线性规划的常见题型及其解法.docx
- 文档编号:27737614
- 上传时间:2023-07-04
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:402.56KB
线性规划的常见题型及其解法.docx
《线性规划的常见题型及其解法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性规划的常见题型及其解法.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
线性规划的常见题型及其解法
总课题线性规划的常见题型及其解法答案
线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖别致.
归纳起来常见的命题探究角度有:
1求线性目标函数的最值.
2.求非线性目标函数的最值.
3.求线性规划中的参数.
4.线性规划的实际应用.
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.
【母题一】已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的取值范围为()
A.[7,23]B.[8,23]
C.[7,8]D.[7,25]
求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:
y=—x+,通过求直线的截距的最值,间接求出z的最值.
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
由目标函数z=2x+3y得y=—x+,平移直线y=—x知在点B处目标函数取到最小值,解方程组得所以B(2,1),zmin=2X2+3X1=乙在点A处目标函数取到最大值,解方程组得所以A(4,5),zmax=2X4+3X5=23.
【答案】A【母题二】变量x,y满足
(1)设z=,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
(3)设z=x2+y2+6x—4y+13,求z的取值范围.
点(x,y)在不等式组表示的平面区域内,=•表示点(x,y)和连线的斜率;x2+y2表示点(x,y)和原点距离的平方;x2+y2+6x—4y+13=(x+3)2+(y—2)2表示点(x,y)和点(一3,2)的距离的平方.
【解析】
(1)由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.
由解得A.
由解得C(1,1).
由解得B(5,2).
•••Z的值即是可行域中的点与连线的斜率,观察图形可知zmin=x
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.
结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,
dmin=|0C|=,dmax=|0B|=.
•••2 (3)z=x2+y2+6x—4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是: 可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方. 结合图形可知,可行域上的点到(一3,2)的距离中, dmin=1—(—3)=4, dmax==8 •16 =方花•技15======================== 1.求目标函数的最值的一般步骤为: 一画二移三求.其关键是准确作出可 行域,理解目标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型: 形如z=ax+by. 求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式: y=—x +,通过求直线的截距的最值,间接求出z的最值. (2)距离型: 形一: 如z=,z=,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离; 形二: z=(x—a)2+(y—b)2,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方. (3)斜率型: 形如z=,z=,z=,z=,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率. 【提醒】注意转化的等价性及几何意义. 角度一: 求线性目标函数的最值 1.(2014•新课标全国H卷)设x,y满足约束条件则z=2x—y的最大值为() A.10B.8 C.3D.2 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示, 由z=2x—y得y=2x—z,作出直线y=2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A(5,2)时,对应的z值最大.故zmax=2X5—2=8. 【答案】B 2.(2015•高考xx卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为() A.3B.4 C.18D.40 【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示,当目标函数经过点(0,3) 时,z取得最大值18. 【答案】C 3.(2013•高考xx卷)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x—y的最小值为() A.—6B.—2 C.0D.2 【解析】如图,曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图中阴影部分, ~'/-'io'i 令z=2x—y,则y=2x—z,作直线y=2x,在封闭区域内平行移动直线y=2x,当经过点(一2,2)时,z取得最小值,此时z=2X(—2)—2=—6. 【答案】A 角度二: 求非线性目标的最值 4.(2013•高考xx卷)在平面直角坐标系xOyxx,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线0M斜率的最小值为() A.2B.1 C.—D.— 【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小,由直线方程x+2y—1=0和3x+y—8=0,解得A(3,—1),故OM斜率的最小值为—. 【解析】C 5.已知实数x,y满足则z=的取值范围. 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示, 目标函数z==2+的取值范围可转化为点(x,y)与(1,-1)所在直线的斜率加上2的取值范围,由图形知,A点坐标为(,1),则点(1,-1)与(,1)所在直线的斜率为2+2,点(0,0)与(1,-1)所在直线的斜率为—1,所以z的取值范围为(一乂,1]U[2+4,+乂). 【答案】(―乂,1]U[2+4,+^) 6.(2015•xx质检)设实数x,y满足不等式组则x2+y2的取值范围是() A.[1,2]B.[1,4] C[,2]D.[2,4] 【解析】如图所示, 不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界),x2+y2表示的是此区 域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距 离,其值为1;最远的距离为AO其值为2,故x2+y2的取值范围是[1,4]. 【答案】B 7.(2013•高考xx卷)设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点 与点(1,0)之间的距离的最小值为. 