数学教案二次根式的混合运算第三课时八年级数学教案模板.docx
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数学教案二次根式的混合运算第三课时八年级数学教案模板
数学教案-二次根式的混合运算(第三课时)_八年级数学教案_模板
一、教学目标 1.掌握二次根式的混合运算.
2.掌握混合运算的应用.
3.通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力.
4.通过混合运算知识拓展,培养学生的探索精神
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点:
二次根式的混合运算.
2.教学难点:
混合运算的应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结,归纳整理,应用提高,以学生活动为主
七、教学过程()
【例题】
例1 化简:
(1);
(2).
解:
(1)
.
(2)
.
说明:
在计算过程中要注意各个式子的特点,能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的,又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置,如,结果为-1,继续运算易出现符号上的差错,而把先变为,这样则为1,继续运算可避免错误.
例2 解下列方程(组):
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
.
(2)①×,得
③
②×,得
④
③-④,得
把代入①,得
解得.
∴ 是原方程组的解.
(3)由②,得
③
①×,得
④
③-④,得
把代入①,得
.
∴ 是原方程组的解.
例3 已知,,求的值.
解:
.
.
,,
∴.
例4 已知,,求的值.
解:
,.
.
(二)随堂练习
1.教材中P206中8.
2.解不等式:
.
解:
∴.
3.已知,,求的值.
解:
3.,或.
.
∴
.
4.已知,,求:
的值.
解 4.
.
5.已知,求的值.
解5..
.
6.不求方根的值比较与的大小.
解6.∵
∴
∴
(三)总结、扩展
根据已知条件,求一个代数的值,要注意条件或代数式的化简,有时条件和要求的代数式都需要化简,当把条件化简后,代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简.
(四)布置作业
教材中P207B组1、3和补充作业.
补充作业:
1.已知,求的值.
2.已知,,求的值.
(五)板书设计
标 题
1.例题…… 3.例题……
2.练习题 4.练习题
八、背景知识与课外阅读
二次根式的混和运算方法和顺序
1.方法
(1)应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则.
(2)在实数范围内运算律仍适用.
(3)二次根式的乘法,与多项式的乘法相类似,遇运用多项式乘法公式时,也可以运用乘法公式.
2.顺序 先乘方、后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的数.
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系,更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边,是数学严谨性的一个体现;同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力;它还将在以后的学习中起着重要作用.
本节内容的难点一是三角形按边分类,很多学生常常把等腰三角形与等边三角形看成独立的两类,而在解题中产生错误.二是利用三角形三边之间的关系解题,在学习和应用这个定理时,“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”而学生的错误就在于以偏概全;分类讨论在解题中也是学生感到困难的一个地方.
2、教法建议
没有学生参与的教学是不成功的教学,教师为了充分调动主体参与,必须在为学生提供必要的背景知识的前提下,与学生一道探索定理在结构上、应用上留给我们的启示.具体说明如下:
(1)强化能力
新课引入,先让学生阅读教材第一部分,然后通过回答教师设计的几个问题,使学生明确对三角形按边分类,做到不重不漏,其中等腰三角形包括等边三角形,反过来等边三角形是等腰三角形的一种特例.
通过阅读,使学生初步认识数学概念的含义,发现疑难;理解领会数学语言(文字语言、符号语言、图形语言),促进数学语言内化,从而提高学生的数学语言水平、自学能力及交流能力
(2)主动获取
在得出三角形三条边关系定理过程中,针对基础比较好的学生,让学生考虑回忆第
一册第一章中学过的这条公理并给出证明,在这个基础上,让学生把定理的内容叙述出来.(3)激荡思维
由定理获得了:
判断三条线段构成一个三角形的一种方法,除了这一种方法外,是否还有其它的判断方法呢?
从而激荡起学生思维浪花:
方法是什么呢?
