江苏省中考数学压轴题精选.docx
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江苏省中考数学压轴题精选
2008 年江苏省中考数学压轴题精选精析
(
1(08 江苏常州 28 题) 答案暂缺)如图,抛物线 y = x2 + 4 x 与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接
AB,把 AB 所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点.
(1) 求点 A 的坐标;
(2) 以点 A、B、O、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形请分别直接写出这些特殊四边
形的顶点 P 的坐标;
(3) 设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当 4 + 6 2 ≤ S ≤ 6 + 8 2 时,
求 x 的取值范围.
l
y
5
4
3
2
1
0
-4-3-2-1123x
-1
-2
-3
-4
(第28题)
2(08 江苏淮安 28 题)(答案暂缺)28.(本小题 14 分)
如图所示,在平面直角坐标系中.二次函数 y=a(x-2)2-1 图象的顶点为 P,与 x 轴交点为 A、B,与 y
轴交点为 C.连结 BP 并延长交 y 轴于点 D.
(1)写出点 P 的坐标;
(2)连结
,如果APB 为等腰直角三角形,求 a 的值及点 C、D 的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连结 BC、AC、AD,点 E(0,b)在线段 CD(端点 C、D 除外)上
将BCD 绕点 E 逆
时针方向旋转 90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为 S,根据不同情况,分别
用含 b 的代数式表示 S.选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当 b 为何值时,
重叠部分的面积最大?
写出最大值.
1
3(08 江苏连云港 24 题)(本小题满分 14 分)
如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为 1 和 2.将它们分别放置于
平面直角坐标系中的 △AOB , △COD 处,直角边 OB,OD 在 x 轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,
让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至 △PEF 处时,设 PE,PF 与 OC 分别交于点 M,N ,
与 x 轴分别交于点 G,H .
(1)求直线 AC 所对应的函数关系式;
(2)当点 P 是线段 AC (端点除外)上的动点时,试探究:
①点 M 到 x 轴的距离 h 与线段 BH 的长是否总相等?
请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S 是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值及S 取
最大值时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
y
A
M
P
I C
N
II
O GBHDx
EF
(第 24 题图)
(08 江苏连云港 24 题解析)解:
(1)由直角三角形纸板的两直角边的长为 1 和 2,
2) (21)
知 A,C 两点的坐标分别为 (1,,, .
设直线 AC 所对应的函数关系式为 y = kx + b . · ············································· 2 分
⎧k + b = 2,⎧k = -1,
有 ⎨解得 ⎨
所以,直线 AC 所对应的函数关系式为 y = - x + 3 . ········································ 4 分
(2)①点 M 到 x 轴距离 h 与线段 BH 的长总相等.
因为点 C 的坐标为 (2, ,
y
所以,直线 OC 所对应的函数关系式为 y =
又因为点 P 在直线 AC 上,
所以可设点 P 的坐标为 (a,- a) .
1
x .
M
P
I C
N
II
过点 M 作 x 轴的垂线,设垂足为点 K ,则有 MK = h .
因为点 M 在直线 OC 上,所以有 M (2h,h) . ·············· 6 分
因为纸板为平行移动,故有 EF ∥OB ,即 EF ∥ GH .
又 EF ⊥ PF ,所以 PH ⊥ GH .
法一:
故 Rt△MKG ∽ Rt△PHG ∽ Rt△PFE ,
2
O G KB H
E F
(第 24 题答图)
x
从而有
GK GH EF 1
= = = .
MK PH PF 2
1111
得 GK =MK =h , GH =PH =(3 - a) .
2222
13
所以 OG = OK - GK = 2h -h =h .
22
13
又有 OG = OH - GH = a -(3 - a) =(a - 1) .··········································· 8 分
22
33
所以h =(a - 1) ,得 h = a - 1 ,而 BH = OH - OB = a -1 ,
22
从而总有 h = BH .·················································································· 10 分
GHEF1
PHPF2
11
故 GH =PH =(3 - a) .
22
13
所以 OG = OH - GH = a -(3 - a) =(a - 1) .
22
故
0
⎝ 2 ⎭
⎧3 - a = ca + d,
设直线 PG 所对应的函数关系式为 y = cx + d ,
⎪⎧c = 2
则有 ⎨3解得 ⎨
⎪⎩2
所以,直线 PG 所对的函数关系式为 y = 2 x + (3 - 3a) . ·································· 8 分
将点 M 的坐标代入,可得 h = 4h + (3 - 3a) .解得 h = a - 1 .
