完整版高中数学数列专题大题训练.docx
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完整版高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷
一•选择题(共9小题)
1.等差数列{&}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()
A.130B.170C.210D.260
2.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,aza8a9=10,贝Ua4a5a6=()
A.|gB.7C.6D.|'4^2
3.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n》1),贝Ua6=()
A.3X44B.3X44+1C.44D.44+1
4.已知数列{an}满足3an+什an=0,&=-乜,则{an}的前10项和等于()
A.-6(1-3「10)B.*(1—37°)C.3(1—3「10)D.3(1+3「10)
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知Sb=a2+10a1,a5=9,则a1=()
A.£B.-4-C.丄D.-丄
3399
6.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和Si0=()
A.138B.135C.95D.23
7.设等差数列{an}的前n项和为S,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()
A.3B.4C.5D.6
8.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()
A.n(n+1)B.n(n-1)C.口血+。
D.门'门;D
9.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()
A.若a1+a2>0,贝Ua2+a3>0B.若a1+a3V0,贝Ua1+a2<0
C.若0
二.解答题(共14小题)
10.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和S满足S=2sn-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(「记数列{丄}的前n项和为Tn,求使得|Tn-卅丈需成立的n的最小值.
ii.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为S,等比数列{bn}的公比为q,已知bi=ai,b2=2,q=d,So=iOO.
(i)求数列{an},{bn}的通项公式
12.已知数列{an}满足ai=1,an+i=3cn+1.
(U)证明:
(I)证明{
an+二}是等比数列,并求{an}的通项公式;
+••+L
13•已知等差数列{an}的公差不为零,ai=25,且ai,aii,ai3成等比数列.
(I)求{an}的通项公式;
(n)求a什a4+a7+—+a3n-2.
14.等差数列{an}中,a7=4,ai9=2a9,
(I)求{an}的通项公式;
求数列{bn}的前n项和Sn.
(U)设bn=—
%
(I)S为{an}的前n项和,证明:
「
£■
(U)设bn=log3ai+log3a2+・・+log3an,求数列{bn}的通项公式.
i6.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且1),n€N*,ai=1,a2=2,且
a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列
(2)设bn=
a2n-1
,n€N*,求数列{bn}的前n项和.
(1)求q的值和{an}的通项公式;
i7•已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{-}的前n项和为
an・arr+l
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)?
2■,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.已知数列{an}和{bn}满足ai=2,bi=1,an+i=2an(n€N*),
*
bi+b2+b3+・・+-bn=bn+i—1(n€N)
:
:
(I)求an与bn;
(n)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
19.已知数列{an}是递增的等比数列,且a什a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设sn为数列{an}的前n项和,bn=节1,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.设数列{an}的前n项和为S,已知2&=3n+3.
(I)求{an}的通项公式;
(n)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
2i.设数列{an}的前n项和为S.已知ai=a,an+i=S+3n,n€N*.由
(I)设bn=S-3n,求数列{bn}的通项公式;
(n)若an+i>an,n€N*,求a的取值范围.
22.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S,9,&成等比数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(n)令bn=(—i)n—i‘山,求数列{bn}的前n项和Tn.
23.数列{an}满足ai=i,nan+i=(n+i)an+n(n+i),n€N*.
(I)证明:
数列r1}是等差数列;
n
(n)设bn=3n?
,求数列{bn}的前n项和Sn.
由题意得方程组
解得d=]'
rn
高中数学数列专题大题组卷
参考答案与试题解析
一•选择题(共9小题)
1.(1996?
全国)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前
3m项和为()
A.130B.170C.210D.260
【分析】利用等差数列的前n项和公式,结合已知条件列出关于a1,d的方程组,用m表示出a1、d,进而求出S3m;或利用等差数列的性质,sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列进行求解.
【解答】解:
解法1:
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
1)
ma[+d-30
2id(2m一1)
2m且]+二-d-100
c10(d+2)
a1=
故选C.
解法2:
v设{an}为等差数列,
--Sm,S2m—Sm,S3m—S2m成等差数列,即30,70,S3m—100成等差数列,•••30+S3m—100=70X2,
解得S3m=210.
故选C.
【点评】解法1为基本量法,思路简单,但计算复杂;解法2使用了等差数列的
一个重要性质,即等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,••成等差
数列.
2.(2010?
大纲版I)已知各项均为正数的等比数列{an},aia233=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()
A.:
B.7C.6D.1:
【分析】由数列{an}是等比数列,则有aia2a3=5?
a23=5;a7a8a9=10?
a83=10.【解答】解:
aia2a3=5?
a23=5;
a7a8a9=10?
a83=10,
2
a5=a2a8,
故选A.
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.
3.(2011?
四川)数列{an}的前n项和为Sn,若ai=1,an+i=3S(n>1),则a6=()
A.3X44B.3X44+1C.44D.44+1
【分析】根据已知的an+1=3Si,当n大于等于2时得到an=3Si-1,两者相减,根据Sn-Sn-1=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以得到此数列除去第1项,从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列,由a1=1,an+1=3S,令n=1,即可求出第2项的值,写出2项以后各项的通项公式,把n=6代入通项公式即可求出第6项的值.
