四边形难题汇编附答案.docx
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四边形难题汇编附答案
四边形难题汇编附答案
一、选择题
1.如图,在YABCD中,AC8,BD6,AD5,则YABCD的面积为()
A.6
B.12
C.24
D.48
【答案】C
【分析】
【剖析】
由勾股定理的逆定理得出
AOD
90o,即AC
BD,得出YABCD是菱形,由菱形面
积公式即可得出结果.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC
OC
1AC
4,OB
OD
1BD
3,
2
2
∴OA2
OD2
25
AD2,
∴AOD90o,即AC
BD,
∴YABCD是菱形,
∴YABCD的面积
1
1
ACBD
8624;
2
2
应选C.
【点睛】
本题考察平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判断与性质,娴熟掌握平行四边
形的性质,证明四边形ABCD是菱形是解题的重点.
2.如图,已知AD是三角形纸片ABC的高,将纸片沿直线EF折叠,使点A与点D重合,给出以下判断:
①EF是VABC的中位线;
②VDEF的周长等于VABC周长的一半:
③若四边形AEDF是菱形,则
ABAC;
④若BAC是直角,则四边形
AEDF是矩形.
此中正确的选项是(
)
A.①②③
B.①②④
C.②④
D.①③④
【答案】A
【分析】
【剖析】
依据折叠可得EF是AD的垂直均分线,再加上条件
AD是三角形纸片
ABC的高能够证明EF
∥BC,从而可得△AEF∽△ABC,从而得AE
AF
AO
1
,从而获得EF是△ABC的中
AB
AC
AD
2
位线;再依据三角形的中位线定理可判断出
△AEF的周长是△ABC的一半,从而获得△DEF
的周长等于△ABC周长的一半;依据三角形中位线定理可得
1
1
AE=AB,AF=AC,若四边形
2
2
AEDF是菱形则AE=AF,即可获得AB=AC.
【详解】
解:
∵AD是△ABC的高,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
依据折叠可得:
EF是AD的垂直均分线,
∴AO=DO=1AD,AD⊥EF,
2
∴∠AOF=90°,
∴∠AOF=∠ADC=90°,
∴EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
AE
AF
AO
1
AB
AC
AD
,
2
∴EF是△ABC的中位线,故①正确;
∵EF是△ABC的中位线,
∴△AEF的周长是△ABC的一半,依据折叠可得△AEF≌△DEF,
∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半,故②正确;
∵EF是△ABC的中位线,
∴AE=1AB,AF=1AC,
22
若四边形AEDF是菱形,
则AE=AF,
∴AB=AC,
故③正确;
依据折叠只好证明∠BAC=∠EDF=90°,
不可以确立∠AED和∠AFD的度数,故④错误;应选:
A.
【点睛】
本题主要考察了图形的翻折变换,以及三角形中位线的性质,重点是掌握三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,而且等于第三边的一半.
3.如图,在菱形ABCD中,点E在边AD上,BE
AD,BCE
30.若AE
2,则
边BC的长为()
A.5B.6C.7D.22
【答案】B
【分析】
【剖析】
由菱形的性质得出AD∥BC,BC=AB=AD,由直角三角形的性质得出AB=BC=3BE,在
Rt△ABE中,由勾股定理得:
BE2+22=(3BE)2,解得:
BE=2,即可得出结果.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,BC∵BEAD.∴BE
AB.
BC.
∴BCE30,∴EC2BE,
∴ABBCEC2BE23BE.
在Rt△ABE中,由勾股定理得BE2
22
2
3BE,
解得BE
2,∴BC3BE
6.
应选B.
【点睛】
本题考察菱形的性质,含30°角的直角三角形的性质,勾股定理,娴熟掌握菱形的性质,
由勾股定理得出方程是解题的重点.
4.如图,矩形ABCD中,AB>AD,AB=a,AN均分∠DAB,DM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为(用含a的代数式表示)()
A.a
4
C.
2a
D.