学生最初可能很快得到“推论”,此时瓜熟蒂落,顺理成章地引出教材中的推论.在此基础上,让学生通过讨论,简化上述两种方法,由此得到下面两种方法.这里,学生若感到困难,教师可适当做提示.方法3:
已知线段,(),若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.教学中采用这种教学方法可培养学生分析问题探索问题的能力,提高学生对数学知识结构完整性的认识.
(4)加深理解
进行必要的例题讲解和适当的解题练习,以达到熟练地运用定理及推论.从过程中让学生体味到数学造化之神奇.也可适当指出,此定理及推论不仅提供了判定三条线段是否构成三角形的根据,也为今后解决字母取值范围问题提供了有利的依据.
整个教学过程,是学生主动参与,教师及时点拨,学生积极探索的过程,教学过程跌宕起伏,问题逐步深化,学生思维逐步扩展,使学生在愉快、主动中得到发展.
教学目标:
(1)掌握三角形三边关系定理及其推论,会根据三条线段的长度判断他们能否构成三角形;
(2)弄清三角形按边的相等关系的分类;
(3)通过三角形的分类学习,使学生知道分类的基本思想,提高学生归纳概括的能力;
(4)通过三角形三边关系定理的学习,培养学生转化的能力;
(5)通过等边三角形是等腰三角形的特例,渗透一般与特殊的辩证关系.
教学重点:
三角形三边关系定理及推论
教学难点:
三角形按边分类及利用三角形三边关系解题
教学用具:
直尺、微机
教学方法:
谈话、探究式
教学过程:
1、阅读新课,回答问题
先让学生阅读教材的第一部分,然后回答下列问题:
(1)这一部分教材中的数学概念有哪些?
(指出来并给予解释)
(2)等腰三角形与等边三角形有什么关系?
估计有的学生可能把等腰三角形和等边三角形看成独立的两类.
(3)写出三角形按边的相等关系分类的情况.
教师最后板书给出.
(要求学生之间可互相补充,从一开始就鼓励双边交流与多边交流)
2、发现并推导出三边关系定理
问题1:
用长度为4cm、 10cm 、16cm的线绳(课前准备好的)能否搭建一个三角形?
(让学生动手操作)
问题2:
你能解释上述结果的原因吗?
问题3:
任何三条线段都能组成一个三角形吗?
满足什么条件时,三条线段可组成一个三角形?
定理:
三角形两边的和大于第三边
(发现过程采用小步子原则,让学生在不知不觉中发现数学中的真理)
3、导出三边关系定理的推论及其它两种方法
由前面得到了判断所给三条线段能否组成三角形的一个依据.那么是否还有其它方法呢?
请同学们在定理的基础上来找:
估计学生很容易得到推论,让学生用自己的语言叙述,教师稍加整理后给出规范叙述.
推论:
三角形两边的差小于第三边
(给每一个学生表现个人数学语言表达才能的机会)
能否简化上面定理及推论?
从而得到如下两种判定方法:
(1)、已知线段,(),若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.
4、三角形三边关系定理及推论的应用
例1 判断题:
(出示投影)
(1)等边三角形是等腰三角形
(2)三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形
(3)已知三线段满足,那么为边可构成三角形
(4)等腰三角形的腰比底长
(本例主要考察学生对概念、定理及推论的理解程度,不要求做在本上,只需口答即可)
(本例要求学生说出解题思路,教师点到为止)
例3 一个等腰三角形的周长为18.
(1)已知腰长是底边长的2倍,求各边长.
(2)其中一边长4,求其他两边长.
这是一道有课堂练习性质的例题,允许学生有3分钟左右的独立思考,允许想出来的同学表达自己的想法,其它同学补充完善.
(数学教师的课堂教学应该是敢于放手,尽可能多地给学生创造展示自己的思维空间和时间)
例4草原上有4口油井,位于四边形ABCD的4个顶点,
如图1现在要建一个维修站H,试问H建在何处,
才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小,
说明理由.
