八下18平行四边形.docx
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八下18平行四边形
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形几何语言,平行四边形用符号“口”來表示:
例如:
如图,在四边形ABCD中,AB〃DC,AD〃BC,那么四边形ABCD是平行四边形:
平行四边形ABCD记作“6BCD”,读作“平行四边形ABCD"
总结:
平行以边形中的对边是指无公共点的边•对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个和。
而三角形的对边是指一个角的对边.对角是指一条边的对角:
平行四边形的性质:
1平行四边形两组对边分别平行H相等;
2平行四边形对角相等,邻角互补;
3平行四边形对角线互相平分:
4平行四边形是中心对称图形;
总结:
1•平行四边形的性质是从:
边.角.对角线來体现的:
2•对称性:
对角线的交点为对称中心:
经过对称中心的直线把中心对称图形的而积二等分,对称点的连线段经过对称中心且被对称中心平分,
例题:
1.平行四边形具有,但一般四边形不具有的性质是()
A.不稳定性B.内角和等于360°C.对角线互相平分D.外角和等于360°
2.—个四边形的三个内角的度数依次如下,其中是平行四边形的是()
A.88°108°88°B.88°104°108°C.88°92°92°D.88°92°88°
3.在口ABCD中,ZA:
ZB:
ZC:
ZD的可能情况是()
A.2:
7:
2:
7B.2:
2:
7:
7C.2:
7:
7:
2D.2:
3:
4:
5
4.己知口ABCD的周长为28cm,且AB:
BC二2:
5,则边AB和BC的长分别为:
5.
若口ABCD的周长是40cm,AABC的周长是27cm,则AC的长为()
A.13cmB・3cmC.7cmD・11・5cm
6.己知UABCD的周长是30cm,对角线相交于点0,AAOB的周长比ABOC的周长长5cm,
则这个平行四边形的各边长为
7.己知平行四边形的一条边长为14,下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是()
A・10与6B・12与16C.20与22D・10与18
8•平行四边形的一条边长为6,—条对角线为8,则另一边长的范I制为:
另一条对角线的范用是—:
9•如图•在口ABCD中,E为AB的中点,那么厶砂的面积和厶说。
的面枳是相等的.你能说出理由吗?
总结:
平行线之间的距离:
若两条立线互相平行,则其中一*直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离;
平行线之间的距离特征1:
平行线之间的距离处处相等:
平行线之间的距离特征2:
夹在两条平行线之间的平行线段柑等;
10•若口ABCD的周长为20cm.AE丄BC于点E,AF丄CD丁•点F,AE二2cm,AF二3cm,求ABCD的面枳:
11•若口ABCD的边AB二6,BOl,AB到CD的距离是2,则BC到AD的距离为—
12.已知口ABCD的对角线相交于点0.EF过点0与AB、CD分别相交于点取F,
求证:
OE=OF,AE=CF:
证明:
・・•四边形ABCD是平行四边形
・・・AB〃CDOA=OC
VAB7/CD
AZ1=Z2.Z3=Z4
・•・AAOE^ACOF
AOE=OF,AE=CF
总结:
1•根据平行四边形的中心对称性质.通过证明三角形全等得到角相等、线段相等:
2.在口ABCD中,对角线AC与BD相交丁•点0,能通过旋转重合的三角形右•2对:
3•如图•在口ABCD中,P是对角线AC上一点,连接BP、DP.求证Sm=S
总结:
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成面枳相等的两部分,两条对角线把平行四边形分成而枳相等的四部分:
14•如图,在UABCD中,过对角线BD匕一点P做EF〃BC,GH〃AB,写出图中所冇面积相等的平行四边形:
15•如左卜•图,从等USAABC底边上任总一点D,作DE//AC交AB于E,DF〃AB交AC丁・F,则口AEDF的周
长()几等于三角形周长B.是三角形周长的一半C.等于三角形腰长D.是腰长的2倍
16•如右上图,等边AABC的边长为a,P是AABC内一点,PD〃AB,PE〃BC,PF〃AC,点D、E、F分别在BC、AC、AB上.猜想:
PD+PE+PF=;
17.李人伯家有一II如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵人柳树.李人伯准备开挖池塘,使池塘面枳扩人一倍,又想保持柳树不动.如果要求新池塘成平行四边形的形状•请问李大伯的愿望能
19•如左卜•图,口ABCD和口EBFD的顶点A、E.F>C在一条直线上,求证:
AE二CF
20.如右上图,DABCD中,CD二10.AD二12.AE.DF分别平分ZBAD.ZADC,交BC于E、F,则EF的长是(A4B6图Z2egD.10
平行四边形的判定:
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形:
(5)AO=BOCO=DO(J)AO=OCBO=DO(X)
2•点A、B、C、D在同一平面内,从①AB〃CD・②AB二CD.③BC〃AD・④BC二AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()A.3种B.4种C.5种D.6种
例题:
6•如右上图,在OABCD中,E、F分别为AB、CD上的点,且AE二CF.试说明BD与EF互相平分;
7•如左卜•图,己知以边形ABCD是平行四边形.在AB的延长线上截取BE二AB.BF二BD.连接CE・DF,相交
二角形中位线:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.每个三角形都仔三条中位线;三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半:
例如:
1.在△ABC点D、E分别是边AB、AC的中点,求证:
DE〃BC且DE二*BC
证明:
延长DE到F,使DE二EF,连接AF、CD
VAE=ECDE=EF
・•・四边形ADCF是平行四边形
•••ADgCF
VAD=BD
ABD//CF
・•・四还形DBCF是平行四边形
Z.DF=BCDF/7BC
4•如上中图,梯形ABCD中,AD〃BC・E、F分别为AC、BD的中点,若AD二2.BC=5>则EF二
5•如上右图,四边形ABCD中,一组对边AB二DC二4,另一组对边ADHBC,对角线BD与边DC互相垂直,M、N、H分别是AD、BC、BD的中点,且ZABD二30°求:
(1)MH的长
(2)MN的长:
矩形:
右一个你是直角的平行四边形是矩形:
矩形的性质:
1矩形具有平行四边形所具有的一切性质
2矩形的四个角都是宜角
3矩形的对角线相等(矩形对角线把矩形分成四个等面积的等腰三角形)
4
矩形是轴对称图形又是中心对称图形
矩形的判定:
1冇-个角是直角的平行四边形是矩形:
(定义)
2对角线相等的平行四边形是矩形;
3仃三个角足直角的四边形是矩形;
4对角线相等H互相平分的四边形是矩形:
直角三角形的性质^
在Rt△中,斜边上的中线等于斜边的一半:
例题:
1•如图•矩形ABCD中.AC与BD交于0点,BE丄AC于E,CF丄BD于F・求证:
BE=CF
证明:
•••四边形ABCD是矩形
/.OB=0C
又TBE丄AC,CF丄BD
・•・ZBEO=ZCFO=90°
•?
ZBOE=ZC0F
・•・ABOE^ACOF
ABE=CF
2.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于0,AE平分ZBAD,
解:
・・・AE平分ZBAD.ZBAEZBAD=45°
又VZCAE=15°,AZBAO=ZBAE+ZCAE=60°
・・・AAOB为等边三角形
・・・0B二AB,ZABO=60°
AZOBE=ZABC-ZABO二90°-60°二30°
VZBAE=45°,ZBEA=45°
AAB=BE,OB=BE
AZBOE=75°
交BC于E,若ZCAE=15°,求ZBOE的度数
3•如图6BCD.四内角平分线相交于E、F.G、H;求证:
四边形EFGH是矩形;
证明:
I四边形ABCD是口
•IZBAD+ZABC=180°
ZBAD+ZADC=180°
TAE、BG、CG、DE分别为四个内角平分线
AZ14-Z2=90°
Z3+Z4=90°
在AABH中ZAHB=90°二ZGHE
在厶迥中ZAED=90°
同理可证ZGFE=90°ZHGF=90°
・•・四边形EFGH为矩形
4•如左卜•图,在ZjABCD中,AC、BD相交于6EF过点O.JIAF丄BC,求证:
四边形AFCE是矩形;
5•如上中图,在四边形ACBD中,AC丄BD.E、F.G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:
四边形EFGH是矩形;
6•在ZDABCD中,E、F分别是AB、CD的中点•连接AF、CE.连接AC,当CA=CB时,
判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论:
7.如左卞图,ZXABC中,点O是AC上一个动点,过点0作直线MN〃BC,设MN交ZBCA的平分线于点E.交ZBCA的外角平分线于点F,
第28题图
8•如右上图,矩形ABCD中,M是BC的中点,且MA±MD,若矩形的周长为36cm,求矩形的面枳;
9•如左卜图,在矩形纸片ABCD中,AB=6・AD=8・将矩形纸片如图折叠.使点B与点D重合.折痕为GH.
