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概率论与数理统计复习笔记
概率论与数理统计复习
第一章概率论的基本概念
1.基本概念
随机试验E:
(1)可以在相同的条件下重复地进行;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间S:
E的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):
E的每个结果.
随机事件(事件):
样本空间S的子集.
必然事件(S):
每次试验中一定发生的事件.不可能事件():
每次试验中一定不会发生的事件.
2.事件间的关系和运算
(事件B包含事件A)事件A发生必然导致事件B发生•
UB(和事件)事件A与B至少有一个发生.
3.AnB=AB积事件)事件A与B同时发生.
4.A-B(差事件)事件A发生而B不发生.
5.AB=(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
6.AB=且AUB=S(A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生•B=A,A=B.
运算规则交换律结合律分配律德摩根律ABABABAB
3.概率的定义与性质
1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
⑴非负性P(A)>0;
(2)归一性或规范性P(S)=1;
(3)可列可加性对于两两互不相容的事件Ai,A2,…(AiA=©,i工j,i,j=1,2,…),
P(AiUAU…)=P(Ai)+P(A2)+…
2.
性质
P(AUAU…UAn)=P(Ai)+P(A2)+…+P(An)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若AB,则P(A)
(4)对于任一事件A,P(A)<1,P(A)=1-P(A).
⑸广义加法定理对于任意二事件A,B,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).
对于任意n个事件a,A2,…,An
…+(-1)n-1P(AlA2…An)
4.等可能(古典)概型
1.定义如果试验E满足:
(1)样本空间的元素只有有限个,即S={ei,e2,…,en};
(2)每一个
基本事件的概率相等,即P©)=P(e2)=…=P(en).贝U称试验E所对应的概率模型为等可能(古
典)概型.
2.计算公式P(A)=k/n其中k是A中包含的基本事件数,n是S中包含的基本事件总
5.条件概率
1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0).
2.乘法定理P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0);P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0).
P(AA…An)=P(Ai)P(A2|Ai)P(A3|AiA)…P(An|AiA…An-i)(n>2,P(AA…An-i)>0)
3.Bi,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分(BiB=©,i工j,i,j=1,2,…,n,BiUB2U-UB
n=S),则
PBiPABi
1
n
当P(Bi)>0时,有全概率公式P(A)=
i
当P(A)>0,P(Bi)>0时,有贝叶斯公式
6.
时,称A,B为相互独立的事件.
事件的独立性
1.两个事件A,B,满足P(AB)=P(A)P(B)
(1)两个事件A,B相互独立P(B)=P(B|A).
⑵若A与B,A与B,A与B,,A与B中有一对相互独立,则另外三对也相互独立
2.三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),
A,B,C三事件两两相互独立.若再满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C三事件相互独立.
个事件Ai,A2,…,An,如果对任意k(1 PAiAiAiPAiPAiPAi,则称这n个事件Ai,A2,…,An相互独立. 12k12k 第二章随机变量及其概率分布 .随机变量及其分布函数 1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X(e)称为随机变量. 2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X (1)0 (2)F(x)单调不减,即若xi 2). (3)F(x)右连续,即F(x+O)=F(x).(4)P{x1 .离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量) ⑴非负性0 (2)归一性pk1 k1 2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=Pk为阶梯函数,它在x=Xk(k=1,2,…)处具有跳 Xkx 跃点,其跳跃值为pk=P{X=Xk}. 3.三种重要的离散型随机变量的分布 (1)X~(0-1)分布P{X=1}=p,P{X=0}=1—p(0 nknk (2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=pk1p(k=0,1,2,…,n) k (0 k ⑶)X~()参数为的泊松分布P{X=k}=e(k=0,1,2,…)(>0) k! 3. 