《一次函数的应用专项训练》.docx

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《一次函数的应用专项训练》

《一次函数的应用专项训练》

一．填空题（共11小题）

1．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　　米．

2．一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前　　小时到达B地．

3．如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省　　元．

4．如图，温度计上表示了摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的刻度，如果气温是摄氏25°，则相当于华氏　　℉．

5．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③甲队比乙队提前3天完成任务；

④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．

正确的有　　．（在横线上填写正确的序号）

6．如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是　　．

7．如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是　　．

8．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则kx+b＞0的解集是　　．

9．如图，已知函数y=ax+2与y=bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则根据图象可得不等式ax＞bx﹣5的解集是　　．

10．如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是　　．

11．函数y=ax+b的图象如图，则方程ax+b=0的解为　　；不等式0＜ax+b≤2的解集为　　．

二．解答题（共11小题）

12．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：

L/km）与速度x（单位：

km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．

（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　　L/km、　　L/km．

（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．

（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？

最低是多少？

13．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早

小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？

直接写出答案．

14．为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：

普通消费：

35元/次；

白金卡消费：

购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；

钻石卡消费：

购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费．

以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用．

（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？

（2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式；

（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式．

15．某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲，y乙（单位：

元），y甲，y乙与销售数量x（单位：

件）的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题；

（1）分别求出y甲，y乙与x的函数关系式；

（2）现厂家分配该商品800件给甲商场，400件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品，厂家可获得总利润是多少元？

16．为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

17．都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2：

1．

运行区间

票价

起点站

终点站

一等座

二等座

都匀

桂林

95（元）

60（元）

（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张（x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式．

（3）在

（2）的方案下，请求出当x=30时，购买单程火车票的总费用．

18．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．

（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；

（2）求线段DE所在直线的函数表达式；

（3）当货车出发　　h时，两车相距200km．

19．某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，

商品名称

甲

乙

进价（元/件）

80

100

售价（元/件）

160

240

设其中甲种商品购进x件

（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．

①求y与x的函数关系式；

②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？

若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及

（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．

20．一辆轿车从甲地出发开往乙地，同时，一辆客车从乙地开往甲地，一开始两车的速度相同，出发半小时后，客车因出现故障维修了一段时间，修好后为了不耽误乘客的时间，客车加快速度前进，结果与轿车同时到达各自的目的地．设轿车出发th后，与客车的距离为Skm，图中的折线（A→B→C→D→E）表示S与t之间的函数关系．

（1）甲、乙两地相距　　km，轿车的速度为　　km/h；

（2）求m与n的值；

（3）求客车修好后行驶的速度；

（4）求线段DE所对应的函数关系式，并注明自变量的取值范围．

21．如图，已知直线l1：

y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：

y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：

（1）求a的值；

（2）不解关于x，y的方程组

，请你直接写出它的解；

（3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．

22．如图，已知直线y1=﹣

x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣

x交于点B．

（1）求△AOB的面积；

（2）求y1＞y2时x的取值范围．

《一次函数的应用专项训练》

参考答案与试题解析

一．填空题（共11小题）

1．（2016•重庆）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　175　米．

【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案．

【解答】解：

根据题意得，甲的速度为：

75÷30=2.5米/秒，

设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，

解得：

m=3米/秒，

则乙的速度为3米/秒，

乙到终点时所用的时间为：

=500（秒），

此时甲走的路程是：

2.5×（500+30）=1325（米），

甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．

故答案为：

175．

【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．

2．（2016•阜新）一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前　2　小时到达B地．

【分析】由题意可知汽车2小时形式的路程为160千米，从而可求得汽车行驶的速度，然后依据路程÷速度=时间可求得按照原来速度形式所需要的时间，故此可求得提前的时间．

【解答】解：

320﹣160=160千米，

160÷2=80千米/小时．

320÷80=4小时．

6﹣4=2．

故答案为：

2．

【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据函数的图形求得汽车原来的速度是解题的关键．

3．（2016•黔西南州）如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省　4　元．

【分析】根据函数图象，分别求出线段OB和射线EB的函数解析式，然后可求出一次购买8个笔记本的价钱和分8次购买每次购买1个的花费，进而可得答案．

【解答】解：

由线段OB的图象可知，当0＜x＜时，y=5x，

1千克笔记本的价钱为：

y=5，

设射线EB的解析式为y=kx+b（x≥2），

把（4，20），（10，44）代入得

，

解得：

，

∴射线EB的解析式为y=4x+4，

当x=8时，y=4×8+4=36，

5×8﹣36=4（元），

故答案为：

4．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．

4．（2016•路桥区一模）如图，温度计上表示了摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的刻度，如果气温是摄氏25°，则相当于华氏　77　℉．