【解答】解:
由an+1=3S,得到an=3Si-1(n>2),
两式相减得:
an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,
则an+1=4an(n》2),又a1=1,a2=3S=3ai=3,
得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,
所以an=a2qn-2=3X4n-2(n>2)
则a6=3X44.
故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式,是一道基础题.
4.(2013?
大纲版)已知数列{an}满足3an+i+an=0,a2=-£,则{an}的前10项和等于()
A.—6(1-3「10)B.寺仕―孑-山)C.3(1—3「10)D.3(1+3「10)
【分析】由已知可知,数列{an}是以-L为公比的等比数列,结合已知^2=-~可
313
求a1,然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解:
:
3an+1+an=0
^+1_
7
•••数列{an}是以-一为公比的等比数列
•-__4
-时亍
二a1=4
4[1-〔-斗]10]
由等比数列的求和公式可得,$0===3(1-3-10)
IH
故选C
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础
试题
5.
a1=(
【分析】设等比数列{an}的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到
A.
B.
D.
(2013?
新课标U)等比数列{an}的前n项和为S,已知Ss=a?
+10a1,a5=9,则
,解出即可.
(且]斗alq+芒]q厶二1口十]°a〔巧J二9
【解答】解:
设等比数列{an}的公比为q,
TS3=a2+10a1,氏=9,
,解得
『二g
1
ai=i
3]+atq二钊田口引・H
巧q"二9
1
故选c.
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.
6.(2008?
全国卷I)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和Sio=()
A.138B.135C.95D.23
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据
a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解.
【解答】解:
:
(as+a5)-(a2+a4)=2d=6,
二d=3,ai=-4,
=95.
--Si0=10ai+
故选C
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式.
7.(2013?
新课标I)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sn+1=3,则m=()
A.3B.4C.5D.6
【分析】由an与Si的关系可求得am+1与am,进而得到公差d,由前n项和公式及Sm=0可求得a1,再由通项公式及am=2可得m值.
【解答】解:
am=Sn—Sn-1=2,am+1=Sn+1-Sn=3,
所以公差d=am+1-am=1,
Sm==0,得ai=-2,
2
所以am=-2+(m-1)?
仁2,解得m=5,
故选C.
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与S的关系,考查学生的计算能力.
8.(2014?
新课标n)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,as成等比数列,则{an}
A.n(n+1)B.n(n-1)
的前n项和sn=()
~2~
【分析】由题意可得a42=(a4-4)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得.
【解答】解:
由题意可得a42=a2?
as,
即a42=(a4-4)(a4+8),
解得a4=8,
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
9.(2015?
北京)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()
A.若a什a2>0,贝Ua2+a3>0B.若a1+a3<0,贝Ua什a2<0
C.若0 D.若a1<0,贝U(a2-a。 (a2-a3)>0 【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解: 若a1+a2>0,则2a1+d>0,a2+a3=2ai+3d>2d,d>0时,结论成立, 即A不正确; 若a1+a3<0,贝Ua计a2=2a1+d<0,a2+a3=2ai+3d<2d,d<0时,结论成立,即B 不正确; {an}是等差数列,0 若aiv0,则(a2-ai)(a2-a3)=-d2<0,即D不正确. 故选: C. 【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础. .解答题(共14小题) 10.(2015? 四川)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和S满足S=2an-ai,且a1,a2+1,a3成等差数列. (I)求数列{an}的通项公式; (n)记数列{丄}的前n项和为Tn,求使得ITn-1|成立的n的最小值. 1000 【分析】(I)由已知数列递推式得到an=2an-1(n>2),再由已知a1,a2+1,a3成等差数列求出数列首项,可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,则其通项公式可求; (n)由(I)求出数列{一}的通项公式,再由等比数列的前n项和求得Tn,结合求解指数不等式得n的最小值. 51000 【解答】解: (I)由已知S=2ai-a1,有 an=Sn—Si-1=2an—2an-1(n》2), 即an=2an-1(n》2), 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又ta1,a2+1,a3成等差数列, a1+4a1=2(2a什1),解得: a1=2. •••数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故弘二厂; (n)由(I)得: 11 二n》10. 于是,使|Tn-1|V一^成立的n的最小值为10. 1000 【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 11.(2015? 湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=ai,b2=2,q=d,So=1OO. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当d>1时,记Cn=「': ,求数列{cn}的前n项和Tn. 【分析】 (1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可; (2)当d>1时,由 (1)知Cn=j「「,写出Tn、当Tn的表达式,利用错位相减 【解答】解: (1)设a1=a,由题意可得 10a+45d=100 ad=2 法及等比数列的求和公式,计算即可. % 2n-L 一: ■ •+(2n—1)? - n— 2 +(2n—3)? - n— +(2n—1) =3 -3 ? ' 卜• 二£=1+3? 