连续型随机变量 F(x)=xftdt,-g 数). 2.概率密度的性质 3. axb 其它 三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X〜U(a,b)区间(a,b)上的均匀分布f(x) ⑵x服从参数为的指数分布.fx丄°x/若x0(>0). 0若x0 (x (3) - X~N(,2)参数为,的正态分布f(X) 特别,=0,2=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1),其概率密度 Xxx 若X〜N((,2),则Z=~N(0,1),P{x1 若P{Z>z}=P{Z<-z}=P{|Z|>z/2}=,则点z,-z,z/2分别称为标准正态分布的上 下,双侧分位点.注意: (z)=1-,z1-=-z. 4.随机变量X的函数丫=g(X)的分布 1.离散型随机变量的函数 X x1X2 xk… Pk P1P2 Pk… Y=g(X) g(xMg(x2) …g(xk)… 若g(xk)(k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律. 若g(Xk)(k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布 律. 2.连续型随机变量的函数 若X的概率密度为fx(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法: ⑴分布函数法先求丫的分布函数F/(y)=P{Y kkyx 其中△k(y)是与g(X) 得fv(y)=Fy/(y). ⑵公式法若g(x)处处可导,且恒有g/(x)>0(或g/(x)<0),则Y=g(X)是连续型随 其中h(y)是g(x)的反函数,=min(g(-),g())=max(g(-),g()). 如果f(x)在有限区间[a,b]以外等于零,则=min(g(a),g(b))=max(g(a),g (b)). 第三章二维随机变量及其概率分布 .二维随机变量与联合分布函数 1.定义若X和丫是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量• 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X 2.分布函数的性质 (1)F(x,y)分别关于x和y单调不减. ⑵0 (3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y). (4)对于任意实数x1 P{xi .二维离散型随机变量及其联合分布律 1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(xi,yj)(i,j=1,2,…)称 (X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X=xi,Y=yj}=pij为(X,Y)的联合分布律•也可列表表示. 3.(X,Y)的(X和丫的联合)分布函数F(x,y)=pij xixyjy 三.二维连续型随机变量及其联合概率密度 1.定义如果存在非负的函数f(x,y),使对任意的x和y,有 f(x,y)dxdy1 2F(x,y) xy 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和丫的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性f(x,y)>0. (2)归一性 ⑶若f(x,y)在点(x,y)连续,则f(x,y) ⑷若G为xoy平面上一个区域,则P{(x,y)G}f(x,y)dxdy. G 四.边缘分布 1.(X,Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)=P{X (X,Y)关于丫的边缘分布函数Fy(y)=P{X<,Y 2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X的边缘分布律P{X=xi}= Pij=pi•(i=1,2,…)归一性pi? 1. j1i1 关于丫的边缘分布律P{Y=yj}= pij=P“(j=1,2,…)归一性p? j1. i1j1 3.二维连续型随机变量(X,Y) 归一性fX(x)dx1 归一性fY(y)dy1 关于X的边缘概率密度fx(x)=f(x,y)dy 关于丫的边缘概率密度fy(y)=f(x,y)dx 5.相互独立的随机变量 1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)=Fx(x)F丫(y),则称X和丫相互独立. 2.离散型随机变量X和丫相互独立pij=pi••p.j(i,j=1,2,…)对一切x』j成立. 3.连续型随机变量X和丫相互独立f(x,y)=fx(x)fy(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y) 都成立. 六•条件分布 1.二维离散型随机变量的条件分布 定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y}>0,贝U称 P{X=xi|Y=yj} 为在丫=yj条件下随机变量X的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x}>0,贝U称 P{XXi,丫yj}B p{Y=yj|X=xi}P{Xxi}pi? 为在X=x条件下随机变量丫的条件分布律. 第四章随机变量的数字特征 一.