专题03整式乘除.docx
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专题03整式乘除.docx
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专题03整式乘除
专题03:
整式乘除
03—1:
幂的运算
C级突破
【知识探索】
同底数幂的乘法:
am×bn=am+n(m,n都是正整数),同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
同底数幂的除法:
am÷an=(a≠0,m,n都是正整数,m>n)。
同底数幂相除,底数,指数。
(a≠0);
(a≠0,p是正整数)。
幂的乘方:
(am)n=amn(m,n都是正整数)。
幂的乘方,底数,指数。
积的乘方:
(ab)n=anbn(n是正整数)。
积的乘方等于。
题1.(x-3)0-2(3x-6)-2有意义,则x的取值范围是x≠3且x≠2。
题2.
(1)-xm-1·xm+1=-x2m;
(2)5n+1÷53n+1=5-2n;
(3)(-ab)5÷(-ab)2=(-ab)3;
(4)-x2·(-x)2·(-x2)=x2;
(5)(a-b)2·(b-a)3·(a-b)=-(a-b)6;
题3.
(1)〖(
)3〗2=(
)6;
(2)(5xy)3=125x3y3;
(3)(-3x2)3=-27x6。
(4)-(-a2b5)2=-a4b10;
题4.
(1)π0+(-
)-2=5;
(2)10-3=0.001;(3)70×8-2=
;
(4)1.6×10-4=0.00016.(5)(x-1)2·x3=x.(6)
=9;
B级突破
题1.3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-2a4)2·(-a)3·(a2)3=3a17+a17-4a17=0。
题2.(am+1)3÷(a2)m×a2n-m÷(an-1)2;=a3m+3÷a2m×a2n-m÷a2n-2=a5
题3.
;=1-16+10+9=4
题4.计算:
=(-0.125)15·815+
·(
)2000·(-
)2000=-1+
=-
题5.比较大小:
2100与375
2100=(24)25=(16)25375=(33)25=(27)25∵16<27∴2100<375
题6.若am=
,a2n=3,求a3m+4n;
a3m+4n=(am)3·(a2n)2=
A级突破
题1.已知3x+4y-6=0,求8x·16y的值。
8x·16y=(23)x·(24)y=23x·24y=23x+4y=26=64
题2.若n为正整数,且x2n=2,求7(x3n)2-3·(x2)2n的值。
7(x3n)2-3·(x2)2n=7(x2n)3-3·(x2n)2=56-12=44
题3.已知an+1·am+2=a7,且m-2n=1,求mn的值。
n+1+m+2=7,m-2n=1m=3,n=1mn=3
题4.若x=2m+1,y=3+4m,用x的代数式表示y;
y=3+4m=3+(2m)2=3+(x-1)2=x2-2x+4
题5.已知22x+1+4x=48,求x的值。
22x+1+4x=2·(4x)+4x=3·(4x)=484x=16x=2
03—3:
乘除运算
C级突破
题1.计算
(1)(2xy2)·(
xy);
(2)(-2a2b3)·(-3a);(3)(4×105)·(5×104);
解:
(1)(2xy2)·(
xy)=(2×
)(xx)(y2y)=
x2y3;
(2)(-2a2b3)·(-3a)=【(-2)×(-3)】(a2a)b3=6a3b3;
(3)(4×105)·(5×104)=(4×5)·(105×104)=20×109==2×1010
题2.计算:
(1)(-
x2y3)÷(3x2y);
(2)(2x2y)3·(-7xy2)÷(14x4y3);
(3)(2a+b)4÷(2a+b)2.
解:
(1)(-
x2y3)÷(3x2y)=(-
÷3)·x2-2y3-1=-
y2;
(2)(2x2y)3·(-7xy2)÷(14x4y3)
=8x6y3·(-7xy2)÷(14x4y3)
=-56x7y5÷(14x4y3);
=-4x3y2
(3)(2a+b)4÷(2a+b)2=(2a+b)4-2=(2a+b)2=4a2+4ab+b2
题3.计算:
(1)2ab(5ab2+3a2b);
(2)(
ab2-2ab)·
ab
解:
(1)2ab(5ab2+3a2b)
=2ab(5ab2)+2ab(3a2b)
=10a2b3+6a3b2
(2)(
ab2-2ab)·
ab
=(
ab2)·
ab+(-2ab)·
ab
=
a2b3-a2b2
题4.计算:
(1)(27a3-15a2+6a)÷(3a);
(2)(3x2y-xy2+
xy)÷(-
xy).
解:
(1)(27a3-15a2+6a)÷(3a)
=(27a3)÷(3a)-(15a2)÷(3a)+(6a)÷(3a)
=9a2-5a+2;
(2)(3x2y-xy2+
xy)÷(-
xy)
=-(3x2y)÷(
xy)+(xy2)÷(
xy)-(
xy)÷(
xy)
=-6x+2y-1
题5.计算
(1)(1-x)(0.6-x);
(2)(2x+y)(x-y)。
解:
(1)(1-x)(0.6-x)
=1×0.6-1×x-x×0.6+x×x
=0.6-1.6x+x2
(2)(2x+y)(x-y)
=2x·x-2x·y+y·x-y·y
=2x2-2xy+xy-y2
=2x2-xy-y2
B级突破
题1.已知2x2+2x-55=0,求(2x5+2x4-53x3-57x+54)2004的值。
2x5+2x4-53x3-57x+54=x3(2x2+2x)-53x3-57x+54=55x3-53x3-57x+54=2x3-57x+54
=x·2x2-57x+54=x·(-2x+55)-57x+54=-2x2-2x+54=-55+54=-1
(2x5+2x4-53x3-57x+54)2004=1
题2.解方程:
3x(5-3x)-36=2x(7-2x)+5x(8-x)
15x-9x2-36=14x-4x2+40x-5x239x=36x=
题3.若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的乘积中不含x2和x3项,求m和n的值。
(m-3n+3)x2+(-3+n)x3m-3n+3=0,-3+n=0,m=6,n=3
题4.已知多项式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除,且商式为3x+1,试求a的值。
(x2+1)(3x+1)=3x3+3x+x2+1,a=1
03—4:
平方差公式
C级突破
【实例分析】
做一做
计算下列各题;
(1)(x+2)(x-2);
(2)(1+3a)(1-3a);
(3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z);
用自己的语言叙述你的发现。
【规律总结】
观察以上算式及其运算结果,你发现了什么规律?