丄+5? 1. 22 +7? 丄+9? \ 2324 (2n—1) 2 解得丿 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注 意解题方法的积累,属于中档题. 12. (2014? 新课标U)已知数列{an}满足ai=1,&+i=3an+1. 【分析】(I)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即数,又首项不为0,所以为等比数列; n-13 【解答】证明 対十1十 an+F an+l =3, 13 •数列{anU} 是以首项为牙,公比为3的等比数列; 再根据等比数列的通项化式,求出{an}的通项公式; (U)将丄进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证 明不等式. 当n>2时,: 3n-1>3n-3n •••当n=1时, 1, 1 L a2 1 当n>2时, 3r_1 2 =- 3n-3n^] 1屮-1 1-(丄)门 13' -;- _1-± TC1 3 < 1 3n 1 1 11 1 al + a2 + •••对n€N+时, 【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一, 通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列•属于中档题. 13.(2013? 新课标U)已知等差数列{an}的公差不为零,ai=25,且ai,aii,ai3成等比数列. (I)求{an}的通项公式; (U)求a什a4+a7+・・+a3n-2. 【分析】(I)设等差数列{an}的公差为dM0,禾I」用成等比数列的定义可得, 召二j毗,再利用等差数列的通项公式可得(哲+lOd)-中冷]+12d),化为d (2ai+25d)=0,解出d即可得到通项公式an; (II)由(I)可得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+3i,可知此数列是以25为首项, -6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a什a4+a7+-+a3n -2. 【解答】解: (I)设等差数列{an}的公差为dM0, 由题意ai,aii,ai3成等比数列,二二引引了, •••(引+lOd)2二日[(引幻閔),化为d(2ai+25d)=0, vdM0,二2X25+25d=0,解得d=-2. an=25+(n-i)X(—2)=—2n+27. (II)由(I)可得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+3i,可知此数列是以25为首项,-6为公差的等差数列. n(? ]+呂血—2】 --Sn=ai+a4+a? +…+a3n-2= 2 =n(25-曲+31) =2 =-3n2+28n. 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关 键. 14.(2013? 大纲版)等差数列{an}中,a7=4,ai9=2ag, (I)求{an}的通项公式; (U)设bn=1,求数列{bn}的前n项和Sn. 【分析】(I)由a7=4,ai9=2ag,结合等差数列的通项公式可求ai,d,进而可求 an Ta7=4,ai9=2a9, aj+6d=4 呂1+18占2(flj+Sd) 1+n 2 n(n+l) —-—-! -■■■q-i-―-—') 23nn-Fl 2n_ n+1 nMl 解得,ai=1,d— (II)飞— nna Sn==一-- =: : n+1 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较 公比q=. 容易 i5.(20ii? 新课标)已知等比数列{an}中,ai (I)Sn为{an}的前n项和,证明: ': (U)设bn=log3ai+log3a2+・・+log3an,求数列{bn}的通项公式. 【分析】(I)根据数列{an}是等比数列,ai令,公比q」,求出通项公式an和前n项和S,然后经过运算即可证明. (II)根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式. 【解答】证明: (I)T数列{an}为等比数列,ai」,q=- 3 sn= 又••• 1- 「J (II): an= 3n bn=log3ai+log3a2+・・+log3&=—Iog33+(-2log33)+••+(-nlog33) (1+2+-+n) 2 •数列{bn}的通项公式为: bn=-叫D 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质. 16.(2015? 天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q工1),n€N*,ai=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 (1)求q的值和{an}的通项公式; a2n-1 (2)设bn=,n€N*,求数列{bn}的前n项和. 【分析】 (1)通过an+2=qan、a1、a2,可得a3、a5、a4,利用a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列,计算即可; (2)通过 (1)知bn=「,n€N*,写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达 12* 式,禾U用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可. 【解答】解: (1): an+2=qan(q为实数,且1),n€N*,a1=1,a2=2, •a3=q,a5=q2,a4=2q, 又: a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列, •••2X3q=2+3q+q,即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍), ••a*i= Il为偶数 (2)由 (1) =1□呢已加 -■■"=.. a2n-L fT|2U1 知bn n€N*, 记数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=1+2? —+3? 丄 +••+ +n? •2Tn=2+2+3? 二+4? - 两式相减,得Tn=3+= 2 +••+ +5? 1 23 叶1)= +•+(n-1)? 亠 严3-n? L2n 1 2~ +n? -, 2n_£ =4- 利用错位相 n项和为 fL 2nM' (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(an+1)? 2',求数列{bn}的前n项和Tn. 【分析】 (1)通过对Cn=・分离分母,并项相加并利用数列{ 捡盼1] 前n项和为仁亍即得首项和公差,进而可得结论; Zn-Fl (2)通过bn=n? 4n,写出Tn、4Tn的表达式,两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的首项为ai、公差为d,则◎>0,二an=ai+(n—1)d,an+i=ai+nd, +■.+ aj4-2d季]+(n-1)d 令Cn=一 1 则Cn=d+G—Sd】(引+a飞 n =,吕]+n[dn 又.••数列的前n项和为=, •Iai=1或-1(舍),d=2, •••an=i+2(n-i)=2n-i; (2)由(i)
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