人教版九年级上册第一元二次方程培优测验.docx
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人教版九年级上册第一元二次方程培优测验
人教版九年级上册第一元二次方程培优测验
一、选择题
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.2x2﹣
+1=0B.(x+2)(2x﹣1)=2x2
C.5x2﹣1=0D.ax2+bx+c=0
2.已知x1,x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A.6B.﹣6C.5D.﹣5
3.若关于x的方程
有一个根为
则另一个根为
A.
B.2C.4D.
4.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣3)=0有实数根,则m的取值范是( )
A.m>2B.m<2C.m≥2D.m≤2
5.组织一次篮球联赛,每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请( )个球队参加比赛.
A.5B.6C.7D.9
6.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排
场比赛.设参赛球队的支数为
,则根据题意所列的方程是()
A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28×2D.x(x-1)=28×2
7.在宽为20m,长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路,把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地,作为良种试验田,要使每小块试验田的面积为135m2,设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A.(32﹣x)(20﹣x)=135B.4(32﹣x)(20﹣x)=135
C.
D.(32﹣x)(20﹣x)﹣x2=135
8.关于方程85(x﹣2)2=95的两根,则下列叙述正确的是( )
A.一根小于1,另一根大于3
B.一根小于﹣2,另一根大于2
C.两根都小于0
D.两根都大于2
9.为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边,已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%,若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程()
A.90%×(2+x)(1+x)=2×1B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C.90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%
10.若一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个实数根分别是a、b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、填空题
11.若关于x的方程(a+2)x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程,则a的值为_____.
12.定义新运算:
m,n是实数,m*n=m(2n﹣1),若m,n是方程2x2﹣x+k=0(k<0)的两根,则m*m﹣n*n=_____.
13.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0,则另一个根为_____.
14.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成发如图所示①②③的三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.已知矩形区域ABCD的面积为30m2,设BC的长度为xm,所列方程为_____.
15.已知等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+18=0的两个根,则该等腰三角形的周长为_____.
16.一元二次方程(x+1)(x+3)=9的一般形式是________,二次项系数为______,常数项为_____
17.我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0,它的解是_____.
三、解答题
18.解方程:
(1)x2+4x﹣5=0.
(2)x2﹣3x+1=0.
19.已知关于x的方程
没有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)试判断关于x的方程
的根的情况.
20.某电脑销售商试销某一品牌电脑1月份的月销售额为400000,现为了扩大销售,销售商决定降价销售,在原来1月份平均销售量的基础上,经2月份的市场调查,3月份调整价格后,月销售额达到576000元.求1月份到3月份销售额的月平均增长率.
21.列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.
(1)求每个月增长的利润率;
(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多少?
22.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根α,β.
(1)求m的取值范围;
(2)若
,则m的值为多少?
23.如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动,同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动,当P、Q两点中有一个点到终点时,则另一个点也停止运动.当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm2时,求点P运动的时间.
24.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0
(1)若这个方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若此方程有一个根是1,请求出m的值.
人教版初中九年级上册《一元二次方程》期末培优测验
一、选择题
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.2x2﹣
+1=0B.(x+2)(2x﹣1)=2x2
C.5x2﹣1=0D.ax2+bx+c=0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义即可解题.
【详解】A.2x2﹣
+1=0,分母含有未知数,是分式方程,
B.(x+2)(2x﹣1)=2x2,化简之后消掉二次项,是一次方程,
C.5x2﹣1=0,正确,
D.ax2+bx+c=0,对系数a没有限制,只有当a
时,方程才是一元二次方程,
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.
2.已知x1,x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A.6B.﹣6C.5D.﹣5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据韦达定理x1+x2=-
即可解题.
【详解】由韦达定理可知x1+x2=-
=6
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,属于简单题,熟悉韦达定理是解题关键.
3.若关于x的方程
有一个根为
则另一个根为
A.
B.2C.4D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可.
【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2.
将x=2代入方程得,m=1,
∴原方程为x2+x﹣6=0
解得:
x1=-3,x2=2
∴方程另一个根是-3,
故选D,
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键.
