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数理统计试题及答案docx
数理统计考试试卷
一、填空题(本题15分,每题3分)
1、总体X~N(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值差X-Y-;
2、设X],X?
X]6为取自总体X~^(0,0.52)的一个样本,若已知&01(16)=32.0,则
16
P{£X:
Z8}=;
i=l
3、设总体X若〃和寸2均未知,〃为样本容量,总体均值〃的置信水平为
1-a的置信区间为(X-4,X+人),则人的值为;
4、设X],X2,...,X“为取自总体X~N〔y)的一个样本,对于给定的显著性水平a,已知关于er?
检验的拒绝域为%2^/七(兀-1),则相应的备择假设为;
5、设总体X~,<72已知,在显著性水平0.05下,检验假设:
jU>jU0,H}:
/i 拒绝域是。 1s 1、N(0,—);2、0.01;3、ta(n—1).——;4、(72 2yVn 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设X】,X2,X3是取自总体X的一个样本,a是未知参数,以下函数是统计量的为()o 113 (A)a(X}+X? +X3)(B)Xi+X’+X? (C)—X/2X3(D)-Y(X--a)2 x1ZJ7LZ.JLZ.Jc/ a3z=i 2、设X],X,,...,X„为取自总体X~N(〃q2)的样本,X为样本均值,S;=一£(Xj-歹)2,«,=| 则服从自由度为几-1的t分布的统计量为()« 3、设X|,X2,…,X“是来自总体的样本,D(X)= 则()。 1n—— (C)是尸的无偏估计和相合估计(D)$2作为尸的估计其优良性与分布有关 4、设总体X~Nm,(r;),Y相互独立,样本容量分别为5小样本方差分别 )o 为S;,S;,在显著性水平a下,检验Ho 5、设总体X~N(y),cr2B知, //未知,xl,x2,--,xn是来自总体的样本观察值,已 知〃的置信水平为0.95的置信区间为(4.71,5.69),则取显著性水平a=0.05时,检验假 1、B;2、D;3、C;4、A;5、B. 参数。 〉0,X”…,X“是来自X的样本,求 (1)。 的矩估计; (2)0的极大似然估计。 人—2八3— 令E(X)=X=—0,得0=—X为参数0的矩估计量。 32 (2)似然函数为: L(x,0)=PJ—y-=—PJxi,0 i=l(7C7i=l 而L(0)是0的单调减少函数,所以。 的极大似然估计量为0=max{X],X2,…,X”}。 四、(本题14分)设总体X~N(0,ct2),且叫,.叫…叫0是样本观察值,样本方差广=2, Y2 的置信 (1)求J的置信水平为0.95的置信区间; (2)已知/=%〜/2 (1),求。 a 水平为0.95的置信区间;(&975(9)=2.70,&皿5⑼=19.023)。 w、 1八 * (2) D =写成⑴]=二; (J(7 由于。 仁、 _3 7 =5是b? 的单调减少函数,置信区间为 22 —2‘~r (7 kaJ 即为(0.3000,2.1137)o 解: 五、(本题10分)设总体X服从参数为0的指数分布,其中。 〉0未知,X”…,x“为取自 On 总体X的样本,若已知U=~YXi~Z2(2/z),求: 0/=1 (1)0的置信水平为l-a的单侧置信下限; (2)某种元件的寿命(单位: h)服从上述指数分布,现从中抽得容量为16的样本,测得样本均值为5010(h),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。 (Zo.o5(31)=44.985,ZJ.1O(32)=42.585)。 解: (1)p[^-<(2»)1=\-a,: .p\e>=1- I。 JI万⑵用 即。 的单侧置信下限为6=W; (2)3=2x16x5010=3764.706= —万⑵》—42.585 六、(本题14分)某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度X~N(10,l),今阶段性抽取10个水样,测得平均浓度为10.8(mg/L),标准差为1.2(mg/L),问该工厂生产是 否正常? (a=O.O5,fo()25(9)=2.2622,^025(9)=19.023,z(),975(9)=2.700) 解: (1)检验假设Ho: ^2=1,Hl: 虹尹1;取统计量: 顼; 拒绝域为: Z2 1— 22 经计算: /=9x1.2-=]296,山于,2=1256£(2.700,19.023)2, g1 故接受Ho,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为◎2=1。 