高中数学41坐标系单元测试苏教版选修.docx
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高中数学41坐标系单元测试苏教版选修
2019-2020年高中数学4.1坐标系单元测试苏教版选修
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是……()
A.椭圆B.比原来大的圆
C.比原来小的圆D.双曲线
答案:
D
2.在极坐标系中,点M(-2,)的位置,可按如下规则确定()
A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2
B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2
C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2
D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=2
答案:
B
3.极坐标方程sinθ=(ρ∈R)表示的曲线是…()
A.两条相交直线B.两条有公共点的射线
C.一条直线D.一条射线
答案:
C
4.直角坐标为(-3,4)的点的极坐标可能是…()
A.(5,arctan())B.(5,arcsin)
C.(-5,-arccos)D.(-5,arccos())
答案:
C
5.将极坐标(2,)化为直角坐标为()
A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)
答案:
B
6.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
答案:
B
7.坐标平面内,集合P={(ρ,θ)|sinθ=-,ρ∈R}与集合S={(ρ,θ)|cosθ=,ρ∈R}之间的关系是()
A.PSPSC.P=SD.上述都不对
答案:
D
8.已知点P的极坐标为(1,π),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()
A.ρ=1B.ρ=cosθ
C.ρ=D.ρ=
解析:
画图观察,C正确.
答案:
C
9.在极坐标系中,过点A(6,π)作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为()
A.2B.6C.D.
答案:
C
10.一个三角形的一个顶点在极点,其他两个顶点的极坐标分别为P1(-5,109°),P2(4,49°),则这个三角形P1OP2的面积为()
A.B.C.D.10
答案:
A
11.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()
A.ρ=2cos(θ-)B.ρ=2sin(θ-)
C.ρ=2sin(θ-1)D.ρ=2cos(θ-1)
答案:
D
12.已知曲线C与曲线ρ=53cosθ-5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程是()
A.ρ=-10cos(θ-)B.ρ=10cos(θ-)
C.ρ=-10cos(θ+)D.ρ=10cos(θ+)
答案:
B
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.将直角坐标P(-1,)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)为_________.
答案:
(2,)
14.极坐标方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲线是________.
答案:
一条直线或一个圆
15.在同一平面直角坐标系中,由椭圆=1变成圆x′2+y′2=1的伸缩变换公式为________.
答案:
16.曲线θ=0,θ=(ρ≥0)和ρ=4所围成的面积是________.
答案:
三、解答题(共74分)
17.(12分)
设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为30(万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°,试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.
解:
如图,建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处,极轴Ox过抛物线的对称轴,由题设可得下列情形:
(1)当θ=30°时,ρ=30(万千米);
(2)当θ=150°时,ρ=30(万千米);
(3)当θ=210°时,ρ=30(万千米);
(4)当θ=330°时,ρ=30(万千米).
∴彗星此时的极坐标有四种情形:
(30,30°),(30,150°),(30,210°),(30,330°).
18.(12分)
(1)将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
①(x2+y2)2=2a2xy;②x-3y=0.
(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程:
①ρ2=cos2θ;②ρ=.
解:
(1)①由(x2+y2)2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsinθ.
∴ρ2=2a2cosθsinθ,即ρ2=a2sin2θ.
②由x-3y=0,得ρcosθ-3ρsinθ=0,tanθ=.
∴θ=arctan.
(2)①ρ2=cos2θ两边同时乘以ρ2,得ρ4=ρ2cos2θ=(ρcosθ)2.
∴(x2+y2)2=x2,即有x2+y2=x或x2+y2=-x,它表示两个圆.
②方程可化为2ρ-ρcosθ=4,即2ρ=4+x,两边平方得4ρ2=(x+4)2.
4x2+4y2=x2+8x+16,
即3x2-8x+4y2=16.
19.(12分)已知正△ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.
解:
如右图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,a),B(,0),C(,0).
设P(x,y),
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
=x2+(y-a)2+(x+)2+y2+(x-)2+y2
=3x2+3y2-ay+
=3x2+3(y-a)2+a2≥a2,
当且仅当x=0,y=a时,等号成立,
∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正△ABC的中心.
20.(12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=,在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.
解:
由题意可知
|PA|=
.
又|OQ|=|OP|+|PA|,
∴ρ=2acos(-θ).
21.(12分)半径为a的两个等圆,它们的圆心分别在两条互相垂直相交于点O的定直线上,且两圆都过点O,过点O任意作直线l分别交两圆于A、B,试求出线段AB中点P的轨迹的极坐标方程.
解:
如图,建立极坐标系,设B(ρ1,θ),其轨迹为ρ1=2acosθ.
设A(ρ2,θ),其轨迹为ρ2=2asinθ,设P(ρ,θ),则
ρ=(ρ1+ρ2)
=(2acosθ+2asinθ)
=a(cosθ+sinθ)
=asin(θ+).
∴点P的轨迹的极坐标方程为ρ=asin(θ+).