4.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣3)=0有实数根,则m的取值范是( )
A.m>2B.m<2C.m≥2D.m≤2
【答案】C
【解析】
【分析】
一元二次方程有实根,即△
解不等式即可.
【详解】∵x2+2x﹣(m﹣3)=0有实数根,
∴△=4-4·(m-3)
解得:
m≥2,
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数问题,属于简单题,会求△是解题关键.
5.组织一次篮球联赛,每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请( )个球队参加比赛.
A.5B.6C.7D.9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据每两队之间都赛一场,设邀请x个球队参加比赛,则每一个球队都会比赛(x-1)场,剔除重复的一半,即可解题.
【详解】解:
设应邀请x个球队参加比赛,
由题可知,
x(x-1)=15
化简整理得,x(x-1)=15,
解得:
x1=6,x2=-5(舍)
∴应邀请6个球队参加比赛,
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,中等难度,找到等量关系是解题关键.
6.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排
场比赛.设参赛球队的支数为
,则根据题意所列的方程是()
A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28×2D.x(x-1)=28×2
【答案】D
【解析】
【分析】
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),x个球队比赛总场数=
.即可列方程.
【详解】设有x个队,每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,
=21,
即:
x(x-1)=21×2,
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解决本题的关键是读懂题意,得到总场数的等量关系.
7.在宽为20m,长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路,把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地,作为良种试验田,要使每小块试验田的面积为135m2,设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A.(32﹣x)(20﹣x)=135B.4(32﹣x)(20﹣x)=135
C.
D.(32﹣x)(20﹣x)﹣x2=135
【答案】C
【解析】
【分析】
将阴影部分推至左上角,计算空白部分面积即可.
【详解】如下图,
将道路推至左上角,形成新矩形田地,
∵道路的宽为x米,
∴新矩形田地长为(32-x),宽为(20-x),
∵每小块试验田的面积为135m2,即新矩形面积为4
135,
∴(32-x)(20-x)=4
135,
整理得
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,平移道路形成新的矩形是解题关键.
8.关于方程85(x﹣2)2=95的两根,则下列叙述正确的是( )
A.一根小于1,另一根大于3
B.一根小于﹣2,另一根大于2
C.两根都小于0
D.两根都大于2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直接开方法解方程,估计根的取值范围即可.
【详解】解85(x﹣2)2=95得
x=2
=2
∵1
2,
∴0
1,3
4,
故选A.
【点睛】本题主要考查了二次方程的近似解,属于简单题,熟悉根式的估值是解题关键.
9.为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边,已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%,若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程()
A.90%×(2+x)(1+x)=2×1B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C.90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%
【答案】B
【解析】
【分析】
设白边的宽为x米,则整幅宣传版面的长为(2+2x)米、宽为(1+2x)米,然后根据矩形的面积公式列出方程即可.
【详解】设白边的宽为x米,则整幅宣传版面的长为(2+2x)米、宽为(1+2x)米,
根据题意得:
90%(2+2x)(1+2x)=2×1.
故选:
B.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的面积问题,需要注意的是图案加上四周的白边才构成了宣传版面.
10.若一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个实数根分别是a、b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出a+b=4、ab=3,再结合一次函数图象与系数的关系,即可找出一次函数y=abx+a+b的图象经过的象限,此题得解.
【详解】解:
∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是a、b,
∴a+b=4,ab=3,
∴一次函数的解析式为y=3x+4.
∵3>0,4>0,
∴一次函数y=abx+a+b的图象经过第一、二、三象限.
故选:
D.
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系,利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系,找出一次函数图象经过的象限是解题的关键.
二、填空题
11.若关于x的方程(a+2)x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程,则a的值为_____.
【答案】2.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义即可解题.
【详解】∵方程(a+2)x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程,
∴a+2
0,且|a|=2,
解得:
a=2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.
12.定义新运算:
m,n是实数,m*n=m(2n﹣1),若m,n是方程2x2﹣x+k=0(k<0)的两根,则m*m﹣n*n=_____.
【答案】0.