而 BH - OH - OB = a - 1 ,从而总有 h = BH . ············································ 10 分
②由①知,点
1 ⎫
⎝ 2 ⎭
S = S
△ONH - S
1 1 1 1 3a - 3
NH ⨯ OH - OG ⨯ h = ⨯ a ⨯ a - ⨯ ⨯ (a - 1)
2 2 2 2 2 2
1331 ⎛3 ⎫23
2242 ⎝2 ⎭8
3
时, S 有最大值,最大值为.
28
⎛ 3 3 ⎫
⎝ 2 2 ⎭
3
4(08 江苏南京 28 题)(10 分)一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设
.......
根据图象进行以下探究:
信息读取
y/km
900
A
D
(1)甲、乙两地之间的距离为km;
(2)请解释图中点 B 的实际意义;
C
图象理解
(3)求慢车和快车的速度;
O
4
B
12 x/h
(第 28 题)
(4)求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;
问题解决
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇 30 分
钟后,第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?
(08 江苏南京 28 题解析)28.(本题 10 分)
解:
(1)900; · ························································································ 1 分
(2)图中点 B 的实际意义是:
当慢车行驶 4h 时,慢车和快车相遇. ·················· 2 分
(3)由图象可知,慢车 12h 行驶的路程为 900km,
所以慢车的速度为 900
12
= 75(km / h) ;· ························································· 3 分
当慢车行驶 4h 时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为 900km,所以慢车和快车行驶的速度之和
为 900
4
= 225(km / h) ,所以快车的速度为 150km/h. · ·········································· 4 分
⎩450 = 6k + b.
⎩b = -900.
900
(4)根据题意,快车行驶 900km 到达乙地,所以快车行驶= 6(h) 到达乙地,此时两车之间的距
150
,
离为 6 ⨯ 75 = 450(km) ,所以点 C 的坐标为 (6 450) .
0),
设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y = kx + b ,把 (4, , (6 450) 代入得
⎧0 = 4k + b,
⎨
⎧k = 225,
解得 ⎨
所以,线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y = 225 x - 900 . · ·············· 6 分
自变量 x 的取值范围是 4 ≤ x ≤ 6 . ····························································· 7 分
(5)慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车的行驶时间是 4.5h.
把 x = 4.5 代入 y = 225 x - 900 ,得 y = 112.5 .
此时,慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是 112.5km,所以两列快车出发的间隔
时间是112.5 ÷150 = 0.75(h) ,即第二列快车比第一列快车晚出发 0.75h. · ·············· 10 分
4
5.(08 江苏南通 28 题) 14 分)已知双曲线 y =
k 1
x 4
n) 在 A 点左侧)是双曲线 y =
k
x
上的动点.过点 B 作 BD∥y 轴交 x 轴于点 D.过 N(0,-n)作 NC∥x
轴交双曲线 y =
k
x
于点 E,交 BD 于点 C.
(1)若点 D 坐标是(-8,0),求 A、B 两点坐标及 k 的值.
(2)若 B 是 CD 的中点,四边形 OBCE 的面积为 4,求直线 CM 的解析式.
(3)设直线 AM、BM 分别与 y 轴相交于 P、Q 两点,且 MA=pMP,MB=qMQ,求 p-q 的值.
y
·M
A
D
·
x
B
CEN
(第 28 题)
(08 江苏南通 28 题解析)解:
(1)∵D(-8,0),∴B 点的横坐标为-8,代入 y = 1 x 中,得 y=-2.
4
∴B 点坐标为(-8,-2).而 A、B 两点关于原点对称,∴A(8,2).
从而 k = 8 ⨯ 2 = 16 .……………………………………………………………………3 分
(2)∵N(0,-n),B 是 CD 的中点,A、B、M、E 四点均在双曲线上,
∴ mn = k ,B(-2m,- n ),C(-2m,-n),E(-m,-n). ……………4 分
2
1111
2222
∴S 四边形 OBCE= S 矩形 DCNO-S△DBO- S△OEN=k.∴ k = 4 . …………………………8 分
4
4x
∴C(-4,-2),M(2,2).………………………………………………………9 分
设直线 CM 的解析式是 y = ax + b ,由 C、M 两点在这条直线上,得
⎨解得 a = b =.
