第1单元 第2讲 整式与因式分解解析版.docx

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第1单元第2讲整式与因式分解解析版

第2讲　整式与因式分解

一.考纲解读

了解：

整数指数幂的意义和基本性质,整式的概念。

理解：

用字母表示数的意义，解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。

掌握：

求代数式的值，简单的整式加、减运算，简单的整式乘、除运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘），利用乘法公式进行简单计算，用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解。

1.二、命题规律

考点

考试内容

分值

题型

比重

整式的运算

列代数式

3

选择、填空

2％

整式的运算

2

选择

1.3％

整式的化简求值

5

解答

3.3％

分解因式

因式分解的意义

3

3

2％

提取公式法分解因式

3

选择、填空

2％

公式法分解因式

3

选择

2％

考情分析：

本部分内容是初中的基础内容，也是中考的重点内容，既可单独考查，也可以与后面的其他知识综合命题考查，有一定的难度。

预测2014年本部分的考试内容仍然同往年一样，不会有变化！

三、知识梳理

（一）基本知识点

1.单项式

（1）单项式：

只有数与字母的积的运算代数式叫做单项式，其中包括单独一个数或一个字母。

注意：

单独一个数或一个字母也是单项式，单项式是一个积。

（2）单项式的系数：

单项式中的

数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：

单项式前面的负号属于系数。

（3）单项式的次数：

单项式中所有字母的指数的和。

2.多项式

（1）多项式：

由几个单项式的和组成的代数式。

（2）多项式的项：

组成多项式的每个单项式。

注意：

不含字母的项是常数项；每个单项式都带着符号。

（3）多项式的次数：

多项式中次数最高的项的次数。

3.整式

（1）整式：

单项式和多项式统称整式

注意：

分母含字母的一定不是整式。

4.同类项

（1）同类项：

所含字母相同，相同字母的指数相等的项是同类项。

（2）合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

5.整式的计算

（1）去括号

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数量是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

