圆精典培优竞赛题含详细答案.docx
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圆精典培优竞赛题含详细答案
..
圆培优竞赛
1.如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C、D,若
⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是()
A.513
B.12
C.3
13
D.2
13
12
5
5
3
【答案】B.
【解析】
试题分析:
如答图,连接PO,AO,取AO中点G,连接AG,过点A作AH⊥PO于
点H,
∵PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,
∴PA=PB,CA=CE,DB=DE,∠APO=∠BPO,∠OAP=90o.
∵△PCD的周长等于
3r,∴PA=PB=
3
r.
2
3
2
13
∵⊙O
的半径为
r,∴在Rt△APO
中,由勾股定理得
PO
t2
r
r.∴
2
2
GO
13r.
4
∵∠OHA=∠OAP=90o,
∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP.
∴AH
OH
OA,即
PA
OA
OP
AH
OHr
.
3
r
r
13r
2
2
∴AH
313r,
OH
2
13r.∴GH
GO
OH
13r
213r
513r.
13
13
4
13
52
3
13
AH
r
12
∵∠AGH=2∠APO=∠APB,∴tan
APB
tan
AGH
13
GH
513
.
5
r
52
故选B.
考点:
1.切线的性质;2.切线长定理;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质;5.锐角三角函数定义;6.直角三角形斜边上中线的性质;7.转换思想的应用.
word版本
2.如图,以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形
ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的
边长为有理数,则R、r的值可能是().
A.R=5,r=2B.R=4,r=3/2
C.R=4,r=2D.R=5,r=3/2
【答案】D
【解析】
本题考查圆和勾股定理的综合应用,在竞赛思维训练中有典型意义。
可以将选项中的数据代入圆中,看是否满足条件。
做圆心O和正方形中心O。
设正方形边长为a。
设AB中点为H,连接OH并延长,交大圆于点J
DA
2r
R
a
P
Q
O'
J
G
O
CB
则连接OA.由勾股定理有OH
R2a,JHR
R2a
2
2
所以2raRR2
a
2R。
2
将各个选项数据代入,知
D正确。
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点E在中线AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径为().
A
E
BDC
试卷第2页,总61页
.
.
A.7
B.6
C.5
D.1
8
7
6
【答案】B.
【解析】
试题分析:
作EH⊥AC于H,EF⊥BC于F,EG⊥AB于G,连结EB,EC,设⊙E的半径为R,如图,
∵∠C=90°,AB=5,AC=3,
∴BC=AB2AC24,而AD为中线,
∴DC=2,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴EG=EF=R,
∴HC=R,AH=3-R,∵EH∥BC,
∴△AEH∽△ADC,∴EH:
CD=AH:
AC,
即EH=2(3R),3
∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC,
1
1
1
2(3R)
1
∴×5×R+×4×R+×3×
3
=×3×4,
2
2
2
2
∴R=6
.
7
故选B.
考点:
切线的性质.
4.如图,过D、A、C三点的圆的圆心为E,过B、E、F三点的圆的圆心为D,如果
∠A=63o,那么∠B=.
【答案】18°
【解析】连接
ED,CE,由图可知∠B=∠DEB,∠ECD=∠EDC=2∠B
∵∠A=63o
,
∴∠ECA=63
o
∴∠A+∠ECA+∠ECD+∠B=180o
∴∠B=18°
5.如图,在以O为圆心的两个同心圆图
2中,MN为大圆的直径,交小圆于点P、Q,
大圆的弦MC
交小圆于点A、B.若OM=2,OP=1,MA=AB=BC
,则△
MBQ的面积
为
.
word版本
【答案】315/8
【解析】
小圆方程x2+y2=1
MC
y
方程y=k(x+2),x=
k2
解y1
2k
k
1
3k2
=
1
k2
y2
2k
k
1
3k2
=
1
k2
y1
=
2
1
3k2
=2
y2
2
1
3k2
2+
13k2
=4-213k2
313k2=2
1-3k2
=
4
9
k=
5
27
此时AM=
1.5,MB=
6
MC=
3
6
2
B点坐标为(
1,
5
4
)
4
27
9
MBQ
面积=
3
5
4
27
5
15
2
27
3/2
=
27
=3
9
8
8
6.如图,已知⊙O的半径为9cm,射线PM经过点O,OP=15cm,射线PN与⊙
O相切于点Q.动点A自P点以
5
的速度沿射线
PM方向运动,同时动点B也
cm/s
2
自P点以2cm/s的速度沿射线
PN方向运动,则它们从点
P出发
s后AB所
在直线与⊙O相切.