求GH的长:
10.在ZXABC中,AM是中线,ZBAC=90°,AB二6cm.AC二8cm.那么AM的长为:
11.在RtAABC中,BD为斜边AC上的中线,若ZA二35°,那么ZDBC二:
12•平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点P是四边形外一点,且PA丄PC,PB丄PD,垂
13.如右上图,在OABCD的纸片中,ACLAB,人C与BD交于0,将△宓沿对角线用7翻折得到AABC,
(1)求证:
以4GD、B'为顶点的四边形是矩形;
(2)若Sg>=12,求翻折后纸片重叠部分的面积,即S比己
菱形:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
菱形的性质:
1菱形JV有平行四边形所具冇的一切性质:
2菱形的四条边都相等;
3菱形的对角线互相垂直并且每*对角线平分一组对角(对角线把它分成四个全等的直角三角形)
4菱形是轴对称图形又是中心对称图形;
5菱形的面积等于对角线乘积的一半(如果一个四边形的对角线互柑垂直,那么这个四边形的面积等于対
角线乘枳的一半)S砸二丄ab=ch(a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长,h为c边上的高〉0
菱形的判定:
1有一组邻边相等的平行四边形是菱形:
2对角线互相垂直的平行四边形足菱形:
3四边都相等的四边形是菱形:
4对角线互相垂直平分的四边形是菱形:
例题:
1.菱形的一边与两条对角线所构成的两角Z比为5:
4,则它的各内角度数为
2•菱形ABCD的周长为&两邻角的比为2:
b则对角线的长分别为()
A、4和2B、1和2审C、2和2书D、2和宀
3.己知一个菱形的面积为8応cm\且两条对角线的比为1:
©,则菱形短的对角线长为
4•如左卜•图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形•其中对角线BD长10cm,
6•如右上图.菱形ABCD的两条対角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点•点M.N分别是边AB、BC的中点,则PbHPN的最小值是:
7•如图•菱形ABCD的边长为乙AC=2,E、F分别是边BC・CD±的两个动点,且满足BE+DF=l
(1)
求iEAABE^AACF;
(2)判IWAAEF的形状,并说明理由:
(3)设AAEF的面枳为S,求S的取值范用;
(3)提示:
•・•、/5WABEF的边长V2
•••甞(QSSV容
(2)2
-y/S^S 4 8.如左卜图,在菱形ABCD中,E为AD中点,EF丄AC交CB的延长线于F.求证: AB与EF互相平分 9.如右上图,在已知平行四边形ABCD中,AE平分ZBAD,与比相交于点E,EF//AB,与AD柑交于点F求证四边形ABEF是菱形; 10. 如图,RtAABC中,ZACB=90°,ZBAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE,求证: 四边形ACEF是菱形: 11.如右上曲,AABC中,A^BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE二AC,EF〃BC交AD于点F,求证: 四边形CDEF是菱形: 12.如左卜图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、0, 求证: 四边形AFCE是菱形: 小 13.如右上图,已知在口^BCD中,ADWAB,E、F在直线AB上,且AE=AB=BF,证明: CE丄DF正方形: 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形; 正方形的性质: 1正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质; (正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形)Rc 正方形的判定: / 1有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;Xq 2对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;/\ 3有一组邻边相等的矩形是正方形;/、 4对角线互相垂直的矩形是正方形: f 5有一个角是直角的菱形是正方形; 6对角线相等的菱形是正方形: 7对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 例题: 1.四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,能判定它是正方形的是() A、AO=OC,0B=0DB、AO=BO=CO=DO,AC丄BD C、A0=0C,0B=0D,AC±BDD、A0=0C=0B=0D 总结: (1)两条对角线的四边形是平行四边形; (2)两条对角线的四边形是矩形: (3)两条对角线的四边形是菱形; (4)两条对角线的四边形是正方形: (5)两条对角线的平行四边形是矩形; (6)两条对角线的平行四边形是菱形; (7)两条对角线的平行四边形是正方形; (8)两条对角线的矩形是正方形: (9)两条对角线的菱形是正方形。 