【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示, 则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x—y=0的距离最小,d==,故最小距离为. 【答案】 8设不等式组所表示的平面区域是Q1,平面区域Q2与Q1关于直线3x—4y—9=0对称.对于Q1中的任意点A与Q2中的任意点B,|AB|的最小值等于() A.B.4 C.D.2 【解析】不等式组,所表示的平面区域如图所示, 2/ 解方程组,得.点A(1,1)到直线3x—4y—9=0的距离d==2,则|AB|的最小值为4. 【答案】B 角度三: 求线性规划中的参数 9.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是() A.B. C.D. 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D.当y=kx+过点时,=+,所以k=. 【解析】A 10.(2014•高考xx卷)若x,y满足且z=y—x的最小值为—4,则k的值 为() A.2B.—2 C.D.— 【解析】D作出线性约束条件的可行域. 当k>0时,如图①所示,此时可行域为y轴上方、直线x+y—2=0的右上方、直线kx—y+2=0的右下方的区域,显然此时z=y—x无最小值. 当kv—1时,z=y—x取得最小值2;当k=—1时,z=y—x取得最小值—2,均不符合题意. 当一1vkv0时,如图②所示,此时可行域为点A(2,0),B,C(0,2)所围成 的三角形区域,当直线z=y—x经过点B时,有最小值,即一=—4? k=—. 【答案】D 11.(2014•高考xx卷)x,y满足约束条件若z=y—ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为() A.或—1B.2或 C.2或1D.2或—1 【解析】法一: 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(—2,—2),则zA=2,zB=—2a,zC=2a—2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=—1或a=2. 法二: 目标函数z=y—ax可化为y=ax+z,令10: y=ax,平移10,则当 10//AB或10//AC时符合题意,故a=—1或a=2. 【答案】D 12.在约束条件下,当3 A.[6,15]B.[7,15] C.[6,8]D.[7,8] 【解析】由得,贝胶点为B(4—s,2s—4),y+2x=4与x轴的交点为 A(2,0),与y轴的交点为C(0,4),x+y=s与y轴的交点为C(0,s).作出当s=3和s=5时约束条件表示的平面区域,即可行域,如图 (1) (2)中阴影部分所示. (1) (2) 当3 当4Ws<5时,可行域是△OAC及其内部,此时,zmax=& 综上所述,可得目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7,8]. 【答案】D 13.(2015•通化一模)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值 为. 【解析=1+,而表示过点(x,y)与(—1,—1)连线的斜率,xxa>0, 可作出可行域,由题意知的最小值是,即min===? a=1. 【答案】1 角度四: 线性规划的实际应用 14.A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能 成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元,B产品每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 . 【解析】设生产A产品x件,B产品y件,则x,y满足约束条件生产利 润为z=300x+400y. 画出可行域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点,显然z=300x+400y在点A处取得最大值,由方程组解得则zmax=300X3+400X2=1700.故最大利润是1700兀. 【答案】1700 15.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元. (1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 【解析】 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x—y,所以利润w=5x+6y+3(100—x—y)=2x+3y+300. (2)约束条件为整理得 目标函数为w=2x+3y+300. 作出可行域.如图所示: y O 初始直线10: 2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,w有最大值.由得 最优解为A(50,50),所以wma=550元. 所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,最大利润为550元. =勤AO纟东目========================= 一、选择题 1.已知点(一3,—1)和点(4,—6)在直线3x—2y—a=0的两侧,则a的取值范围为() A.(—24,7)B.(—7,24) C.(—X,—7)U(24,+*)D.(—x,—24)U(7,+~ 【解析】根据题意知(一9+2-a)•(12+12-a)v0.即(a+7)(a-24)v0,解得—7vav24. 【答案】B 2.(2015•xx检测)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是() A.—3B.0 C.D.3 【解析】作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部). 平移直线z=x-y,xx当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-3. 【答案】A 3.(2015•xx质检)已知O为坐标原点,A(1,2),点P的坐标(x,y)满足约束条件则的最大值为() A.—2B.—1 C.1D.2 【解析】如图作可行域,z=•=x+2y,显然在B(0,1)处zmax=2. 【答案】D 4.已知实数x,y满足: 贝Sz=2x—2y—1的取值范围是() A.B.[0,5] C.D. 【解析】画出不等式组所表示的区域,如图阴影部分所示,作直线I: 2x—2y—1=0,平移I可知2X—2X—1 【答案】D 5.如果点(1,b)在两条平行直线6x—8y+1=0和3x—4y+5=0之间,则b应取的整数值为() A.2B.1 C.3D.0 【解析】由题意知(6—8b+1)(3—4b+5)v0,即(b—2)v0,「.vbv2,•••b应取的整数为1. 【答案】B 6.(2014•xx模拟)已知正三角形ABC勺顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在厶ABC内部,则z=-x+y的取值范围是() A.(1-,2)B.(0,2) C.(-1,2)D.(0,1+) 【解析】如图,根据题意得C(1+,2). - 作直线一x+y=0,并向左上或右下平移,过点B(1,3)和C(1+,2)时,z=—x+y取范围的边界值,即一(1+)+2 【答案】A 7.(2014•xx二诊)在平面直角坐标系xOyxx,P为不等式组所表示的平面区域上一动点,则直线OP斜率的最大值为() A.2B. C.D.1 【解析】作出可行域如图所示,当点P位于的交点(1,1)时,(kOP)max=1. 