（2）求值

①代入求值：

一般都是先把多项式中的同类项进行合并以后，再把给出字母的数值代入，从而求出代数式的值；

②列整式计算：

这类型的题目主要是根据实际问题列出整式，然后再把相关的数据代入整式中，从而求出实际问题的答案；

③找规律：

一般都是先给出几个特殊图形或者数据，从中找出规律，从而把第n个数据用代数式表示出来（这是现在中考的热点内容）。

6.幂的运算性质

同底数幂相乘：

am·an=am+n

同底数幂相除：

am÷an=am-n

幂的乘方：

（am）n=amn

积的乘方：

（ab）n=anbn

注意：

其是的m、n均为整数。

零指数和负指数：

规定a0=1,a-p=

注意：

其是的a≠0、p为正整数。

7.乘法公式

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

完全平方式：

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

注意：

平方差公式中，两个一次因式的特点：

a的符号相同，b的符号相反。

在完全平方公式中，2ab前的符号与（a+b）或（a-b）的是一致的。

8.整式的乘除

（1）单项式乘以单项式

用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；

对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式乘以多项式

是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）多项式乘以多项式

先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（4）单项式除单项式

把系数，同底数幂分别相除，作为商

的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（5）多项式除以单项式

把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

9.因式分解

（1）因式分解的定义：

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式。

（2）因式分解的方法：

①提取公因式：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法分解因式可表示为：

ma+mb+mc=m（a+b+c）；

②运用公式法：

将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

常见的公式：

平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2；

③简单的“十字相乘法”：

整式的乘法：

（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq；

因式分解：

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；

④分组分解法：

分组的原则：

分组后要能使因式分解继续下去，分组后可以提公因式、或运用公式法或用十字相乘法继续分解因式。

（3）分解因式的步骤：

①首先看是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式；

②然后再考虑是否能用公式法分解，如果是一个二次三项式，可以考虑是否能用十字相乘法；

③如果是四项或者四项以上的多项式，就要考虑分组分解法；

④分解因式一定要把结果分解到不能再分为止。

（二）重难点

重点：

整式有关概念的应用，去括号、合并同类项、求值运算，幂运算的性质，整式的乘除法法则，用提公因式法和公式法分解因式。

难点：

多项式定义的应用，找规律，用整式表示实际问题，整式的乘法公

式的运用以及混合运算，在解方程、整式、分式的运算中利用因式分解化简求值。

四、基础自测

1.（2013•郴州）下列运算正确的是（　　）

A．

x•x4=x5

B．

x6÷x3=x2

C．

3x2﹣x2=3

D．

（2x2）3=6x6

［解析］解：

A、x•x4=x5，原式计算正确，故本选项正确；

B、x6÷x3=x3，原式计算错误，故本选项错误；

C、3x2﹣x2=2x2，原式计算错误，故本选项错误；

D、（2x2）3=8x，原式计算错误，故本选项错误；

故选A．

答案：

　A

2.（2013•郴州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=　　．

［解析］解：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=4×3=12．

故答案是：

12．

答案：

　12

3.（2013•衡阳）先化简，再求值：

（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2），其中

．

4.（2013•湘西州）下列运算正确的是（　　）

A．

a2﹣a4=a8

B．

（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣6

C．

（x﹣2）2=x2﹣4

D．

2a+3a=5a

5.（2013•益阳）因式分解：

xy2﹣4x=　．

6.（2013•达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%。

那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（　）

A．甲B．乙C．丙D．一样

7.（2013•莆田）下列运算正确

的是（　　）

A．

（a+b）2=a2+b2

B．

3a2﹣2a2=a2

C．

﹣2（a

﹣1）=﹣2a﹣1

D．

a6÷a3=a2

9.（2013•张家界）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A．

B.

C.

D.

五、题型详解

考点一：

整式的相关概念

【例1】（2013年佛山市）多项式

的次数及最高次项的系数分别是（）

A．

B．

C．

D．

【例2】（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

变式题：

（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）

　　A．2a2　　B．3a2　　C．4a2　　D．5a2

考点二.同类项

【例3】（2013凉山州）如果单项式﹣xa+1y3与

是同类项，那么a、b的值分别为（　　）

　A．a=2，b=3B．a=1，b=2C．a=1，b=3D．a=2，b=2

思路分析：

根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a，b的值．

【例4】（2013•苏州）计算﹣2x2+3x2的结果为（　　）

A．

﹣5x2

B．

5x2

C．

﹣x2

D．

x2

考点三.整式的运算

【例5】（2013•厦门）计算：

5a＋2b＋（3a—2b）；

思路分析：

先去括号，后进行运算；括号前边是正因数，去掉括号里边都不变号。

解：

5a＋2b＋（3a—2b）

＝5a＋2b＋3a—2b

＝8a.

点拨：

本题考查有关去括号题型的整式运算。

变式题：

（2012•济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（　

　）

A．2x-3　　　　　　B．2x+9　　　　　　C．8x-3　　　　　　D．18x-3

思路分析：

首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解。

解法一：

原式=10x-15+12-8x

=2x-3．

故选A．

解法二：

原式=5（2x-3）-4（2x-3）

=（2x-3）（5-4）

=2x-3

故选A．

点拨：

本题考查有关去括号题型的整式运算。

解题规律小结：

有关去括号的运算,若括号前边是负因数,去掉括号后,原括号内各项都要变号,同时还不要忘记利用乘法分配律。

【例6】（2013•三明）　先化简，再求值：

（a+2）（a﹣2）+4（a+1）﹣4a，其中a

=

﹣1．

变式题2：

（2013•苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为　　

．

思路分析：

根据运算程序写出算式，然后代入数据进行计算即可得解。

变式题：

（2013•淮安）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=　

考点四.幂运算

【例8】（2013•日照）下列计算正确的是

A.（-2a）2=2a2B.a6÷a3=a2C.-2（a-1）=2-2aD.a·a2=a2

思路分析：

根据幂的有关运算法则进行运算，就可得出结果。

考点五.乘法公式

【例9】（图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称

轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长

方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中

间空的部分的面积是

A.abB.