【分析】根据摄氏度和华氏度的对应关系利用待定系数法求出摄氏度和华氏度的关系式，然后把摄氏度代入求解即可．

【解答】解：

设摄氏度为x，华氏度为y，y=kx+b，

由图可知，

，

解得

，

所以，y=

x+32，

当x=25℃时，y=

×25+32=77℉．

故答案为：

77．

【点评】本题考查了一次函数的应用，根据温度计上的对应关系，利用待定系数法求出华氏度与摄氏度的一次函数解析式是解题的关键．

5．（2016•滨湖区模拟）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③甲队比乙队提前3天完成任务；

④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．

正确的有　①②④　．（在横线上填写正确的序号）

【分析】①根据函数图象由工作效率=工作总量÷工作时间就可以得出结论；

②根据函数图象由工作效率=工作总量÷工作时间就可以得出结论；

③根据函数图象求出乙队完成的时间就可以求出结论；

④由甲的工作效率就可以求出2天时的工作量为200米，乙队是300米．6天时甲队是600米，乙队是500米得出300﹣200=600﹣500=100米故得出结论．

【解答】解：

①根据函数图象得：

甲队的工作效率为：

600÷6=100米/天，故正确；

②根据函数图象，得

乙队开挖两天后的工作效率为：

（500﹣300）÷（6﹣2）=50米/天，故正确；

③乙队完成任务的时间为：

2+（600﹣300）÷50=8天，

∴甲队提前的时间为：

8﹣6=2天．

∵2≠3，

∴③错误；

④当x=2时，甲队完成的工作量为：

2×100=200米，

乙队完成的工作量为：

300米．

当x=6时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米．

∵300﹣200=600﹣500=100，

∴当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．故正确．

故答案为：

①②④．

【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，工程问题的数量关系：

工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时分析清楚一次函数的图象的意义是关键．

6．（2016•甘孜州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是　x=2　．

【分析】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解．

【解答】解：

∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），

∴关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2，

故答案为：

x=2．

【点评】考查了一次函数与一元一次方程的知识，解题的关键是了解函数的图象的交点与方程的解的关系，难度不大．

7．（2016•东营）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是　x＞3　．

【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y=x+b的图象都在y=kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．

【解答】解：

当x＞3时，x+b＞kx+6，

即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．

故答案为：

x＞3．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

8．（2016•平顶山二模）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则kx+b＞0的解集是　x＞﹣3　．

【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．

【解答】解：

一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣3，0），且函数值y随x的增大而增大，

则kx+b＞0的解集是x＞﹣3．

故本题答案为：

x＞﹣3．

【点评】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．

9．（2016•寿光市模拟）如图，已知函数y=ax+2与y=bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则根据图象可得不等式ax＞bx﹣5的解集是　x＜2　．