试卷第4页,总61页
..
【答案】0.5s或10.5s.
【解析】
试题分析:
PN与⊙O相切于点Q,OQ⊥PN,即∠OQP=90°,在直角△OPQ中根
据勾股定理就可以求出PQ的值,过点O作OC⊥AB,垂足为C.直线AB与⊙O相切,
则△PAB∽△POQ,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.
试题解析:
连接OQ,
∵PN与⊙O相切于点Q,
∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°,
∵OP=15,OQ=9,
∴PQ=102
62
12(cm).
过点O作OC⊥AB,垂足为C,
∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为2cm/s,运动时间为ts,
2
5
∴PA=t,PB=2t,
2
∵PO=15,PQ=12,
∴PAPB,
POPQ
∵∠P=∠P,
∴△PAB∽△POQ,
∴∠PBA=∠PQO=90°,
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,
∴四边形OCBQ为矩形.
∴BQ=OC.
word版本
∵⊙O的半径为,
∴BQ=OC=9时,直线AB与⊙O相切.①当AB运动到如图1所示的位置,
BQ=PQ-PB=12-2t,
∵BQ=9,∴8-4t=9,
∴t=0.25(s).
②当AB运动到如图2所示的位置,
BQ=PB-PQ=2t-12,
∵BQ=9,∴2t-12=9,
∴t=10.5(s).
∴当t为0.5s或10.5s时直线AB与⊙O相切.
考点:
1.切线的判定;2.勾股定理;3.矩形的性质;4.相似三角形的判定与性质.
7.(本题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点M(2,2),以点M为圆心,
OM长为半径作⊙M,使⊙M与直线OM的另一交点为点B,与x轴、y轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接AM点P是弧AB上的动点.
(1)写出∠AMB的度数;
(2)点Q在射线OP上,且OP·OQ=20,过点Q作QC垂直于直线OM,垂足为
C,直线QC交x轴于点E.
①当动点P与点B重合时,求点E的坐标;
②连接QD,设点Q的纵坐标为t,△QOD的面积为S,求S与t的函数关系式及S
的取值范围.
【答案】
(1)90°;
(2)①(52,0);②S=2t,5≤S≤10.
【解析】
试卷第6页,总61页
..
试题分析:
(1)首先过点M作MH⊥OD于点H,由点M(
2,2),可得∠
MOH=45°,
OH=MH=
2,继而求得∠
AOM=45°,又由OM=AM
,可得△AOM
是等腰直角三
角形,继而可求得∠
AMB的度数;
(2)①由OH=MH=
2,MH⊥OD,即可求得OD与OM的值,继而可得OB的长,
又由动点P与点B重合时,
OP?
OQ=20,可求得OQ的长,继而求得答案;
②由OD=2
1
2t,然后分别从当动点P与
2,Q的纵坐标为t,即可得S=22t=
2
B点重合时,过点
Q作QF⊥x轴,垂足为F点,与当动点P与A点重合时,Q点在y
轴上,去分析求解即可求得答案.
试题解析:
(1)过点M作MH⊥OD于点H,∵点M(
2,2),∴OH=MH=
2,
∴∠MOD=45°,∵∠
AOD=90°,∴∠AOM=45°,∵OM=AM,∴∠OAM=∠
AOM=45°,∴∠
AMO=90°,∴∠
AMB=90°;
(2)①∵OH=MH=
2,MH⊥OD,∴OM=
MH2
OH2=2,OD=2OH=
22,
∴OB=4,∵动点
P与点B重合时,
OP?
OQ=20,∴OQ=5,∵∠OQE=90°,∠
POE=45°,∴OE=5
2,∴E点坐标为(5
2,0);
1
②∵OD=22,Q的纵坐标为t,∴S=22t=2t,如图2,当动点P与B点重
2
合时,过点Q作QF⊥x轴,垂足为F点,∵OP=4,OP?
OQ=20,∴OQ=5,∵∠
OFC=90°,∠
QOD=45°,∴t=QF=
52,此时S=
5
2
2
=5;
2
2
如图3,当动点P与A点重合时,Q点在y轴上,∴OP=2
2,∵OP?
OQ=20,∴t=OQ=
52,此时S=
252=10;∴S的取值范围为5≤S≤10.
word版本
考点:
圆的综合题.
8.(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,
弦DF与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若DE=23,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
【答案】
(1)2;
(2)2.
【解析】
试题分析:
(1)根据垂径定理得
CE的长,再根据已知
1
1
DE平分AO得CO=
AO=
2
2
OE,解直角三角形求解.
