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数形结合
摘要
数形结合是数学解题中常用的一种数学思想方法,可以是抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.本文主要从以形助数、以数辅形及数形结合的综合运用的三个方面探讨了数形结合在中学数学中的应用,充分利用数与形结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到较为简单直接的解决.
关键词
数形结合数量关系图像中学数学应用
Abstract
Symbolic-graphiccombinationisamathematicalwayofthinkingcommonlyappliedinsolvingmathematicalproblems,whichcanmakeabstractmathematicalproblemsdirectandvivid.Italsocanmakeabstractthinkingintofigurativethinkingandhelpgraspthenatureofmathematicalproblems.Inordertohaveproblemssolvedeasily,thispapermainlydiscussestheapplicationsinmiddleschoolmathematicsintermsofaidingmathematicalproblemswithgraphics,aidinggraphicswithmathematicalproblemsandsymbolic-graphiccombination,whichneedsmakingfulluseofsymbolic-graphiccombinationtofindoutsolutions,andmakingproblemschangefromdifficulttoeasyandfromcomplicatedtosimple.
Keywords
thecombinationofalgebraandgeometryquantitativerelationimagemiddleschoolmathematicsapplication
目录
1引言……………………………………………………………………………………1
2以形助数,化难为易……………………………………………………………………1
2.1以形助数在最值问题中的应用…………………………………………………1
2.2以形助数在不等式问题中的应用………………………………………………2
2.3以形助数在集合问题中的应用…………………………………………………3
2.4以形助数在函数问题中的应用…………………………………………………4
2.5以形助数在复数问题中的应用…………………………………………………5
2.6以形助数在概率问题中的应用…………………………………………………6
2.7以形助数在方程问题中的应用…………………………………………………6
3以数辅形,化繁为简…………………………………………………………………8
4数形结合综合应用…………………………………………………………………9
5数形结合法应注意的问题……………………………………………………………10
5.1作图严谨,不留漏洞……………………………………………………………10
5.2瞻前顾后,防范主观……………………………………………………………10
5.3全面分析,避免片面……………………………………………………………11
6总结……………………………………………………………………………………11
7参考文献………………………………………………………………………………12
数形结合在中学数学中的应用
1引言
数学是研究空间形式与数量关系的一门学科,而数与形是相互联系的,数形结合就是通过数与形之间的转化来解决数学问题,即“数形结合”揭示了几何中的形与数的统一,为依形判“数”与就数论“形”的相互转化奠定了扎实的基础.这体现了几何与代数的辩证统一.在运用此思想解题时,一些题目较明显,而一些题目需要构造几何图形,构造是创造力的较高表现形式.
数形结合思想方法具备了数的精确性和形的直接性的双重优势,以数精确地分析形,或以形直观地表示数,正如著名的数学家华罗庚说:
“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休
.”可见数与形的结合在数学学习和研究中时非常必要的.根据数与形两者的信息互动转换关系可以将数形结合分为以形助数和以数辅形两种情形.
2以形助数化难为易
以形助数是根据代数问题所蕴涵的几何意义,将代数问题转化成几何问题加以解决,使代数问题几何化,借助几何图形直观的得到问题的结论,通过联想、观察、分析准确画出相对应的图形,建立起数形对应,实现数形转化,使得原本抽象而复杂的问题变得形象化、简易化.
2.1以形助数在最值问题中的应用
以形助数求最值的问题要从函数解析式出发,通过对函数解析式的剖析,构造恰当的几何图形,利用图形中的某些几何量(比如距离、直线斜率、截距等)的变化范围来确定函数的最值.形如:
(或
),
即所给的式子中两个二次式的和的形式来求其最值,便可联想到运用直角坐标平面上两点间的距离公式来解.
例1设
,
,试求:
的最小值.
分析观察可知是圆上的一点,是等轴双曲线上一点,而解析式表示分别在两曲线上动点与间距离的平方.如图2—1所示,从对称性知:
圆和双曲线同时关于直线对称,而直线与两曲线交点,间距离最短,即所求的最小值.
因此最小值为,即.
2.2以形助数在不等式问题中的应用
以形助数处理不等式问题即从题目的条件与结论出发,着重分析其几何含义,从图形上找出解题的思路.某些形如的不等式的解集问题可以转化为函数为的图像位于函数的图像上方的那部分点的横坐标的集合.
例2解不等式.
分析令,则不等式的解就是使的图象在的上方的那段对应的横坐标.
如图2—2所示,不等式的解集为
,
而可由解得而的定义域是,即.由此可得不等式的解集为.
2.3以形助数在集合问题中的应用
以形助数解决集合问题应用广泛,认清集合的特征,准确的转化为图形关系,借助图形(如数轴、集合图形,韦恩图等)能够使问题得到直观具体的解决.比如一些利用韦恩图法能直观地解决集合之间的关系问题,一般用圆来表示集合;或是利用数轴解决集合的有关运算.