【解析】
【分析】
根据新定义将m*m﹣n*n整理成常用运算,将m、n分别代入方程2x2﹣x+k=0中,观察整理出2m2-m=-k,2n2-n=-k,即可解题.
【详解】由题可知m*m﹣n*n=(2m2-m)-(2n2-n),
∵m,n是方程2x2﹣x+k=0(k<0)的两根,将m,n代入得,
2m2-m+k=0,2n2-n+k=0,
∴2m2-m=-k,2n2-n=-k
∴m*m﹣n*n=(2m2-m)-(2n2-n)=-k+k=0
【点睛】本题考查了新定义运算和一元二次方程的解,正确理解题意,将新定义运算化为常用运算是解题关键.
13.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0,则另一个根为_____.
【答案】
.
【解析】
【分析】
先把x=2代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0得到满足条件的m的值为﹣2,此时方程化为4x2﹣3x=0,设方程的另一个根为t,利用根与系数的关系得到0+t
,然后求出t即可.
【详解】把x=2代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0得方程m2﹣4=0,解得:
m1=2,m2=﹣2.
∵m﹣2≠0,∴m=﹣2,此时方程化为4x2﹣3x=0.设方程的另一个根为t,则0+t
,解得:
t
,所以方程的另一个根为
.
故答案为:
.
【点睛】本题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2
,x1x2
.
14.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成发如图所示①②③的三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.已知矩形区域ABCD的面积为30m2,设BC的长度为xm,所列方程为_____.
【答案】x2﹣40x+40=0.
【解析】
【分析】
根据三块矩形区域面积相等求出AE和BE之间关系,进而表示出AB的长度,利用总面积为30m2即可求解.
【详解】∵这三块矩形区域面积相等.
∴S矩形AEFD=2S矩形BCFE,即AE=2EB,
设EB=a,则AE=2a,AB=3a,
∴AB+HG+DC=8a,
∵总长为80米,设BC的长度为x米,
∴AB+HG+DC=80-2x=8a,整理得:
a=10-
x,
∴3x(10-
x)=30,
整理得:
x2﹣40x+40=0.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,寻找各边之间的数量关系是解题关键.
15.已知等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+18=0的两个根,则该等腰三角形的周长为_____.
【答案】15.
【解析】
【分析】
解方程,分类讨论腰长,即可求解.
【详解】解:
x2﹣9x+18=0得x=3或6,
分类讨论:
当腰长为3时,三边为3、3、6此时不构成三角形,故舍,
当腰长为6时,三边为3、6、6,此时周长为15.
【点睛】本题考查了解一元二次方程和构成三角形的条件,属于简单题,分类讨论是解题关键.
16.一元二次方程(x+1)(x+3)=9的一般形式是________,二次项系数为______,常数项为_____
【答案】
(1).x2+4x﹣6=0;
(2).1(3).-6
【解析】
【分析】
通过去括号、移项、合并同类项将已知方程转化为一般形式.然后由一元二次方程的一般形式进行填空.
【详解】由(x+1)(x+3)=9,得
x2+4x+3-9=0,
即x2+4x-6=0.
其中二次项系数是1,一次项系数是4,常数项是-6.
故答案是:
x2+4x-6=0;1;-6.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
17.我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0,它的解是_____.
【答案】x1=﹣1,x2=﹣3.
【解析】
【分析】
换元法即可求解,见详解.
【详解】令2x+3=t,则方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0化为t2+2t﹣3=0,
解得:
t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3
解得:
x1=﹣1,x2=﹣3.
【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键.
三、解答题
18.解方程:
(1)x2+4x﹣5=0.
(2)x2﹣3x+1=0.
【答案】
(1)x1=1,x2=﹣5;
(2)
;
.
【解析】
【分析】
(1)利用因式分解中的十字相乘法求解,
(2)利用求根公式求解.
【详解】解:
(1)因式分解得,(x﹣1)(x+5)=0,
x﹣1=0,x+5=0,
∴x1=1,x2=﹣5;
(2)a=1,b=﹣3,c=1,
∴△=b2﹣4ac=9﹣4=5>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴x=
=
∴x1=
,x2=
.