(2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.
试题解析:
(1)∵直径AB⊥DE,∴CE=
1DE=
3.∵DE平分AO,∴CO=1
AO=
1
2
2
2
OE.又∵∠
OCE=90°,∴sin∠CEO=
CO=
1,∴∠CEO=30°.在Rt△COE
中,
EO
2
CE
3
OE=
==2,∴⊙O的半径为2;
cos30
3
2
(2)连接OF.在Rt△DCP中,∵∠DPC=45°,∴∠D=90°﹣45°=45∴∠°,EOF=2
∠D=90°,
∴S扇形OEF=90
22
=π.
360
1××
∵∠
EOF=2
∠
D=90
°,
OE=OF=2
,∴
SRtOEF=
,∴S
=
OEOF=2
阴影
2
S扇形OEF
SRtOEF=
2.
试卷第8页,总61页
..
考点:
1.扇形面积的计算;2.线段垂直平分线的性质;3.解直角三角形.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点p从A开始折线
A——B——C——D以4cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的
速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随
之停止运动,设运动的时间t(秒)
(1)t为何值时,四边形APQD为矩形.
(2)如图
(2),如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切?
【答案】
(1)4;
(2)t为4s,20s,28s时,⊙P与⊙Q外切.
33
【解析】
试题分析:
(1)四边形APQD为矩形,也就是AP=DQ,分别用含t的代数式表示,解即可;
(2)主要考虑有四种情况,一种是P在AB上,一种是P在BC上时.一种是P在CD上时,又分为两种情况,一种是P在Q右侧,一种是P在Q左侧.并根据每一种情况,找出相等关系,解即可.
试题解析:
(1)根据题意,当AP=DQ时,四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t,解
得t=4(s).
答:
t为4时,四边形APQD为矩形
(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切.
①如果点P在AB上运动.只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4.由
(1),得t=4(s);
②如果点P在BC上运动.此时t≥5,则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外
离;
③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧.可得CQ=t,CP=4t-24.当CQ-CP=4
时,⊙P与⊙Q外切.此时,t-(4t-24)=4,解得t=
20
(s);
3
④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ=4
时,⊙P与⊙Q外切.此
时,4t-24-t=4,
解得t=
28(s),
3
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s,点Q从C开始沿CD边移动到
D需要20s,而28<11,
3
∴当t为4s,20s,28s时,⊙P与⊙Q外切.
33
考点:
1.矩形的性质;2.圆与圆的位置关系.
10.(10分)如图,以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E,点D是AE的中点,
word版本
连接OD并延长交⊙O于点M,∠BOE=60°,cosC=1,BC=23.
2
(1)求A的度数;
(2)求证:
BC是⊙O的切线;
(3)求弧AM的长度.
【答案】
(1)30°;
(2)证明见试题解析;(3).
【解析】
试题分析:
(1)根据三角函数的知识即可得出∠A的度数.
(2)要证BC是⊙O的切线,只要证明AB⊥BC即可.
(3)根据垂径定理求得∠AOM=60°,运用三角函数的知识求出OA的长度,即可求得弧AM的长度.
1
试题解析:
(1)∵OA=OE,∴∠A=∠OEA,∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A,∴∠A=
2
1
∠BOE=×60°=30°;
2
(2)在△ABC中,∵cosC=1,∴∠C=60°,又∵∠A=30°,∴∠ABC=90°,∴
2
AB⊥BC,∵AB为直径,∴BC是⊙O的切线;
(3)∵点D是AE的中点,∴OM⊥AE,∵∠A=30°,∴∠AOM=60°,在RT△ABC
中,tanC=
AB,∵BC=2
3,∴AB=BC?
tanC=23
3=6,∴OA=
1
AB=3,∴
BC
2
60
3
弧AM的长=
=π.
180
考点:
切线的判定.
11.已知在平面直角坐标系
xOy中,O是坐标原点,以
P(1,1)为圆心的⊙P与x
轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒
1个单位长
度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是
t秒(t>0)
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:
PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设
OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示
b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交
x轴
于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点
Q、O、E为顶
点的三角形与以点
P、M、F为顶点的三角形相似?
若存在,请直接写出
t的值;若不
存在,请说明理由.
试卷第10页,总61页
..
1
17
2或
【答案】
(1)证明见解析;
(2)b=2+a或2﹣a;(3)当t
或2或2
4
22时,以点Q、O、E为顶点的三角形与以点
P、M、F为顶点的三角形相似.
【解析】
试题
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