2. 正方形一边上任-点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的(A.|B.lC.J 4.如右上图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,DE平分ZODC交0C于点E,若ABW,则 线段0E的长为; 5. 如左下图,如果点E、F是正方形ABCD的对角线BD上两点,且BE=DF,你能判断四边形AECF的形状吗? 并阐明理由. 6.如上中图,P为正方形ABCD对角线上一点,PE丄BC于E, 7.如右上图,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MNLDM,且交Z宓的平分线于N, (1)试判断切与刖的人小关系,说明理由. (2)若将上述条件中的“M是AB的中点”,改为“M是AB上任意一点”,其余条件不变,则 (1)中结论还成立吗? 如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. 8.如左下图,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点0,E、卩分别是边AB、BC上的点,若AE=4cm,DF=3cm, 且0E丄OF,则EF的长为; 作互相垂直的两条直线immm与AD,BC的延长线分别交于点E,F,n与AB,DC的延长线分别交于点G・H.试就该图形对你的结论加以证明. 点F是BC边上的一点.HZFAE=ZEAD・那么EF丄AE又将止方形改为矩形、菱形和任意平行四 边形(如图②、图③.图④),其它条件不变,发现仍然右—EF丄AE”的结论.你同意小明的观点吗? 14•如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于0・ (1)(图1)若E为AC上一点,过A作AG丄EB于G,AG、BD交于F,求证: (®=0F; (2)(图2)若E为AC延长线上-点,AG丄EB交EB的延长线丁弋,AG的延长线交DB的延长线于F,其他条件不变.0E二0卩还成立吗? 若成立,请予以证明: 若不成立•请说明理由. 15•已知: 正方形ABCD中,ZMAN=45°,ZMAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N. 当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN. (1)当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系? 写出猜想,并加以证明. (2)当ZMAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系? 请直接写出你的猜想. 16.如图1,在正方形ABCD中,E、F、G.H分别为边AB、BC、CD、DA上的点,HA=EB=FC=GD,连接EG、FH,交点为0・ (1)如图2,连接EF,FG・GH,HE,试判断四边形EFGH的形状•并证明你的结论: ⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.若 正方形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=lcm,则图3中阴影部分的面枳为cm2; 18•如右上图,已知EG,FH为过正方形ABCD的对角红的交点0的直线,且EG丄FH,求证: 四边形EFGH是正方形. 19.如左下图,在AABC中,AB=AC,AD丄BC,垂足为点D,AN是△ABC外角ZCAM的平分线,CE丄AN,垂足为点E, (1)求证: 四边形ADCE为矩形; (2)当AABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形? 并给出证明: 20•如右上图,在四边形ABFC中,ZACB二90°>BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF二AE (1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当ZA的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形? 请回答并证明你的结论: 21.如左卜•图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,,顺次连接E、F、G、H,回答下面的问题: 1证明: 四边形EFGE是平行四边形; 2当四边形ABCD是平行以边形时,四边形EFGH为什么特使的四边形? 3当四边形ABCD是矩形时,四边形EFGH为什么特殊的四边形? 说明理由: 4当四边形ABCD是菱形时,四边形EFGH为什么特殊的四边形? 