【分析】把所求不等式进行整理可得与函数表达式相关的形式，找到在交点的哪一边，相同自变量的值，y=ax+2的函数值大于y=bx﹣5的函数值即可．

【解答】解：

∵ax＞bx﹣5，

∴ax+2＞bx﹣3，

从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx﹣5的函数值，

∴ax＞bx﹣5的解集是：

x＜2．

【点评】解决本题的关键是把所求的不等式整理为和所给函数相关的形式；两个函数图象进行比较，要从交点入手思考．

10．（2016•湘潭模拟）如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是　﹣2＜x≤﹣1　．

【分析】把所给两点代入一次函数解析式可得k，b的值，进而求不等式组的解集即可．

【解答】解：

∵直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，

∴

，

解得

，

∴不等式变为﹣3≤﹣2x﹣5＜﹣x﹣3，

解得﹣2＜x≤﹣1，

故答案为﹣2＜x≤﹣1．

【点评】考查一次函数和一元一次不等式的相关问题；用待定系数法求得未知函数解析式是解决本题的突破点．

11．（2016•金华模拟）函数y=ax+b的图象如图，则方程ax+b=0的解为　x=3　；不等式0＜ax+b≤2的解集为　0≤x＜3　．

【分析】观察函数图象当x=3时，y=0，即程ax+b=0；函数值满足0＜y≤2所对应的自变量的取值范围为0≤x＜3．

【解答】解：

方程ax+b=0的解为x=3；不等式0＜ax+b≤2的解集为0≤x＜3．

故答案为x=3；0≤x＜3．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

二．解答题（共11小题）

12．（2016•南京）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：

L/km）与速度x（单位：

km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．

（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　0.13　L/km、　0.14　L/km．

（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．

（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？

最低是多少？

【分析】

（1）和

（2）：

先求线段AB的解析式，因为速度为50km/h的点在AB上，所以将x=50代入计算即可，速度是100km/h的点在线段BC上，可由已知中的“该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km”列式求得，也可以利用解析式求解；

（3）观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程组的解即可．

【解答】解：

（1）设AB的解析式为：

y=kx+b，

把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=kx+b中得：

解得

∴AB：

y=﹣0.001x+0.18，

当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，

由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：

0.12+（100﹣90）×0.002=0.14，

故答案为：

0.13，0.14；

（2）由

（1）得：

线段AB的解析式为：

y=﹣0.001x+0.18；

（3）设BC的解析式为：

y=kx+b，

把（90，0.12）和（100，0.14）代入y=kx+b中得：

解得

，

∴BC：

y=0.002x﹣0.06，

根据题意得

解得

，

答：

速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km．

【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：

两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．

13．（2016•牡丹江）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早

小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？

直接写出答案．

【分析】

（1）根据路程与相应的时间，求得快车与慢车的速度；

（2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式；

（3）分三种情况：

在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可．

【解答】解：

（1）快车速度：

180×2÷（

）=120千米/时，

慢车速度：

120÷2=60千米/时；

（2）快车停留的时间：

﹣

×2=

（小时），

+

=2（小时），即C（2，180），

设CD的解析式为：

y=kx+b，则

将C（2，180），D（

，0）代入，得

，

解得

，

∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y=﹣120x+420（2≤x≤

）；

（3）相遇之前：

120x+60x+90=180，

解得x=

；

相遇之后：

120x+60x﹣90=180，

解得x=

；

快车从甲地到乙地需要180÷120=

小时，

快车返回之后：

60x=90+120（x﹣

﹣

）

解得x=

综上所述，两车出发后经过

或

或

小时相距90千米的路程．

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．求一次函数y=kx+b，需要两组x，y的值或图象上两个点的坐标．在解题时注意分类思想的运用．

14．（2016•梧州）为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：

普通消费：

35元/次；

白金卡消费：

购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；

钻石卡消费：

购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费．

以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用．

（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？

（2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式；

（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式．

【分析】

（1）根据普通消费方式，算出健身6次的费用，再与280、560进行比较，即可得出结论；

（2）根据“普通消费费用=35×次数”即可得出y普通关于x的函数关系式；再根据“白金卡消费费用=卡费+超出部分的费用”即可得出y白金卡关于x的函数关系式；

（3）先算出健身18次普通消费和白金卡消费两种形式下的费用，再令白金卡消费费用=钻石卡消费的卡费，算出二者相等时的健身次数，由此即可得出结论．

【解答】解：

（1）35×6=210（元），210＜280＜560，

∴李叔叔选择普通消费方式更合算．

（2）根据题意得：

y普通=35x．

当x≤12时，y白金卡=280；当x＞12时，y白金卡=280+35（x﹣12）=35x﹣140．

∴y白金卡=

．

（3）当x=18时，y普通=35×18=630；y白金卡=35×18﹣140=490；

令y白金卡=560，即35x﹣140=560，

解得：

x=20．

当18≤x≤19时，选择白金卡消费最合算；当x=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当x≥21时，选择钻石卡消费最合算．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：

（1）根据数量关系列式计算；

（2）根据数量关系找出函数关系式；（3）令y白金卡=560，算出白金卡消费和钻石卡消费费用相同时健身的次数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列式计算（或列出函数关系式）是关键．

15．（2016•龙岩）某厂家在甲