拒绝域为k|¥oo25(9)=2.2622;=詈丁^=2.1028<2.2622,所以接受 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L)o 综上,认为工厂生产正常。 七、(本题10分)设X{,X2,X3,X^取自总体X~N以,4? )的样本,对假设检验问题 77°: 日=5,H[: 日芝5, (1)在显著性水平0.05下求拒绝域; (2)若以=6,求上述检验所犯 的第二类错误的概率/? 。 解: (1)拒绝域为|«=|*^=号支。 皿5=1・96; (2)山 (1)解得接受域为(1.08,8.92),当〃=6时,接受Ho的概率为 /3=P(1.08 八、(本题8分)设随机变量X服从自由度为(〃项)的F分布, (1)证明: 随机变量土服从X 自由度为(n,m)的F分布; (2)若m=n,且F{X>a}=0.05,求P{X>-)的值。 a 证明: 因为X~,由F分布的定义可令X=,3,其中U~/2(m),v~/2(n),u V/n 与V相互独立,所以~j-=""〜F(n,m)。 XU/m 当m=n时,X与服从自由度为(n,n)的F分布,故有P{X>a}=P{X>-),Xa 从而P{x>-}=P{—a}=1-P{X>a}=l-0.05=0.95。 ccXX 数理统计试卷参考答案 一、填空题(本题15分,每题3分) 1C 1、N(0,—);2、0.01;3、ta(n—1).——;4、cr2<;5、z—-^o.O5° 2ivn 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、B;2、D;3、C;4、A;5、B. 三、(本题14分)解: (1)E(X)=涉x=f异= 令£(x)=x=g。 ,得e=为参数。 的矩估计量。 n0r.2“n ⑵似然函数为: L(Xj,0)=n—+=—PJxi,0<xi<(z=1,2,•••,〃), i=\00i=i 而乙(。 )是。 的单调减少函数,所以。 的极大似然估计量为W=max{Xi,X2,…,X〃}。 四、(本题14分)解: Cl)的置信水平为0.95的置信区间为 (2)D X2 T7 1 D =j[/2⑴]=二; (JC 18 18 X0.025⑼X0.975⑼ ,即为(0.9462,6.6667); (22' 是b? 的单调减少函数,置信区间为二二ZL 2M 即为(0.3000,2.1137)o 五、(本题10分)解: ⑴VP 2nX ~0~ <,: (2〃)|=1一心P<0>十: 、>=l-a, J〔在(2心 即3的单侧置信下限为6=; (2)9=2x16*5010=3764.706。 -Z;(2n)-42.585 六、(本题14分)解: (1)检验假设Ho: ^2=1,m: 尹尹1;取统计量: /2=(〃? 按; °*0 拒绝域为: (〃―1)=&975(9)=2.70或22〉/(〃—1)=Zo.025=19.023, 1— 22 经计算: /=(「_? ,_=9xL2-=以.96,山于,2=12.96e(2.700,19.023)之,f1 故接受Ho,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为O-2=1。 (2)检验假设H;: 〃=10,H{: #? 10; 取统计量: 』=左黑~ta(9); s/vio2 拒绝域为|心成25(9)=2.2622;...y写湍=2.1028<2.2622,所以接受 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L)o 综上,认为工厂生产正常。 七、(本题10分)解: (1)拒绝域为|z|= 元-5 4/V4 x-5 2 -^0.025—1・96; (2)山 (1)解得接受域为(1.08,8.92),当〃=6时,接受Ho的概率为 B=P(1.08 尸]=0.921。 八、(本题8分)证明: 因为X~F(in,n),山F分布的定义可令X=,3,其中 V/n 〃与v相互独立,所以= XU/m 当m=n时,X与服从自山度为(n,n)的F分布,故有P{X>a}=P{X>&, Xa 从而P{X>-}=P{—<«}=l-P(—>«}=1-P(X>a}=1-0.05=0.95= ccXX
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