3a
B.a
5
2
2
【答案】C
【分析】
【剖析】
依据“AN均分∠DAB,DM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°,
cos45°=DM
CN
,因此
DM+CN=CDcos45°;再依据矩形
ABCD,AB=CD=a,DM+CN的值即
DE
CE
可求出.
【详解】
∵AN均分∠DAB,DM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N,
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°,
∴DM0
CN0=CD,
cos45
cos45
在矩形ABCD中,AB=CD=a,
∴DM+CN=acos45°=2a.
2
应选C.
【点睛】
本题考察矩形的性质,解直角三角形,解题重点在于获得
cos45°=DM
CN
DE
CE
5.如图,在菱形
ABCD中,对角线
AC=8,BD=6,点
E,F分别是边
AB,BC的中点,点
P在
AC上运动,在运动过程中,存在
PE+PF的最小值,则这个最小值是(
)
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
【分析】
【剖析】
先依据菱形的性质求出其边长,再作E对于AC的对称点E′,连结E′F,则E′F即为PE+PF
的最小值,再依据菱形的性质求出E′F的长度即可.
【详解】
解:
如图
∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=6,BD=8,
∴AB=3242=5,
作E对于AC的对称点E′,连结E′F,则E′F即为PE+PF的最小值,∵AC是∠DAB的均分线,E是AB的中点,
∴E′在AD上,且E′是AD的中点,∵AD=AB,
∴AE=AE′,
∵F是BC的中点,∴E′F=AB=5.
应选C.
6.如图,在平行四边形
ABCD中,用直尺和圆规作∠
BAD的均分线
AG交BC于点
E,若
BF=6,AB=5,则
AE的长为
(
)
A.4B.8C.6D.10
【答案】B
【分析】
【剖析】
【详解】
解:
设AG与BF交点为O,∵AB=AF,AG均分∠BAD,AO=AO,∴可证△ABO≌△AFO,∴
BO=FO=3,∠AOB=∠AOF=90o,AB=5,∴AO=4,∵AF∥BE,∴可证△AOF≌△EOB,
AO=EO,∴AE=2AO=8,应选B.
【点睛】
本题考察角均分线的作图原理和平行四边形的性质.
7.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC
AB,E是
BC中点,△AOD的周长比VAOB的周长多3cm,则AE的长度为()
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.8cm
【答案】B
【分析】
【剖析】
依据题意,由平行四边形的周长获得
ABAD
13,由△AOD的周长比VAOB的周长
多3cm,则AD
AB3,求出AD的长度,即可求出
AE的长度.
【详解】
解:
∵平行四边形
ABCD的周长是26cm,
1
2613,
∴ABAD
2
∵BD是平行四边形的对角线,则
BO=DO,
∵△AOD的周长比VAOB的周长多3cm,
∴(AOODAD)(AOOB
AB)AD
AB
3,
∴AB5,AD8,
∴BCAD8,
∵AC
AB,点E是BC中点,
∴AE
1
1
BC
84;
2
2
应选:
B.
【点睛】
本题考察了平行四边形的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,解题的重点是娴熟掌握平行四边形的性质进行解题.
8.如图,在菱形ABCD中,AB=10,两条对角线订交于点O,若OB=6,则菱形面积是
()
A.60
B.48
C.24
D.96
【答案】D
【分析】
【剖析】
由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=6,由勾股定理可求
【详解】
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=6,
AO的长,即可求解.
∴AO=AB2OB2
100368,
∴AC=16,BD=12,
∴菱形面积=1216=96,
2
应选:
D.
【点睛】
本题考察了菱形的性质,勾股定理,掌握菱形的对角线相互垂直均分是本题的重点.