【答案】D 8在平面直角坐标系xOyxx,已知平面区域A={(x,y)|x+y<1,且x>0, y>0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)€A}的面积为() A.2B.1 C.D. 【解析】不等式所表示的可行域如图所示, 设a=x+y,b=x—y,则此两目标函数的范围分别为a=x+y€[0,1],b =x—y€[—1,1],又a+b=2x€[0,2],a—b=2y€[0,2],二点坐标(x+y,x —y),即点(a,b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示,由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S=x2X1=1. 【答案】B 9.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4,则ab的取值范围是() A.(0,4)B.(0,4] C.[4,+*)D.(4,+切 【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示,由图可知,z=ax+ by(a>0,b>0)过点A(1,1)时取最大值,二a+b=4,ab<2=4,va>0,b>0,•••ab€(0,4]. 【答案】B 10.设动点P(x,y)在区域Q: 上,过点P任作直线I,设直线I与区域Q的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为() A.nB.2n C.3nD.4n 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示, 则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积的最大值S=nX2=4n. 【答案】D 11.(2015•xx三校联考)变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是() A.{—3,0}B.{3,—1} C.{0,1}D.{—3,0,1} 【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示. xx直线z=ax+y与x—y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无 穷多个,即—a=1或—a=—3,二a=—1或a=3. 【答案】B 12.(2014•新课标全国I卷)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值 为7,则a=() A.—5B.3 C.—5或3D.5或—3 【解析】法一: 联立方程解得代入x+ay=7xx,解得a=3或一5,当a=—5时,z=x+ay的最大值是7;当a=3时,z=x+ay的最小值是7. 法二: 先画出可行域,然后根据图形结合选项求解. 当a=—5时,作出不等式组表示的可行域,如图 (1)(阴影部分). 图 (1)图 (2) 由得交点A(—3,—2),则目标函数z=x—5y过A点时取得最大值.zmax=—3—5X(—2)=7不满足题意,排除A,C选项. 当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图 (2)(阴影部分). 由得交点B(1,2),则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值.zmin=1+3x2=乙满足题意. 【答案】B 13.若a>0,b>0,且当时,xx有ax+by<1,则由点P(a,b)所确定的 平面区域的面积是() A.B. C.1D. 【解析】因为ax+by<1xx成立,则当x=0时,by<1xx成立,可得y<(b工0)xx成立,所以0wb<1;同理0wa<1.所以由点P(a,b)所确定的平面区域是一个边长为1的正方形,面积为1. 【答案】C 14.(2013•高考xx卷)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足x0—2y0=2.求得m的取值范围是() A.B. C.D. 【解析】当m>0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点P(x0,y0)满足x0—2y0=2,因此RK0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 」 'vj=2jc+1 i L咏, rjn 要使可行域内包含y=x—1上的点,只需可行域边界点(—mm)在直线y=x—1的下方即可,即m<—n—1,解得rk—. 【答案】C 15.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域 D上的点,贝Sa的取值范围是() A.(1,3]B.[2,3] C.(1,2]D.[3,+乂) 【解析】平面区域D如图所示. x+y-ll=Q 要使指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,所以1va<3. 【解析】A 16.(2014•高考xx卷)已知圆C: (x—a)2+(y—b)2=1,平面区域Q: 若圆心C€Q,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为() A.5B.29 C.37D.49 【解析】由已知得平面区域Q为AMNP内部及边界.J圆C与x轴相切,二b=1.显然当圆心C位于直线y=1与x+y—7=0的交点(6,1)处时,amax=6.二a2+b2的最大值为62+12=37. 【解析】C 17.在平面直角坐标系中,若不等式组表示一个三角形区域,则实数k的 取值范围是() A.(—X,—1)B.(1,+切 C.(—1,1)D.(—x,—1)U(1,+工) 【解析】已知直线y=k(x—1)—1过定点(1,—1),画出不等式组表示的可行域示意图,如图所示. 当直线y=k(x—1)—1位于y=—x和x=1两条虚线之间时,表示的是一一个三角形区域.所以直线y=k(x—1)—1的斜率的范围为(一x,—1),即实数k的取值范围是(—x,—1).当直线y=k(x—1)—1与y=x平行时不能形成三角形,不平行时,由题意可得k>1时,也可形成三角形,综上可知kv—1或k>1. 【答案】D 18.(2016•xx中学期中)已知实数x,y满足则z=2x+y的最大值为() A.4B.6 C.8D.10 【解析】区域如图所示,目标函数z=2x+y在点A(3,2)处取得最大值,最 大值为8. 【答案】C 19.(2016•xx中学期末)当变量x,y满足约束条件时,z=x-3y的最大值为8,则实数m的值是() A.—4B.—3 C.—2D.—1 【解析】画出可行域如图所示,目标函数z=x—3y变形为y=—,当直线过点C时,z取到最大值, 又C(mm),所以8=m—3m,解得m=—4. 【答案】A 20.(2016•xx质检)已知0为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组 则tan/AOB勺最大值等于() A.B. C.D. 【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域, 【解析】C 二、填空题 21.(2014•高考xx卷)不等式组表示的平面区域的面积为 【答案】4 22.(2014•高考xx卷)若实数x,y满足则x+y的取值范围是
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性规划 常见 题型 及其 解法