本例有一定的难度,给出的方法是解决此类型问题常见的极为简捷的方法,略微构造就可以使用三角形三边关系定理得出答案.
5、小结
本节课我们学习了三角形三边关系的定理和推论,还知道了定理和推论的一系列灵活运用:
(1)判断三条已知线段能否组成三角形
采用一种较为简便的判法:
若最短边与较长边的和大于最长边,则可构成三角形,否则不能.
(2)确定三角形第三边的取值范围
两边之差<第三边<两边之和
若时间宽裕,让学生经讨论后自由表述,其他同学补充,自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.
6、布置作业
a.书面作业P41#8、9
b.思考题:
1、在四边形ABCD中,AC与BD相交于P,求证:
(AB+BC+CD+AD)<AC+BD<AB+BC+CD+AD
2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中,最长边最多可以由几根火柴棒组成?
(提示:
由上面方法2,a+b+c>2a又a+b+c 板书设计:
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理.
2.了解四边形的不稳定性及它在实际生产,生活中的应用.
(二)能力训练点
1.通过引导学生观察气象站的实例,培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力.
2.通过推导四边形内角和定理,对学生渗透化归思想.
3.会根据比较简单的条件画出指定的四边形.
4.讲解四边形外角概念和外角定理时,联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想.
(三)德育渗透点
使学生认识到这些四边形都是常见的,研究他们都有实际应用意义,从而激发学生学习新知识的兴趣.
(四)美育渗透点
通过四边形内角和定理数学,渗透统一美,应用美.
二、学法引导
类比、观察、引导、讲解
三、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:
四边形及其有关概念;熟练推导四边形外角和这一结论,并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题.
2.教学难点:
理解四边形的有关概念中的一些细节问题;四边形不稳定性的理解和应用.
3.疑点及解决办法:
四边形的定义中为什么要有“在平面内”,而三角形的定义中就没有呢?
根据指定条件画四边形,关键是要分析好作图的顺序,一般先作一个角.
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师引入新课,学生观察图形,类比三角形知识导出四边形有关概念;师生共同推导四边形内角和的定理,学生巩固内角和定理和应用;共同分析探索外角和定理,学生阅读相关材料.
第2课时
七、教学步骤
【复习提问】
1.什么叫四边形?
四边形的内角和定理是什么?
2.如图4-9,求的度数(打出投影).
【引入新课】
前面我们学习过三角形的外角的概念,并知道外角和是360°.类似地,四边形也有外角,而它的外角和是多少呢?
我们还学习了三角形具有稳定性,而四边形就不具有这种性质,
为什么?
下面就来研究这些问题.
【讲解新课】
1.四边形的外角
与三角形类似,四边形的角的一边与另一边延长线所组成的角叫做四边形的外角,四边形每一个顶点处有两个外角,这两个外角是对顶角,所以它们是相等的.四边形的外角与它有公共顶点的内角互为邻补角,即它们的和等于180°,如图4-10.
2.外角和定理
例1 已知:
如图4-11,四边形ABCD的四个内角分别为,每一个顶点处有一个外角,设它们分别为.
求.
(l)向学生介绍四边形外角和这一概念(取四边形的每一个内角的一个邻补角相加的和).
(2)教给学生一组外角的画法——同向法.
即按顺时针方向依次延长各边,如图4—11,或按逆时针方向依次延长各边,如图4-12,这四个外角和就是四边形的外角和.
(3)利用每一个外角与其邻补角的关系及四边形内角和为360°.
证得:
360°
外角和定理:
四边形的外角和等于360°
3.四边形的不稳定性
①我们知道三角形具有稳定性,已知三个条件就可以确定三角形的形状和大小,已知一边一夹角,作三角形你会吗?
(学生回答)
②若以为边作四边形ABCD.
提示画法:
①画任意小于平角的.
②在的两边上截取.
③分别以A,C为圆心,以12mm,18mm为半径画弧,两弧相交于D点.