例3有48名学生,每人至少参加一个活动小组,参加数理化小组的人数分别为28,25,15,同时参加数理小组的8人,同时参加数化小组的6人,同时参加理化小组的7人,问同时参加数理化小组的有多少人?
分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数(如图2—3),则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用表示集合的元素,则有:
,
即:
,
所以,即同时参加数理化小组的有人.
例4已知集合.
(1)若,求的范围;
(2)若,求的范围.
分析先在数轴上表示出集合的范围,要使,由包含于的关系可知集合应该覆盖集合,从而有:
,这时的值不可能存在.要使:
如图2—3—1所示,当时集合应该覆盖集合,应有成立,即.
如图2—3—2所示,当时,,显然成立.故时的取值范围为:
.
2.4以形助数在函数问题中的应用
面对求函数的定义域问题,有些人常常是顾此失彼,在看到题目后,应该把所有使函数有意义的条件列出,待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来,再逐一判断,这样才能尽量避免失误,得出正确的答案.而对于一些给了的定义域求值域的函数,若只采用代数的方法思考问题,往往会太过于抽象或无从下手.但如果引入函数的图象,就可以使所求的问题具体化,可从图中一目了然,则达到事半功倍的效果.
例5已知函数的定义域是,其中且,求
的定义域.
分析若的定义域为,的定义域分别为、,则,利用数轴分析得知,阴影部分即为所求.如图2—4—1所示.
解因为函数的定义域为,
所以.
若使有意义,必须有,即有.
因为,所以.
又因为,所以.
所以函数的定义域.
例6求函数的值域.
分析就自变量的范围讨论,去掉绝对值,将函数表示为分段函数,画出分段函数的图象,由图象所示,即可得的范围为:
函数的图象如图2—4—2所示,由图象即可得知:
.
2.5以形助数在复数问题中的应用
复数与形的关系是紧密联系的,利用复数及其运算的几何意义,应用数形结合的思想,可以使许多复数问题变得简单、直观.比如求复数模、幅角主值,已知一个复数的数量关系或模的数量关系,能转化为平面图形上点与点或线与线之间的关系,不仅使抽象的复数有了直观形象的表示,而且也使数和形得到了有机结合.
例7设复数满足的最大值.
分析要求的最大值,即求的最小值,由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值.如图2—5所示,可知:
因为满足所以复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点,倾斜角为的射线.
因此由图1—5可得,最小值为==.
故的最大值是=.
2.6以形助数概率问题中的应用
在概率问题中有些问题单纯运用概率的一些公式比较繁琐,而运用几何概型来解决问题就比较简单明了.可以将所要处理的随机试验在几何图形中画出,使得所求的概率区域明了的显示在图形中,那么问题就一目了然了.
例8某码头只能容纳1只船,现知某日将独立来到2只船,且在24小时内各时刻来到的可能性都相等,若它们要停靠的时间分别为3小时与4小时.试求1只船要在江中等待的概率.
分析设分别表示两船到达码头的时间,则.设表示事件“一船要等待空码头”,则发生就意味着:
由几何概率得:
如图2—6所示,事件的概率正好等于正方形中直线与之间的阴影部分的面积与正方形的面积比.
即:
2.7以形助数在方程问题中的应用
以形助数在方程中的应用有多种,形如通过对
的相互转化来讨论二次方程根的分布情况,借助二次函数图像分析可直观解决问题.而方程的解情况,可看作函数与图像的交点的横坐标的情况,利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题,只要我们准确地画出这两个函数的图像,再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点,及交点大致的位置或坐标.
例9已知二次方程,有两个正根,求的取值范围.
分析设,由题设可知,二次函数的图象与轴的交点落在轴的正半轴上.如图2—7—1所示:
所以有或,
解不等式组可得的取值范围是.
例10设方程,试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况.
分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况,因此函数表示平行于轴的所有直线,从而由图像2—7—2可以直观地看出:
当时,与没有交点,这时原方程无解;
当时,与有两个交点,原方程有两个不同的解;
当时,与有四个不同交点,原方程不同解的个数有四个;
当时,与有三个交点,原方程不同解的个数有三个;
当时,与有两个交点,原方程不同解的个数有三个.
3以数辅形化繁为简
以数辅形是指采取代数运算或数量分析的方式对图形的性质加以研究,将几何问题转化为代数问题,也就是使几何问题代数化.在中学中几何问题包括解析几何问题和立体几何问题.以数辅形的应用在解析几何中有很多的例子,在此只列举一例阐释其在立体几何中的妙用.
例11如图3—1所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)设与平面所成的角为,
求二面角的大小.
(Ⅰ)证明作,垂足为,连接,由题设知,底面,且为中点,由知,,从而,于是,由三垂线定理知,.
