高考数学二轮专题复习训练 巧做高考题型.docx

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高考数学二轮专题复习训练巧做高考题型

专题二　巧做高考题型

第一讲

六招秒杀选择题——快得分

选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点．注重多个知识点的小型综合，侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力．常用方法分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．

其基本解答策略是：

充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝．

直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

[例1]　（2017·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）

A．1B．2

C．4D．8

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，

则由得

即解得d＝4.

[答案]　C

直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．

1．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则抛物线y2＝－x的焦点坐标为（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选B　由两个正数a，b的等差中项是，得a＋b＝9；a，b的一个等比中项是2，得ab＝20，且a>b，故a＝5，b＝4.又由＝＝2p，得＝，

故抛物线y2＝－x的焦点坐标为.

特例法

从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：

特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．

[例2]　已知ω>0，函数f（x）＝sin在上单调递减．则ω的取值范围是（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.（0,2]

[解析]　根据三角函数的性质利用特殊值法代入逐项判断：

∵ω＝2时，2x＋∈，不合题意，∴排除D.

∵ω＝1时，x＋∈，合题意，∴排除B、C，故选A.

[答案]　A

特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．

2．函数y＝ax－（a>0，a≠1）的图象可能是（　　）

解析：

选D　函数y＝ax－（a>0，a≠1）恒过（－1,0），选项只有D符合，故选D.

排除法

排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．

[例3]　设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有（　　）

A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]

C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]

[解析]　选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；选项C，取x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x＋y]>[x]＋[y]．排除A，B，C，故选D.

[答案]　D

排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．

3．函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为（　　）

解析：

选D　由题意知，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当00，而当x＝π时，y＝－π<0，据此排除选项A，B，C.

数形结合法

根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．

[例4]　设函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若直线y＝kx＋k（k>0）与函数y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.

[解析]　直线y＝kx＋k（k>0）恒过定点（－1,0），在同一直角坐标系中作出函数y＝f（x）的图象和直线y＝kx＋k（k>0）的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.

[答案]　B

涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合法求解．

（1）求解方程根的个数．画出相关的两个函数的图象，则两函数图象的交点个数即是函数零点的个数；

（2）讨论图象交点问题的参数范围，如本例就是利用图象中直线y＝kx＋k（k>0）与函数y＝f（x）图象恰有三个不同的交点，得到实数k的取值范围．

4．（2017·全国卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为（　　）

A．3B．2

C.D．2

解析：

选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（0,0），B（1,0），C（1,2），D（0,2），可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝.

因为P在圆C上，

所以P.

又＝（1,0），＝（0,2），＝λ＋μ＝（λ，2μ），

所以λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3（其中tanφ＝2），当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.

概念辨析法

概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．

[例5]　对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β＝{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex－1＋x－2与g（x）＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（　　）

A．[2,4]　　　　　　　　B.

C.D．[2,3]

[解析]　函数f（x）＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，设g（x）＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f（x）＝ex－1＋x－2与g（x）＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于g（x）＝x2－ax－a＋3＝x2＋3－a（x＋1）必经过点（－1,4），∴要使其零点在区间[0,2]上，则即解得2≤a≤3.

[答案]　D

函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．

5．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x＋λ）＋λf（x）＝0对任意实数都成立，则称f（x）是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：

①f（x）＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f（x）＝x是“λ伴随函数”；③f（x）＝x2是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选B　由题意得，①正确，如f（x）＝c≠0，取λ＝－1，则f（x－1）－f（x）＝c－c＝0，即f（x）＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f（x）＝x是一个“λ伴随函数”，则x＋λ＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f（x）＝x2是一个“λ伴随函数”，则（x＋λ）2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f（x）是“伴随函数”，则f＋f（x）＝0，取x＝0，则f＋f（0）＝0，若f（0），f任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0），f均不为0，则f（0），f异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点，所以有两个结论正确.

估算法

由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，快速找到答案．

[例6]　如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（　　）

A.B．5

C．6D.

[解析]　连接BE，CE，四棱锥EABCD的体积为VEABCD＝×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何体的体积V>VEABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有，故选D.

[答案]　D

本题既用了估算法又用了排除法，解题的关键是利用θ的范围求sinθ的范围一定要准确，否则将达不到解题的目的或解答错误．

6.（2017·宁波效实中学模拟）图中阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H），则该函数的大致图象是（　　）

解析：

选B　由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.

第二讲

分类智取填空题——稳得分

填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．

（1）根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

①定量型：

要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：

要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．

（2）根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：

①单空题：

与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：

是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．

解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．在解填空题时要做到：

一、单空题——四招速解

直接法

它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．

[例1]　（2016·全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

[解析]　因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝.

[答案]　

直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．

1．（2017·北京高考）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.

解析：

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×（－2）＝2，所以＝1.

答案：

1

特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值（特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．

[例2]　如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

[解析]　法一：

·＝·（＋）

＝·＋·＝·＋·（＋）

＝·＋2·，

∵AP⊥BD，∴·＝0.

又∵·＝||||cos∠BAP＝||2，

∴·＝2||2＝2×9＝18.

法二：

把平行四边形ABCD看成正方形，

则P点为对角线的交点，AC＝6，

则·＝18.

[答案]　18

求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．

2．若函数f（x）满足：

f

（1）＝，4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y），则f（2018）＝________.