22.(14分)如图,根据指令(r,θ)(r≥0,-180°≤θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:
先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ,θ为负时,按顺时针方向旋转|θ|),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4).
(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?
并给出机器人截住小球所需的指令.(结果精确到小数点后两位)
解:
(1)求得r=,θ=45°,
故指令为(,45°).
(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球,
则因为小球速度是机器人速度的2倍,
所以在相同时间内有|17-x|=,
即3x2+2x-161=0.
解得x=或x=7.
因为要求机器人最快地去截住小球,
即小球滚动距离最短,所以x=7.
故机器人最快可在点P(7,0)处截住小球,所给的指令为(5,-98.13°).
2019-2020年高中数学4.2.1直线与圆的位置关系新人教A版必修2
【教学目标】
1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想.
3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯.
【教学重难点】
教学重点:
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
教学难点:
用坐标法判直线与圆的位置关系.
【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
问题:
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:
台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
运用平面几何知识,你能解决这个问题吗?
请同学们动手试一下.
㈡检查预习、交流展示
1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种?
2.怎样判断直线与圆的位置关系呢?
㈢合作探究、精讲精练
探究一:
用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系?
教师:
利用坐标法,需要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应用起来简便,在这个实际问题中如何建立直角坐标系?
学生:
以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
.
教师:
请同学们运用已有的知识,从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.
让学生自主探究,互相讨论,探究知识之间的内在联系。
教师对学生在知识上进行适当的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,鼓励学生积极、主动的探究.
由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法:
方法一:
代数法
由直线与圆的方程,得:
消去y,得
因为
所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。
方法二:
几何法
圆心(0,0)到直线的距离
所以,直线与圆相离,航线不受台风影响.
探究二:
判断直线与圆的位置关系有几种方法?
让学生通过实际问题的解决,对比总结,掌握方法.
①代数法:
由方程组,
得
,
则方程组有两解,直线与圆相交;,则方程组有一解,直线与圆相切;,则方程组无解,直线与圆相离.
②几何法:
直线与圆相交,则;直线与圆相切,则;直线与圆相离,则.
例1 已知直线l:
x+y-5=0和圆C:
,判断直线和圆的位置关系.
解析:
方法一,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系.
解:
(法一)
联立方程组,消y得
因为
所以直线与圆相交.
(法二)
将圆的方程化为.
可得圆心C(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=<5,
所以直线与圆相交.
点评:
巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.
变式1.判断直线x-y+5=0和圆C:
的位置关系.
解:
将圆的方程化为.
可得圆心C(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=>5,
所以直线与圆相离.
例2.求直线l:
3x-y-6=0被圆C:
截得的弦AB的长.
解析:
可以引导学生画图分析几何性质.
解:
(法一)
将圆的方程化为.
可得圆心C(1,2),半径r=.
圆心到直线的距离
.
弦AB的长.
(法二)
联立方程组,消y得
得,
则,
所以直线l被圆C截得的弦AB的长
.
(法三)
联立方程组,消y得
根据一元二次方程根与系数的关系,有
直线l被圆C截得的弦AB的长
点评:
强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
位置关系
几何特征
方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
方程组有两个不同实根
d △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0 【板书设计】 1.直线与圆的位置关系 (1)相交,两个交点; (2)相切,一个交点; (3)相离,无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二 3.判断直线与圆位置关系的方法 4.例题 例1 变式1 例2 【作业布置】 导学案课后练习与提高 4.2.1 直线与圆的位置关系学案 课前预习学案 1.预习目标 回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征,初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法. 2.预习内容 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 2.怎样判断直线与圆的位置关系呢? 3.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一.学习目标 1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 学习重点: 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 学习难点: 用坐标法判直线与圆的位置关系. 2.学习过程 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 探究一: 用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系? 1.如何建立直角坐标系? 2.根据直角坐标系写出直线和圆的方程. 3.怎样用方程判断他们的位置关系? 探究二: 判断直线与圆的位置关系有几种方法? 例1 已知直线l: x+y-5=0和圆C: ,判断直线和圆的位置关系. 变式1.判断直线x-y+5=0和圆C: 的位置关系. 例2.求直线l: 3x-y-6=0被圆C: 截得的弦AB的长. 3.反思总结 位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 四.当堂检测 1.已知直线与圆相切,则的值为() A.8B.-18C.-18或8D.不存在 2.设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平 分线方程是. 3.求经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的方程. 参考答案: 1.C 2. 3.解: 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 由题意则有 解得a=1,b=-2,r=,故所求圆的方程为 (x-1)2+(y+2)2=2. 课后练习与提高 1.直线与圆没有公共点,则的取值范围是() A. B. C.D. 2.圆在点处的切线方程为 A、B、C、D、 3.若圆上至少有三个不同点到直线: 的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是() A.[]B.[]C.[D. 4.设直线与圆相交于、两点,且弦的长为,则____________. 5.已知圆 和直线.若圆与直线没有公共点,则的取值范围是. 6.已知圆,定点P(4,0),问过P点的直线斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆 (1)相切? (2)相交? (3)相离?
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