9.如图,小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,BC长为
10cm.当小莹折叠时,极点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).则此时EC=()cm
A.4B.2C.22D.3
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据矩形的性质得AB=CD=8,BC=AD=10,∠B=∠C=90°,再依据折叠的性质得AF=AD=10,
DE=EF,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出BF=6,则CF=BC﹣BF=4,设CE=x,则DE=EF=8
﹣x,在Rt△CEF中利用勾股定理获得:
42+x2=(8﹣x)2,而后解方程即可.【详解】
解:
∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=8,BC=AD=10,∠B=∠C=90°.∵长方形纸片ABCD折纸,极点D落在BC边上的点F处(折痕为AE),
∴AF=AD=10,DE=EF,
在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,∴BF=AF2AB26
∴CF=BC﹣BF=4.
设CE=x,则DE=EF=8﹣x,
在Rt△CEF中,∵CF222,+CE=EF
∴42+x2=(8﹣x)2,解得x=3
∴EC的长为3cm.
应选:
D
【点睛】
本题考察了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用;娴熟掌握折叠的性质和矩形的性质,依据勾股定理得出方程是解题重点.
10.如图11-3-1,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则必定有()
A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE=1∠ADCD.∠ADE=1∠ADC
23
【答案】D
【分析】
【剖析】
【详解】
设∠ADE=x,∠ADC=y,由题意可得,
∠ADE+∠AED+∠A=180°,∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°,即x+60+∠A=180①,3∠A+y=360②,
由①×3-②可得3x-y=0,
因此x
1y,即∠ADE=
1∠ADC.
3
3
故答案选D.
考点:
三角形的内角和定理;四边形内角和定理.
11.如图,在?
ABCD中,BM是∠ABC的均分线交CD于点M,且MC=2,?
ABCD的周长是在14,则DM等于()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】
试题剖析:
∵BM是∠ABC的均分线,∴∠ABM=∠CBM,∵AB∥CD,∴∠ABM=∠BMC,∴∠BMC=∠CBM,∴BC=MC=2,∵?
ABCD的周长是14,∴BC+CD=7,∴CD=5,则DM=CD
﹣MC=3,应选C.
考点:
平行四边形的性质.
12.如图,四边形ABCD的对角线为AC、BD,且AC=BD,则以下条件能判断四边形ABCD为矩形的是()
A.BA=BC
B.AC、BD相互均分
C.AC⊥BD
D.AB∥CD
【答案】B
【分析】
试题剖析:
依据矩形的判断方法解答.
解:
能判断四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD相互均分.
原因以下:
∵AC、BD相互均分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,
∴?
ABCD是矩形.
其余三个条件再加上AC=BD均不可以判断四边形ABCD是矩形.
应选B.
考点:
矩形的判断.
13.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE均分BAD交BC于点E,且∠ADC=
1
60°,AB=BC,连结OE.以下结论:
①AE=CE;②S△ABC=AB?
AC;③S△ABE=2S△AOE;
2
1
④OE=BC,建立的个数有()
4
A.1个B.2个C.3个D.4
【答案】C
【分析】
【剖析】
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,利用角均分线的性质证明
1
△ABE是等边三角形,而后推出AE=BE=BC,再联合等腰三角形的性质:
等边平等角、三
2
线合一进行推理即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,
∵AE均分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,∠AEB=60°,
∵AB=1BC,
2
∴AE=BE=1BC,
2
∴AE=CE,故①正确;∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°,
=
AB?
AC,故②错误;
∴S△ABC
1
2
∵BE=EC,
∴E为BC中点,O为AC中点,
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE,故③正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=CO,
∵AE=CE,∴EO⊥AC,∵∠ACE=30°,
∴EO=1EC,
2
1
∵EC=AB,
2
∴OE=1BC,故④正确;
4
故正确的个数为3个,
应选:
C.
【点睛】
本题考察平行四边形的性质,等边三角形的判断与性质.注意证得△ABE是等边三角形是解题重点.
14.如图,在VABC中,D,E是AB,AC中点,连结DE并延伸至F,使EF
DE,
CF
ADCF
()
连结AF,CD,.增添以下条件,可使四边形
为菱形的是
A.ABACB.ACBCC.CDABD.ACBC
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据AE=CE,EF=DE可证得四边形ADCF为平行四边形,再利用中位线定理可得DE∥BC
联合AC⊥BC可证得AC⊥DF,从而利用对角线相互垂直的平行四边形是菱形即可得证.
