分条件有①②④. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件: (1)在△ABC中,p: A>B,q: BC>AC; (2)p: a=3,q: (a+2)(a-3)=0; (3)p: a <1. 解 在 (1)中,由大角对大边,且A>B知BC>AC,反之也正确,所以p既是q的充分条件,也是q的必要条件; 在 (2)中,若a=3,则(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0不一定a=3,所以p是q的充分条件但不是必要条件; 在(3)中,当a=-2,b=-1时, =2>1;当a=2,b=-1时, =-2<1,所以p既不是q的充分条件,也不是必要条件. 10. (1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件? (2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件? 解 (1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件, 则只要 ⊆{x|x<-1或x>3}, 即只需- ≤-1,所以m≥2. 故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件. (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3}⊆ , 这是不可能的. 故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件. 11.对任意实数a,b,c,下列命题中,真命题是( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 答案 B 解析 “a=b”⇒“a-b=0”⇒“(a-b)c=0”⇒“ac=bc”,∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件. 12.已知集合A={x∈R|-1 A.m≥2B.m≤2 C.m>2D.-2 答案 A 解析 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A, 所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2. 13.若A={x|a 答案 {a|a≤-3,或a≥3} 解析 因为A是B的充分条件, 所以A⊆B, 又A={x|a 因此a+2≤-1或a≥3, 所以实数a的取值范围是{a|a≤-3,或a≥3}. 14.已知条件p: x<-1或x>3,条件q: x<-m+1或x>m+1(m>0),若条件p是条件q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________. 答案 {m|0 解析 由题意,设集合A={x|x<-1或x>3},B={x|<-m+1或x>m+1}, 因为条件p是条件q的充分不必要条件,即集合A是集合B的真子集, 所以 或 解得m<2, 又m>0,所以实数m的取值范围是0 15.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 答案 A 解析 因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲. 又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙⇏丙, 如图. 综上,有丙⇒甲,但甲⇏丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 16.若p:
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