说明理由: 5 为四边形ABCD是正方形时.四边形EFGH为什么特殊的四边形? 说明理由: 22.如右上图,程城虢中,分别以AB、AC、BC为边在BC番線卑等边△ABD,等边AACE,等边△BCF. (1)求证: 四边形DAEF是平行四边形: (2)探究卜•列问题(只填满足的条件.不需证明): 1当ZkABC满足条件时,四边形DAEF是矩形: 2当ZkABC满足条件时,四边形DAEF是棱形: 3当/XABC满足条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在: (3)求四边形ADFE的面积; 23.在口ABCD中,AC、BD交于点0,过点0作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、 H四点,连结EG、GF、FH、HE. (1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理血 (2)如图②,当EF丄GH时,四边形EGFH的形状是 (3)如图③,在 (2)的条件2若AC=BD,四边形EGFH的形状是 (4)如图④,在(3)的条件K若AC丄BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由. Ae/D 梯形: 一组对边平行,另•组对边不平行的四边形: 例如: 梯形中平行的两边叫做梯形的底: (短边为上底.长边为下底,与位置无关); 不平行的两边叫做梯形的腰: 梯形两底之间的距离叫做梯形的高(它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度): 一般梯形的性质: 1在梯形ABCD中,AD〃BC,则ZA+ZB二180°,ZC+ZD二180°: 2S師=*(AD+BC) 3分成了三对面积相等的三角形: 直角梯形: 有一个角圧直角的梯形: (一腮和底匝百的梯形)等腰梯形: 两腰相等的梯形: 知识结构图: 等腰梯形的性质: 1两底平行,两腰相等; 2同一底边上的两个底角相等(上底两个角和卜底两个幷): 3对角线相等; 4是轴对称图形: (有i条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴): ⑤梯形面积等于中位线与高的乘积;S峡=1(a+b)h=Lh 等腰梯形的判定: 1两腰相等的梯形是等腰梯形: 2同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形(上底两个角或卜底两个角): 3对角线相等的梯形是等腰梯形: 4对角互补的梯形是等腰梯形: 梯形中位线: 连接梯形两腰中点的线段; 梯形屮位线性质: 梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半; ①过梯形上底或卜底的一个端点作另一腰的平行线,将梯形转化为一个平行四边形和三角形: 2过梯形的一个顶点作对角线的平行线,将对角线的有关条件转化到一个三角形中: 3延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形; 4从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线,将梯形转化为两个直角三角形利一个矩形: 5旋转由梯形一底和一腰中点构成的三角形,可使梯形转化为三角形: 6已知梯形一腰中点,作梯形的中位线。 将梯形转化为三角形: 例题: 6•以线段a=16>b=13>c=10・d=6为梯形的边,这样的梯形能画出—个; 7.等腰梯形的三边长分别为4、9、11,则这个等腰梯形的周长为: 8•如左卜•图,曲8是一梯形,AB〃CD,AB=5,EC=3>/I,ZBCD=45°,ZCDA=60°,ZT的长度 9•如右上图,在等腰梯形ABCD中,AD/7BC,AB二DC二4.AD二3.BC二7,求ZB: 10.等腰梯形上底为6cm,卜底为8cm.高为JJcm.则腰长为: 12•如右上图,在梯形ABCD中.AB/7DC,AC丄BD,CD=lcaBD=3cm,AC=4cm,求梯形ABCD的面积; 13.若梯形的高为120m,两条对角线长分别为150m和200m,求梯形的面积: (多解) 14.如左卜•图,梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD=AD=1,ZB=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上 一点,那么PC+PD的最小值为: M 15.如右匕图,己知謀1是梯形ABCD的中位线,ADEF的面枳为4cnf,则梯形ABCD的面枳为__cm2: 16•如左下图,梯形ABCD中AD/7BC,点E、F分别为AD、BC中点(EF称为梯形中位线), 17.如上中图•在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证: (1)EF//AD
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