④连结AD、CD,四边形ABCD是所求作的四边形,如图4-13.
大家比较一下,所作出的图形的形状一样吗?
这是为什么呢?
因为的大小不固定,所以四边形的形状不确定.
③(教师演示:
用四根木条钉成如图4-14的框)虽然四边形的边长不变,但它的形状改变了,这说明四边形没有稳定性.
教师指出,“不稳定”是四边形的一个重要性质,还应使学生明确:
①四边形改变形状时只改变某些角的大小,它的边长不变,因而周长不变它仍为四边形,所以它的内角和不变.②对四条边长固定的四边形任何一个角固定或者一条对角线的长一定,四边形的形状就固定了,如教材P125中2的第H问,为克服不稳定性提供了理论根据.
(4)举出四边形不稳定性的应用实例和克服不稳定的实例,向学生进行理论联系实际
的教育.
【总结、扩展】
1.小结:
(1)四边形外角概念、外角和定理.
(2)四边形不稳定性的应用和克服不稳定性的理论根据.
2.扩展:
如图4-15,在四边形ABCD中,,求四边形ABCD的面积
八、布置作业
教材P128中4.
九、板书设计
十、随堂练习
教材P124中1、2
补充:
(1)在四边形ABCD中,,是四边形的外角,且,则度.
(2)在四边形ABCD中,若分别与相邻的外角的比是1:
2:
3:
4,则度,度,度,度
(3)在四边形的四个外角中,最多有________个钝角,最多有________个锐角,最多有________个直角.
教学目标 1.使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程.
2.使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法.
3.使学生会进行简单的公式变形.
4.培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力.5.通过公式变形例题,培养学生解决实际问题的能力,激发学生的求知欲望和学习兴趣.
教学重点:
(1)含有字母系数的一元一次方程的解法.
(2)公式变形.
教学难点:
(1)对字母函数的理解,并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系.
(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数,并进行正确的公式变形.
教学方法
启发式教学和讨论式教学相结合
教学手段
多媒体
教学过程
(一)复习提问
提出问题:
1.什么是一元一次方程?
在学生答的基础上强调:
(1)“一元”——一个未知数;“一次”——未知数的次数是1.
2.解一元一次方程的步骤是什么?
答:
(1)去分母、去括号.
(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边.
注意:
移项要变号.
(3)合并同类项——提未知数.
(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数,从而解得方程.
(二)引入新课
提出问题:
一个数的a倍(a≠0)等于b,求这个数.
引导学生列出方程:
ax=b(a≠0).
让学生讨论:
(1)这个方程中的未知数是什么?
已知数是什么?
(a、b是已知数,x是未知数)
(2)这个方程是不是一元一次方程?
它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系?
(这个方程满足一元一次方程的定义,所以它是一元一次方程.)
强调指出:
ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母).a是x的系数,b是常数项.
(三)新课
1.含有字母系数的一元一次方程的定义
ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程,今天我们就主要研究这样的方程.
2.含有字母系数的一元一次方程的解法
教师提问:
ax=b(a≠0)是一元一次方程,而a、b是已知数,就可以当成数看,就像解一般的一元一次方程一样,如下解出方程:
ax=b(a≠0).
由学生讨论这个解法的思路对不对,解的过程对不对?
在学生讨论的基础上,教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系.
含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同.(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤.)
特别注意:
用含有字母的式子去乘或者除方程的两边,这个式子的值不能为零.
3.讲解例题
例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).
解:
移项,得 ax-bx=a2-b2,
合并同类项,得(a-b)x=a2-b2.
∵a≠b,∴a-b≠0.
x=a+b.
注意:
1.在没有特别说明的情况下,一般x、y、z表示未知数,a、b、c表示已知数.
2.在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步,一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式).
3.方
例2、解方程
分析:
去分母时,要方程两边同乘ab,而需ab≠0,那么题目中有没有这个条件呢?