【详解】
解:
∵点E是AC中点,
∴AE=CE,
∵AE=CE,EF=DE,
∴四边形ADCF为平行四边形,
∵点D、E是AB、AC中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB,
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴∠AED=90°,
∴AC⊥DF,
∴平行四边形ADCF为菱形
应选:
D.
【点睛】
本题考察了菱形的判断,三角形的中位线性质,娴熟掌握有关图形的性质及判断是解决本题的重点.
15.如图,将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形,假如用直尺画一条直线将
其节余部分切割成面积相等的两部分,这样的不一样的直线一共能够画出()
A.1条B.2条C.3条D.4条
【答案】C
【分析】
【剖析】
利用平行四边形的性质切割平行四边形即可.
【详解】
解:
以下图,这样的不一样的直线一共能够画出三条,
故答案为:
3.
【点睛】
本题考察平行四边形的性质,解题的重点是掌握平行四边形的中心对称性.
16.如图,矩形纸片
ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.现将其沿
AE对折,使得点
B落在边
AD
上的点
B1处,折痕与边
BC交于点
E,则
CE的长为(
)
A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm
【答案】D
【分析】
剖析:
依据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1,而后求出四边形ABEB1是正方形,再依据正方形的性质可得BE=AB,而后依据CE=BC-BE,代入数据进行计算即可得解.
详解:
∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处,
∴∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1,
又∵∠BAD=90°,
∴四边形ABEB1是正方形,
∴BE=AB=6cm,
∴CE=BC-BE=8-6=2cm.
应选:
D.
点睛:
本题考察了矩形的性质,正方形的判断与性质,翻折变换的性质,判断出四边形
ABEB1是正方形是解题的重点.
17.如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点
P作EF//BC,分别交AB、
CD于点E、F,连结PB、PD,若AE
1,PF
8,则图中暗影部分的面积为
()
A.5B.6C.8D.9
【答案】C
【分析】
【剖析】
由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD,即可求解.
【详解】
作PM⊥AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△△
1
DFP=SPBE=
×1×8=4,
2
∴S阴=4+4=8,
应选:
C.
【点睛】
本题考察矩形的性质、三角形的面积,解题的重点是证明S△PEB=S△PFD.
18.以下说法正确的选项是()
A.对角线相等的四边形必定是矩形
B.随意掷一枚质地平均的硬币10次,必定有5次正面向上C.假如有一组数据为5,3,6,4,2,那么它的中位数是6
D.“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据矩形的判断定理,数据出现的可能性的大小,中位数的计算方法,不行能事件的定义挨次判断即可.
【详解】
A.对角线相等的平行四边形是矩形,故该项错误;
B.随意掷一枚质地平均的硬币10次,不必定有5次正面向上,故该项错误;
C.一组数据为5,3,6,4,2,它的中位数是4,故该项错误;
D.用“长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件,正确,
应选:
D.
【点睛】
本题矩形的判断定理,数据出现的可能性的大小,中位数的计算方法,不行能事件的定
义,综合掌握各知识点是解题的重点.
19.在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD是平行四边形,可增添的条件不正确
的是()
A.AB∥CDB.∠B=∠DC.AD=BCD.AB=CD
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据平行四边形的判断解答即可.
【详解】
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故A正确;
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故C正确;
∵AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°,
∵∠B=∠D,
∴∠B+C=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故B正确;
应选:
D.
【点睛】
本题考察平行四边形的判断,解题重点是依据平行四边形的判断解答.
20.如图,四边形ABCD的对角线订交于点O,且点O是BD的中点,若AB=AD=5,BD
=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为()
A.40B.24C.20D.15
【答案】B
【分析】
【剖析】
依据等腰三角形的性质获得AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,
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