【点睛】本题考查了求解一元二次方程的一般方法,属于简单题,选择正确的解题方法是解题关键.
19.已知关于x的方程
没有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)试判断关于x的方程
的根的情况.
【答案】
(1)m<
;
(2)一个实数根或两个不相等的实数根.
【解析】
【分析】
(1)根据判别式的意义得到△=4(m+2)2-4(m2+5)<0,然后解不等式即可;
(2)由
(1)得
,分m=-5和m≠-5两种情况进行判断即可.
【详解】
;
当m=-5时,方程
是一元一次方程,有实数根;
当
时,原方程为一元二次方程
∴原方程有两个不相等的实数根.
所以,原方程有一个实数根或两个不相等的实数根.
【点睛】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
20.某电脑销售商试销某一品牌电脑1月份的月销售额为400000,现为了扩大销售,销售商决定降价销售,在原来1月份平均销售量的基础上,经2月份的市场调查,3月份调整价格后,月销售额达到576000元.求1月份到3月份销售额的月平均增长率.
【答案】1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%.
【解析】
【分析】
1月份到3月份间隔两个月,根据题意设出一元二次方程求解即可.
【详解】解:
设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x,
根据题意得:
400000(1+x)2=576000,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).
答:
1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.
21.列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.
(1)求每个月增长的利润率;
(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多少?
【答案】
(1)每个月增长的利润率为5%.
(2)4月份该公司的纯利润为23.1525万元.
【解析】
【分析】
(1)设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,
(2)根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.
【详解】解:
(1)设每个月增长的利润率为x,
根据题意得:
20×(1+x)2=22.05,
解得:
x1=0.05=5%,x2=﹣2.05(不合题意,舍去).
答:
每个月增长的利润率为5%.
(2)22.05×(1+5%)=23.1525(万元).
答:
4月份该公司的纯利润为23.1525万元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.
22.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根α,β.
(1)求m的取值范围;
(2)若
,则m的值为多少?
【答案】
(1)
;
(2)m的值为3.
【解析】
【分析】
(1)根据△≥0即可求解,
(2)化简
利用韦达定理求出α+β,αβ,代入解方程即可.
【详解】解:
(1)由题意知,(2m+3)2﹣4×1×m2≥0,
解得:
m≥-
;
(2)由根与系数的关系得:
α+β=﹣(2m+3),αβ=m2,
∵
即
=-1,
∴
=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得:
m1=﹣1,m1=3,
由
(1)知m≥-
,
∴m1=﹣1应舍去,
∴m的值为3.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理,对根进行判断是正确解题的关键.
23.如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动,同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动,当P、Q两点中有一个点到终点时,则另一个点也停止运动.当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm2时,求点P运动的时间.
【答案】当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5
时,点P经过了
秒.
【解析】
【分析】
设x秒后△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5
,用含x的代数式分别表示出△DPQ的面积和△PBQ的面积,列出方程求值即可.
【详解】解:
设当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5
时,点P运动了x秒.
根据题意得:
化简得:
解这个方程得:
,
.(不符合题意,舍去)
答:
当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5
时,点P经过了
秒.
【点睛】考查一元二次方程的应用;表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点;用到的知识点为:
直角三角形的面积=两直角边积的一半.
24.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0
(1)若这个方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若此方程有一个根是1,请求出m的值.
【答案】
(1)m≥﹣
;
(2)m=0或m=6.
【解析】
【分析】
(1)方程有实数根即为△≥0,代入即可解题,
(2)将x=1代入方程求出m,重新解方程即可.
【详解】解:
(1)根据题意知△=(﹣2m)2﹣4(m2﹣4m﹣1)≥0,
解得:
m≥﹣
;
(2)将x=1代入方程得1﹣2m+m2﹣4m﹣1=0,
整理,得:
m2﹣6m=0,
解得:
m1=0,m2=6,
∵m≥﹣
∴m=0和m=6均符合题意,
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- 人教版 九年级 上册 第一 二次方程 测验