有隐含条件a≠0,b≠0.
解:
b(x-b)=2ab-a(x-a)(a+b≠0).
bx-b2=2ab-ax+a2(去分母注意“2”这项不要忘记乘以最简公分母.)
ba+ax=a2+2ab+b2
(a+b)x=(a+b)2.
∵a+b≠0,
∴x=a+b.
(四)课堂练习
解下列方程:
教材P.90.练习题1—4.
补充练习:
5.a2(x+b)=b2(x+a)(a2≠b2).
解:
a2x+a2b=b2x+ab2
(a2-b2)x=ab(b-a).
∵a2≠b2,∴a2-b2≠0
解:
2x(a-3)-(a+2)(a-3)=x(a+2)
(a-b)x=(a+2)(a-3).
∵a≠8,∴a-8≠0
(五)小结
1.这节课我们要理解含有字母系数的一元一次方程的概念,掌握含有字母系数的方程与数字系数方程的区别与联系.
2.含有字母系数的方程的解法与只含有数字系数的方程的解法相同.但必须注意:
用含有字母的式子去乘或除方程的两边,这式子的值不能为零.
六、布置作业
教材P.93.A组1—6;B组1、
注意:
A组第6题要给些提示.
七、板书设计
探究活动
a=bc 型数量关系
问题引入:
问题设置:
有一大捆粗细均匀的电线,现要确定其中长度的值,怎样做比较简捷?
(使用的工具不限,可以从中先取一段作为检验样品)
提示:
由于电线的粗细均匀分布的,所以每段同样长度的电线的质量相等。
1、由学生讨论,得出结论。
2、教师再加深一步提问:
在我们讨论的问题涉及的量中,如果电线的总质量为a,总
长度为b,单位长度的质量为c,a,b,c之间有什么关系?
由学生归纳出:
a=bc。
对于解决问题:
可先取1米长的电线,称出它的质量,再称
出其余电线的总质量,则(米)是其余电线的长度,所以这捆电线的总长度为()米。
引出可题:
探究活动:
a=bc型数量关系。
1、b、c之一为定值时.
读课本P.96—P.97并填表1和表2中发现a=bc型数量关系有什么规律和特点?
(1)分析表1
表1中,A=bc,b、c增加(或减小)A相应的增大(或减小)如矩形1和矩形2项比
较:
宽c=1,长由2变为4。
面积也由2增加到4;矩形3,4类似,再看矩形1和矩形3:
长都为b=2,宽由1增加到2,面积也变为原来的2倍,矩形2、4类似。
得出结论,A=bc中,当b,c之一为定值(定量)时,A随另一量的变化而变化,与之成正比例。
(2)分析表2
(1)表2从理论上证明了对表1的分析的结果。
(2)矩形推拉窗的活动扇的通风面积A和拉开长度b成正比。
(高为定值)
(3)从实际中猜想,或由经验得出的结论,在经理论上去验证,再用于实际,这是
我们数需解决问题常用的方法之一,是由实际到抽象再由抽象到实际的辩证唯物主义思想。
2、为定值时
读书P.98—P.99,填P.99空,自己试着分析数据,看到出什么结论?
分析:
这组数据的前提:
面积A一定,b,c之间的关系是反比例。
可见,a=bc型数量关系不仅在实际生活中存在,而且有巨大的作用。
这三个式子是同一种数量关系的三种不同形式,由其中一个式子可以得出另两个式子。
3、实际问题中,常见的a=bc型数量关系。
(1)总价=单价×货物数量;
(2)利息=利率×本金;
(3)路程=速度×时间;
(4)工作量=效率×时间;
(5)质量=密度×体积。
… 例1、每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,求总金额y(元)与学生数n(个)的关系。
策略:
总价=单价×数量。
而数量等于学生人数n,故不难求得关系式。
解:
y=2n
总结:
本题考查a=b
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