再举两例验证你的发现。
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
【典型例题】
题1.利用平方差公式计算:
(1)(-
x-y)(-
x+y);
(2)(ab+8)(ab-8);(3)(-m+n)(-m-n);
解:
(1)(-
x-y)(-
x+y)=(-
x)2-y2=
x2-y2;
(2)(ab+8)(ab-8)=(ab)2-64=a2b2-64;
(3)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2=m2-n2;;
题2.用平方差公式进行计算:
(1)103×97;
(2)118×122.
解:
(1)103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=9991;
(2)118×122=(120-2)(120+2)=1202-22=14396.
题3.计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+a2b2=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=(2x)2-25-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25
题4.如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
(1)请表示图1中阴影部分的面积。
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2),这个长方形的长和宽分别是多少?
你能表示出它的面积吗?
图1图2
(3)比较
(1)
(2)的结果,你能验证平方差公式吗?
03—5:
完全平方公式
C级突破
【实例分析】
1、计算下列各题;
(1)(x+2)(x-2);
(2)(1+3a)(1-3a);(3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z);
用自己的语言叙述你的发现。
2、一块边长为a米的正方形实验田,因需要将其边长增加b米,形成四块实验田,以种植不同的新品种。
用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较,你发现了什么?
想一想
(1)(a+b)2等于什么?
你能用多项式乘法法则说明理由吗?
(2)(a-b)2等于什么?
小颖写出了如下的算式:
(a-b)2=〖a+(-b)〗2。
她是怎么想的?
你能继续做下去吗?
【规律总结】
观察以上算式及其运算结果,你发现了什么规律?
再举两例验证你的发现。
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2。
【典型例题】
例1.利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
(2)(4x+5y)2;(3)(mn-a)2.
解:
(1)(2x-3)2=(2x)2-2·(2x)·3+32=4x2-12x+9;
(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·(4x)·(5y)+(5y)2=16x2+40xy+25y2;
(3)(mn-a)2=(mn)2-2·(mn)·a+a2=m2n2-2amn+a2.
例2.利用完全平方公式计算:
(1)1022;
(2)1972.
解:
(1)1022=(100+2)2=1002+2×200×2+22=10000+400+4=10404
(2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809
例3.
(1)(x+3)2-x2
(2)(a+b+3)(a+b-3);(3)(x+5)2-(x-2)(x-3);
解:
(1)(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9;
(2)(a+b+3)(a+b-3)
=〖(a+b)+3〗〖(a+b)-3〗
=(a+b)2-32
=a2+2ab+b2-9;
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3);
=x2+10x+25-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
【随堂练习】
1、计算:
(1)(2xy+
y)2
(2)(
x-2y)2(3)(-cd+
)2
(4)(n+1)2-n2.(5)(
x-
)2;(6)(-2t-1)2;
(7)(
x+
y)2;(8)(7ab+2)2;
03—6:
综合运用
B级突破
题1.
;
=(x-
y-1)(x-
y+1-x+
y+1)=2(x-
y-1)=2x-y-2
题2.(2x-1)(2x+1)(4x2+1)(16x4+1)=32x8-1
题3.【a(a+2b)+b2】【a2-b(2a-b)】÷(a2-b2)2=(a+b)2·(a-b)2÷(a2-b2)2=1
题4.【(2a+b)(a-2b)-2(a-2b)2+4b(a-2b)】÷(4b)
=(2a2-3ab-2b2-2a2+8ab-8b2+4ab-8b2)÷(4b)=(9ab-18b2)÷(4b)=
a-
b
题5.a2+b2=(a+b)2+(-2ab)=(a-b)2+(2ab)=
【(a+b)2+(a-b)2】
题6.已知16x2-2(m-1)xy+49y2是一个完全平方式,求m的值
(m-1)=±28m=29或-27
题7.
(1)若
,则
的值等于多少。
=5
A级突破
题1.(菏泽市中考题)已知a+
=5,则
=24。
题2.(宁波市中考题)已知a-b=b-c=
a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca=.
题3.(河南省中考题)已知a=
x+20,b=
x+19,c=
x+21,则代数式a2+b2+c2-ab
-bc-ca的值是3。
题4.(第19届江苏省竞赛题)在2004、2005、2006、2007这4个数中,不能表示为两个整数平方差的是;
题5.(荆州市竞赛题)若n满足(2005-n)2+(n-2004)2=1那么,(2005-n)·(n-2004)等于0.
题6.(河北省竞赛题)已知ax+by=3,ay-bx=5,则(a2+b2)(x2+y2)的值为。
题7.(太原市竞赛题)已知a、b满足x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系(B)
(A)x≤y(B)x≥y(C)x<y(D)x>y
题8.(第16届“希望杯”邀请赛试题)已知x=
,y=
(a≠
b),且19x2+143xy+19y2=2005,则x+y=.
题9.(“希望杯”邀请赛试题)若m、n为有理数,且2m2-2mn+n2+4m+4=0,则m2n+mn2=8.
题10.(河北省竞赛题)已知a、b、c满足a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-17,则a+b+c=3.
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- 专题 03 整式 乘除