(Ⅱ)解由题意,,所以⊥侧面,
又侧面,所以侧面⊥侧面.
作,垂足为,连接,则平面,
故为与平面所成的角,且.
由,得.
又,因而,所以为等边三角形,
作,垂足为,连接.
由(I)知,,又,
故平面,,所以是二面角的平面角.则有
所以二面角为.
这是一道高考题,它把数形结合的两个方面都充分的体现出来,任何一道几何证明题解答题都离不开图形,同样图形的性质,线与线之间的角度,距离等等都需要数来体现.几何问题的解答证明把数形结合在解题中的应用体现的淋漓尽致.
4数形结合的综合应用
由数想形、由形思数是数形结合的两个方面,有时又要综合运用,既由图形寻找出数量关系,又通过代数方法加以解决.以形助数、以数辅形结合使用能使复杂的问题简单化,抽象问题形象化.而在解题中运用数形结合的思想解题要掌握两点:
第一,善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系.第二,正确绘制图形,以反映图形中相应的数量关系.把握好这两点,就能游刃有余地运用数形结合思想,快速准确地解题.
例12某公司推销一种产品设件是推销产品的数量,元是推销费,如图表示公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图回答下列问题:
(1)求与的函数解析;
(2)解释图中表示的两种方案是如何推销付费的;
(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案?
分析
(1)由图4—1,已知两点,可根据待定系数法列方程,求出函数关系式;
(2)根据两条直线的截距和斜率,可解释两种方案的推销费用;
(3)由图4—1可看出,两直线的交点为30,当时,可获较多的推销费用,当时,两种方案获得的推销费用一样;当时,可获较多的推销费用.
解
(1)设=,将点代入,可得:
,所以,
设,将点,代入,解得:
,,
所以.
(2)是不推销产品没有推销费,每推销10件产品得推销费200元,是保底工资300元,每推销10件产品再提成100元.
(3)若业务能力强,平均每月能保证推销大于30件时,就选择的付费方案;否则,选择的付费方案.
5数形结合法应注意的问题
“数形结合”它直观、形象,可避免繁杂的计算、证明等,获取出奇制胜的解法.然而,它并不是“万能”的.图形虽然直观、形象,但它是一个部分,而不是全部,甚是有些图形是有误差的,并不准确,所以我们不能以点代面,不能简单地根据图形就获取答案.就是要用到图形,我们在作图时或画草图时也要注意一些细节,不能马虎应付.用数形结合时要注意以下几点.
5.1作图严谨不留漏洞
解题时,不仅要画出相应图形的大致草图,而且要尽量地准确描绘图形;必要时还需要对图形的直观分析给出严密的推理.例如在坐标系中作函数的图像时,我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”.因为我们画出的只是函数图像的一小部分,而不是全部.常言到“知人知面不知心”,同样的,我们从函数图像的部分而知道它的全部,在没画出来的部分图像是怎么样的呢?
我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了.
5.2瞻前顾后防范主观
数形结合解题有独到的效果,但若单凭主观想象,无中生有,则会造成错解.认真观察,注意注意图形的存在合理性,不可“无中生有”.我们可以知道有图像得到的解要认真地分析,看看这些解范围是否都是合理的,来确定答案.
5.3全面分析避免片面
解题时,必须考察图形的所有可能性,来反映代数性质的全貌,以求得问题的完整解答.但是有些问题可以从图像直接解得,要经过认真地分析,而有些问题很难由图像直观而得,值得注意.我们要仔细地观察图像,看看这些图像的位置关系是否都是合理的,是不是漏掉了一些情况呢?
我们只有做到不重不漏,我们保证所得到的答案是准确的.
数形结合的确是一个非常好,也非常实用而且重要的思想方法,应用性强.但它又是一把双刃剑,时时充满诱惑和危险.因此,我们要慎之又慎,要扬长避短,要全面合理分析,直观的同时,辅有严谨的演绎.
6总结
在解决代数问题时想到它的几何图形,从而启发思维,找到解题途径,或者在研究几何图形时利用代数的性质解决问题,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.但在解题中不应过分依赖及片面追求,只需将常见的数形转化类型的题目掌握好,运用好就可以了.在“数”与“形”相互转化过程中,应处处注意转化的等价性.在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法求解.
总之,数形结合思想有助于深化学生对数学知识的理解,为学生进行数学研究提供了有效的方法和策略,拓宽了学生的思路,使学生的抽象思维和形象思维得到共同发展,可以增强思维的灵活性,提高思维品质.教学中要注重这种思想方法的渗透,对蕴涵在数学知识中的数形结合思想适时地予以揭示和提炼,使学生在获取数学知识的同时,还能体会数学思想方法,使学生更好地把握数学本质,提高学生分析问题与解决问题的能力以及开拓创新的能力.
参考文献
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