⎩2a + b = 2.3
2
33
(3)如图,分别作 AA1⊥x 轴,MM1⊥x 轴,垂足分别为 A1、M1.
5
B
y
P
·
Q
O· M1
A
A1 x
设 A 点的横坐标为 a,则 B 点的横坐标为-a.于是
= 1 1 = .
MP M O m
1
MB m + a
=
MQ m
a - m m + a
∴ p - q =
m m
(第 28 题)
6.(08 江苏苏州 28 题)(答案暂缺)28.(本题 9 分) 课堂上,老师将图①中△AOB 绕 O 点逆时针旋转,在旋
转中发现图形的形状和大小不变,但位置发生了变化当△AOB 旋转 90°时,得到
1OB1.已知 A(4,
2)、B(3,0).
(
)A1OB1 的面积是;
A1 点的坐标为(,;B1 点的坐标为(,);
(
)课后,小玲和小惠对该问题继续进行探究,将图②中 AOB 绕 AO 的中点 C(2,1)逆时
针旋转 90°得到△A′O′B′,设 O′B′交 OA 于 D,O′A′交 x 轴于 E.此时 A′、O′和 B′的坐标分别为(1,
3)、(3,-1)和(3,2),且 O′B′ 经过 B 点.在刚才的旋转过程中,小玲和小惠发现旋转中的三角形
与△AOB 重叠部分的面积不断变小,旋转到 90°时重叠部分的面积(即四边形 CEBD 的面积)最小,
求四边形 CFBD 的面积;
(3)在(
的条件一下,AOB 外接圆的半径等于.
7.(08 江苏宿迁 27 题)(本题满分 12 分)
如图,⊙ O 的半径为1 ,正方形 ABCD 顶点 B 坐标为 (5,0) ,顶点 D 在⊙ O 上运动.
(1)当点 D 运动到与点 A 、 O 在同一条直线上时,试证明直线 CD 与⊙ O 相切;
(2)当直线 CD 与⊙ O 相切时,求 CD 所在直线对应的函数关系式;
(3)设点 D 的横坐标为 x ,正方形 ABCD 的面积为 S ,求 S 与 x 之间的函数关系式,并求出 S 的最大值
与最小值.
y
C
D
B
1
A
第 27 题
6
(08 江苏宿迁 27 题解析)解:
(1) ∵四边形 ABCD 为正方形∴ AD ⊥ CD
∵ A 、 O 、 D 在同一条直线上∴ ∠ODC = 90︒∴直线 CD 与⊙ O 相切;
(2)直线 CD 与⊙ O 相切分两种情况:
① 如 图 1, 设 D 点 在 第 二 象 限 时 , 过 D 作
11
D E ⊥ x 轴于点 E , 设此时的正方形的边长为a , 则
111
222
D EOD
由 Rt∆BOA ∽ Rt∆D OE1 =11 =1
1
343 4
∴ OE =, D E =∴ D (- , ) ,故直线
1111
4
OD 的函数关系式为 y = -x ;
3
y
D1
E1 O
y
C
1
A
第 27 题图 1
B
5 x
C
22
D E ⊥ x 轴于点 E ,设此时的正方形的边长为 b ,
222
则 (b + 1) 2 + b 2 = 5 2 ,解得 b = 3 或 b = -4 (舍去).
O E2
1
D2
B
5 x
由 Rt∆BOA ∽ Rt∆D OE
2
2 得
A
OED EOD
2 =22 =2
OABAOB
第 27 题图 2
3433
D E =∴ D ( ,- ) ,故直线 OD 的函数关系式为 y = -x .
2222
(3)设 D( x, y ) ,则 y = ± 1 - x 2 ,由 B(5,0) 得 DB =(5 - x) 2 + (1 - x 2 ) =26 - 10x
00
1
BD 2 =(26 - 10 x) = 13 - 5x
22
∵ - 1 ≤ x ≤ 1
7
∴ S
最大值
= 13 + 5 = 18,S
最小值
= 13 - 5 = 8 .