C.

D.a2－b2

思路分析：

找

出大正方形、小正方形、长方形之间面积关系就能得出结果。

解：

∵大正方形面积为：

（

，矩形面积为：

4ab，

∴中间空的部分的面积为：

，

故选C。

点拨：

此题主要考查利用乘法公式计算，理解并灵活运算乘法公式是解决本题的关键。

变式题：

（2012•遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）

A．

2cm2

B．

2acm2

C．

4acm2

D．

（a2﹣1）cm2

点拨：

本题考查了完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键。

点拨：

本题考查的是因式分解的意义。

解题规律小结：

如果把一个多项式能化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。

【例12】（2013•绵阳）因式分解：

x2y4-x4y2=。

解题规律小结：

分解因式的步骤：

①首先看是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式；②然后再考虑是否能用公式法分解，如果是一个二次三项式，可以考虑是否能用十字相乘法；③如果是四项或者四项以上的多项式，就要考虑分组分解法；④分解因式一定要把结果分解到不能再分为止。

六.课后练习

基础巩固

一．填空题

1.（2012•江苏泰州市）若2a-b=5,则多项式6a-3b的值是．

4．（2012•浙江省温州市改编）把a3-4a多项式分解因式，结果正确的是

思

路分析：

先提取公因式,再用平方差公式得出结果。

解：

a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）

点拨：

分解因式按“一提二套”原则:

有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式；因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

二．选择题

1.（2013•雅安）下列计算正确的是（　　）

A．

（﹣2）2=﹣2

B．

a2+a3=a5

C．

（3a2）2=3a4

D．

x6÷x2=x4

2．（2013•常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（　　）

A．

a+b

B．

2a+b

C．

3a+b

D．

a+2b

3.（2013•遵义）计算（﹣

ab2）3的结果是（　　）

A．

﹣

a3b6

B．

﹣

a3b5

C．

﹣

a3b5

D．

﹣

a3b6

思路分析：

利用积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案。

解：

（﹣

ab2）3=（﹣

）3•a3（b2）3=﹣

a3b6．

故选D．

点拨：

此题考查了积的乘方与幂的乘方．处理好指数的变化是解此题的关键。

4.（2013•聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长（　　）

　A．102cmB．104cmC．106cmD．108cm

5.（2012•江苏苏州）若3×

9m×27m=311，则m的值为（　　）

A．2B.3C.4D.5

三.解答题

1.（2012•贵州贵阳）先化简，再求值：

2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3,b=

.

思路分析：

先运用平方差、完全平方差公式化简式子，然后把a,b的值代入化简后的结果中求值。

3.（2013•义乌市）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

思路分析：

（1）先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2；

（2）根据

（1）得出的值，直接可写出乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2。

解：

（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，

∴S1=a2﹣b2，

S2=

（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；

（2）根据题意得：

（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

点拨：

此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键。

能力提升

1.（2013•达州）选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如

①

选取二次项和一次项配方：

x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；

②选取二次项和常数项配方：

或

③选取一次项和常数项配方：

根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；

（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值．

2.（2013•南通模拟改编）已知0≤x≤1,

（1）若x-2y=8，则y的最小值是

（2）若x2+y2=3,xy=1,则x-y=

（3）因式分解：

x4+x2+1=

3.（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个

矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．

a=b

B．

a=3b

C．

a=b

D．

a=4b

S=AE•AF﹣PC•CG

=3bAE﹣aPC

=3b（PC+4b﹣a）﹣aPC

=（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，

则3b﹣a=0，即a=3b．

故选B

点拨：

此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键。