解析：

取x＝1，y＝0时，有f（0）＝f

（1）＋f

（1）＝，

取x＝1，y＝1时，有＝f

（2）＋f（0），f

（2）＝－.

取x＝n，y＝1，有f（n）＝f（n＋1）＋f（n－1），同理f（n＋1）＝f（n＋2）＋f（n），联立得f（n＋2）＝－f（n－1），可得f（n＋6）＝f（n），所以f（x）是以6为周期的函数，故f（2018）＝f

（2）＝－.

答案：

－

图象分析法

　　对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．

[例3]　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c）·（b－c）＝0，则|c|的最大值是________．

[解析]　如图，＝a，＝b，＝c，∵（a－c）·（b－c）＝0，∴点C在以AB为直径，AB的中点为圆心的圆上，故|OC|的最大值为圆的直径，即|AB|的长为.

[答案]　

图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．

3．不等式·sinx<0，x∈[－π，2π]的解集为________．

解析：

在同一坐标系中分别作出y＝|x|－与y＝sinx的图象：

根据图象可得不等式的解集为∪∪（π，2π）．

答案：

∪∪（π，2π）

构造法

用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知（例如代数式）形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．

[例4]　如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

[解析]　如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的体积

V＝＝π.

[答案]　π

构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.

4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3（n≥1），则该数列的通项an＝________.

解析：

由an＋1＝2an＋3，

则有an＋1＋3＝2（an＋3），

即＝2.

所以数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列，

即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，

所以an＝2n＋1－3.

答案：

2n＋1－3

二、多空题——辨式解答

并列式——两空并答

此种类型多空题的特点是：

根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．

[例1]　（2016·浙江高考）已知2cos2x＋sin2x＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0），则A＝________，b＝________.

[解析]　∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin，

∴1＋sin＝Asin（ωx＋φ）＋b，

∴A＝，b＝1.

[答案]　　1

[点评]　例1中根据题设条件把2cos2x＋sin2x化成1＋sin后，对比原条件恒等式两边可直接得出两空的结果，A＝，b＝1.

1．（2015·浙江高考）双曲线－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．

解析：

由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝，∴焦距2c＝2，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

答案：

2　y＝±x

分列式——一空一答

此种类型多空题的特点是：

两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．

[例2]　

（1）（2016·浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.

（2）（2015·浙江高考）已知函数f（x）＝则f（f（－3））＝________，f（x）的最小值是________．

[解析]　

（1）由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2cm,4cm,2cm，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2cm,2cm，4cm.

几何体的表面积为（2×2＋2×4＋2×4）×2×2－2×2×2＝72（cm2），

体积为2×2×4×2＝32（cm3）．

（2）∵f（－3）＝lg[（－3）2＋1]＝lg10＝1，

∴f（f（－3））＝f

（1）＝1＋2－3＝0.

当x≥1时，x＋－3≥2－3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，

此时f（x）min＝2－3＜0；

当x＜1时，lg（x2＋1）≥lg（02＋1）＝0，

此时f（x）min＝0.

所以f（x）的最小值为2－3.

[答案]　

（1）72　32　

（2）0　2－3

[点评]　例2

（1）中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2

（2）中，两空都是在已知一分段函数的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值．

2．（2015·浙江高考）函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．

解析：

∵f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1＝＋sin2x＋1＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，

∴函数f（x）的最小正周期T＝π.

令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

解之可得函数f（x）的单调递减区间为

（k∈Z）．

答案：

π　（k∈Z）

递进式——逐空解答

此种类型多空题的特点是：

两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．

[例3]　（2016·浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.

[解析]　∵an＋1＝2Sn＋1，

∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，

∴Sn＋1＝3Sn＋1，

∴Sn＋1＋＝3，

∴数列是公比为3的等比数列，

∴＝3.

又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，

∴S5＋＝×34＝×34＝，

∴S5＝121.

[答案]　1　121

[点评]　例3中根据题设条件求出a1＝1后，再根据等比数列的求和公式求出S5.第二空的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.

3．（2017·台州模拟）以坐标原点O为圆心，且与直线x＋y＋2＝0相切的圆方程是________，圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．

解析：

由题意所求圆的半径等于原点O到直线x＋y＋2＝0的距离，即r＝＝，则所求圆的方程为x2＋y2＝2；因为圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的圆心和半径分别为O（0,0），r1＝，C2＝（0,1），r2＝2，且r2－r1<|OC2|＝1

答案：

x2＋y2＝2　相交

选择填空提速专练

（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知A＝{x|y2＝x}，B＝{y|y2＝x}，则（　　）

A．A∪B＝AB．A∩B＝A

C．A＝BD．（∁RA）∩B＝∅

解析：

选B　因为A＝{x|x≥0}，B＝{y|y∈R}，所以A∩B＝A，故选B.

2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是（　　）

A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α

B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α

D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

解析：

选D　易知A，B，C均正确；D中a和β的位置关系有三种可能，a∥β，a⊂β或a与β相交，故D错误，故选D.

3．已知函数f（2x）＝x·log32，则f（39）的值为（　　）

A.B.C．6D．9

解析：

选D　令t＝2x（t>0），则x＝log2t，于是f（t）＝log2t·log32＝log3t（t>0），故函数f（x）＝log3x（x>0），所以f（39）＝log339＝9，