8.(08 江苏泰州 29 题)已知二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的图象经过三点(1, ), -3, ), 0,-
1
(
(1)求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像; 5 分)
3
2
)。
(2)若反比例函数 y =
2
2
x
( x > 0) 图像与二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的图像在第一象限内交
1
于点 A(x0,y0), x0 落在两个相邻的正整数之间。
请你观察图像,写出这两个相邻的正整数; 4 分)
x
(
(3)若反比例函数 y = k (k > 0, x > 0) 的图像与二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的图像在第一象
21
限内的交点为 A,点 A 的横坐标为 x 满足 2< x <3,试求实数 k 的取值范围。
(5 分)
00
(08 江苏泰州 29 题解析)(本题满分 14 分)
(1)设抛物线解析式为 y=a(x-1)(x+3)……………1 分
(只要设出解析式正确,不管是什么形式给 1 分)
将(0,—
3 1
)代入,解得 a= .
2 2
13
∴抛物线解析式为 y=x2+x-…………………………………3 分
22
(无论解析式是什么形式只要正确都得分)
画图(略)。
(没有列表不扣分)…………………………………5 分
(2)正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7 分
由图像可知,交点的横坐标 x0 落在 1 和 2 之间,
从而得出这两个相邻的正整数为 1 与 2。
…………………………………………………9 分
(3)由函数图像或函数性质可知:
当 2<x<3 时,
对 y1=
1
2
3 k
2 x
y2 随着 X 的增大而减小。
因为 A(X0,Y0)为二次函数图像与反比例函数图像的交点,
所心当 X0=2 时,由反比例函数图象在二次函数上方得 y2>y1,
13
>×22+2-,解得 K>5。
…………………………………11 分
222
同理,当 X0=3 时,由二次函数数图象在反比例上方得 y1>y2,
13k
即×32+3—>,解得 K<18。
…………………………………13
223
所以 K 的取值范围为 5 <K<18………………………………………14 分
8
9.(08 江苏无锡 27 题)(本小题满分 10 分)
0)
如图,已知点 A 从 (1, 出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向正方向运动,以O,A 为顶点作菱形
3)
OABC ,使点 B,C 在第一象限内,且 ∠AOC = 60o;以 P(0, 为圆心, PC 为半径作圆.设点 A 运动
了 t 秒,求:
(1)点 C 的坐标(用含 t 的代数式表示);
(2)当点 A 在运动过程中,所有使 e P 与菱形 OABC 的边所在直线相切的 t 的值.
(08 江苏无锡 27 题解析)27.解:
(1)过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D ,
Q OA = 1 + t ,∴ OC = 1 + t ,
y
∴ OD = OC cos60 o =
1 + t
2
3(1+ t )
, DC = OC sin 60o = ,
2
P C
B
⎛ 1 + t3(1+ t ) ⎫
∴ 点 C 的坐标为 ç
⎝⎭
O D A
图 1
x
(2)①当 e P 与 OC 相切时(如图 1),切点为 C ,此时 PC ⊥ OC ,
3
2
3 3
∴ t =- 1 . · ·········· (4 分)
2
P
O
y
C
E
图 2
B
A x
②当 e P 与 OA ,即与 x 轴相切时(如图 2),则切点为 O , PC = OP ,
过 P 作 PE ⊥ OC 于 E ,则 OE = 1
2
OC , ··············································· (5 分)
3 3
= OP cos30 o =,∴ t = 3 3 - 1 .·········································· (7 分)
22
③当 e P 与 AB 所在直线相切时(如图 3),设切点为 F , PF 交 OC 于 G ,
则 PF ⊥ OC ,∴ FG = CD =3(1 + t )
2
,
9
∴ PC = PF = OP sin 30o +3(1+ t )
2
. · ················································· (8 分)
过 C 作 CH ⊥ y 轴于 H ,则 PH 2 + CH 2 = PC 2 ,
2
⎝ 2 ⎭⎝⎭⎝ 2⎭
B
化简,得 (t + 1)2 - 18 3( t + 1) + 27 = 0 ,
解得 t + 1 = 9 3 ± 6 6 ,
P G
O A
F
图 3
x
Q t = 9 3 - 6 6 - 1 < 0 ,
∴ t = 9 3 + 6 6 - 1 .
∴ 所求 t 的值是 3 3 - 1 , 3 3 - 1 和 9 3 + 6 6 - 1 . ······························ (10 分)
2
10(08 江苏无锡 28 题)(本小题满分 8 分)
一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km.现要求:
在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安装
点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:
(1)能否找到这样的 4 个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?
(2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求?
答题要求:
请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给
出了几个边长为 30km 的正方形城区示意图,供解题时选用)
图 1
(08 江苏无锡 28 题解析)解:
(1)将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形,将这 4 个转发装
1
2
个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域,故安装
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