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圆》章节知识点复习
、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2
、圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3
、圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内;
2、点在圆上dr点B在圆上;
3、点在圆外dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
dr有一个交点;
1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切
3、直线与圆相交dr有两个交点;
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;
相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;
内含(图5)无交点dRr;
五、垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推
出其它3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在⊙O中,∵AB∥CD
∴弧AC弧BD
D
A
六、圆心角定理
圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:
①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
所对的弧相等,
七、圆周角定理
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:
∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:
在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:
在⊙O中,∵AB是直径
∴C90
或∵C90
∴AB是直径
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:
在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:
在⊙O中,
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
∵PA、PB是的两条切线
∴PAPB
PO平分BPA
一、圆幂定理
(1)相交弦定理:
圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:
在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,
∴PAPBPCPD
2)推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:
在⊙O中,∵直径ABCD,∴CE2AEBE
(3)切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项。
即:
在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线
PA2PCPB
(4)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等(如上图)。
即:
在⊙O中,∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:
O1O2垂直平分AB。
即:
∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:
RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;
B
C
O1
O2
2)外公切线长:
CO2是半径之差;内公切线长:
CO2是半径之和
十四、圆内正多边形的计算
A
1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行
OD:
BD:
OB1:
3:
2;
2)正四边形
同理,四边形的有关计算在
RtOAE中进行,OE:
AE:
OA1:
1:
2:
3)正六边形
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:
OB:
OA1:
3:
2.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
O
B
nR
1、扇形:
(1)弧长公式:
l;
180
-6-/14
S
2)扇形面积公式:
2nR
S
360
1lR
2
n:
圆心角R:
扇形多对应的圆的半径
l:
扇形弧长S:
扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
2
S表S侧2S底=2rh2r2
(2)圆柱的体积:
Vr2h
(2)圆锥侧面展开图
(1)S表S侧S底=Rrr2
12
(2)圆锥的体积:
Vr2h
3
典型例题
例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小.
例2.如图,AB为⊙O直径,E是BC中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=
例3.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()
例4.如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为EF.
(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?
为什么?
(2)如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?
AB与CD的大小有什么关系?
?
为什么?
∠AOB与∠COD呢?
例5.如图3和图4,MN是⊙O的直径,弦AB、CD?
相交于MN?
上的一点P,?
∠APM=∠CPM.
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
例6如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=()
A.130°B.100°C.50°D.65°
例7.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙O相切吗?
如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.
例8.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.
例9.如图,已知正六边形
ABCDEF,其外接圆的半径是a,?
求正六边形的周长和面积_O.
x_
例10.在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为AB,顶点
C在半圆圆周上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC?
的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.
hDNNF
(1)求△ABC的边AB上的高h.
(2)设DN=x,且,当x取何值时,水池DEFN
hAB
的面积最大?
(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:
这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?
如果在,为了保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.
例11.操作与证明:
如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:
正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
例12.已知扇形的圆心角为120°,面积为300cm2.
(1)求扇形的弧长;
(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?
例13、如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交BC于D.
(1)请写出五个不同类型的正确结论;
(2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.
例14.已知:
如图等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧PC上的一点(端点除外),延长BP至D,使BDAP,连结CD.
(1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?
并说明理由.
(2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形?
为什么?
解题思路:
(1)△PDC为等边三角形.
例16、如图,已知在⊙O中,AB=43,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径例17.如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.
1)求这个扇形的面积(结果保留).
2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与
此扇形围成一个圆锥?
请说明理由.
3)当⊙O的半径R(R0)为任意值时,
(2)中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
例18.
(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点:
过点C作CD切⊙O于点D,连结AD交DC于点E.求证:
CD=CE
么上述结论CD=CE还成立吗?
为什么?
(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗?
为什么
2)
3)
例19、(2010山东德州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD
交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.
1)求证:
BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=12°0时,求∠EFG的度数.
例20、(2010广东广州)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
1)求弦AB的长;
判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
记△ABC的面积为S,若S2=43,求△ABC的周长.
DE2
例21.(2010江西)“6”字形图中,FM是大圆的直径,BC与大圆相切于B,OB
与小圆相交于A,BC∥AD,CD∥BH∥FM,BC∥DG,DH∥BH
于H,设FOB,OB4,BC6,
1)求证:
AD是小圆的切线;
2)在图中找出一个可用表示的角,并说明你这样表示的理由;
3)当30,求DH的长
例22.(2010江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系中,直线ykxb(k为常数且k≠0)
分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为5个单位长度.
⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=O.B
①求k的值;
②若b=4,点P为直线ykxb上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.
1
⑵若k2,直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)
例23.如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N?
在⊙O上.
1)求证:
AM=BN;
2)若C、D分别为OA、OB中点,则AMMNNB成立吗?
B
皿
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