数学期望和方差的定义 随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量 分布律P{X=xi}=pi(i=1,2, …)概率密度f(x) 数学期望(均值)E(X) 敛) xipi(级数绝对收敛)i1 xf(x)dx(积分绝对收 方差D(X)=E{[X-E(X)]2} XiE(X)2Pi i1 [xE(X)]2f(x)dx =E(W)-[E(X)]2(级数绝对收敛)(积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)]g(Xj)Pj(级数绝对收敛)g(x)f(x)dx(积分绝 i1 对收敛) 标准差(X)=VD(X) .数学期望与方差的性质 2 1.c为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=cD(X). ,丫为任意随机变量时,E(X±Y)=E(X)±E(Y). 3.X与丫相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y),D(X±Y)=D(X)+D(Y). 4. D(X)=0P{X=C}=1,C为常数. p(1-p) np(1-p) ~(0-1)分布P{X=1}=p(0 ~b(n,p)(0 ~() 服从参数为的指数分布 2~N(,2) 四.矩的概念 随机变量X的k阶(原点)矩E(Xk)k=1,2, 随机变量X的k阶中心矩E{[X-E(X)]k} 随机变量X和丫的k+l阶混合矩E(XkY')1=1,2, 随机变量X和丫的k+l阶混合中心矩E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]1} 第六章样本和抽样分布 .基本概念 总体X即随机变量X;样本Xi,X2,…,Xn是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本 值Xi,x2,…,xn为实数;n是样本容量. 统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如: .抽样分布即统计量的分布 1. X)=D(X)/n. X的分布不论总体X服从什么分布,E(X)=E(X),D( 特别,若X~N(,2),贝UX~N(,2/n). n 2.2分布 (1)定义若X〜N(0,1),则丫=Xi2~2(n)自由度为n的2分布. i1 ⑵性质①若丫~2(n),贝UE(Y)=n,D(Y)=2n. ②若丫1〜2(n1)丫2〜2(n2),贝卩¥+丫~2(n1+n2). ③若X~N(,2),则(n—^^S〜2(n-1),且X与S2相互独立. (3)分位点 若丫~2(n),0<<1,则满足 的点2(n), 2(n),2/2(n)和1/2(n)分别称为2分布的上、下、双侧分位点. 3.t分布 2X (1)定义若X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互独立,则t=t(n)自由度为n的t UY/n 分布• (2)性质①n—x时,t分布的极限为标准正态分布 ②X〜N(,2)时, X ~t(n-1). Sn ③两个正态总体 相互独立的样本样本均值样本方差 X~N(1,12)且12=22=2X1,X2,…,Xn1XSi2 2 Y~N(2,2) Y1,丫2,…,Yn2丫S2 (ni1)sjg1)S2 则(X—Y)(1=〜t(ni+n^2),其中SW 11W ⑶分位点若t~t(n),0<<1,贝U满足 的点t(n),t(n),t/2(n)分别称t分布的上、下、双侧分位点 注意: t1-(n)=-t(n). Ufn 分布 (1)定义若U~2(n1),V~2(n2),且U,V相互独立,则F二此朴E自由度为 (n1,n2)的F分布. ⑶分位点若F~F(n1,n2),0<<1,则满足 的点F(n「n2),F1(n1,n2),F/2(n「n2)和尸〔/2(n「n2)分别称为F分布的上、 1 下、双侧分位点.注意: F1(n1,n2). F(n2.n1) 第七章参数估计 Xi,X2,…,Xn是X的一个样本,X1,X2,…,xn是样本值. 1.矩估计法 若代入样本值则得到矩估计值 2. 最大似然估计法 n k)为似然函数•取使似然函数达到 的联合分布L(1,2,,k)p(xi,1,2, i1 最大值的1,2,,k,称为参数1,2,…,k的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计 量. 若L(1,2,…,k)关于1,2,…,k可微,则一般可由 3.估计量的标准 (1)无偏性若E()=,则估计量称为参数的无偏估计量. 不论总体X服从什么分布,E(X)=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak)=k=E(Xk),即样本均值X, 样本方差S2,样本k阶矩A分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k阶矩k的无偏估计, ⑵有效性若E (1)=E (2)=,而D (1) P (3)一致性(相合性)若n^x时,,则称估计量是参数的相合估计量. .区间估计 1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤 (1)寻找样本函数W=W(XX2,…,Xn,),其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确 ⑵利用双侧分位点找出W的区间(a,b),使P{a ⑶由不等式a 则区间(_, )为所求. 2.单个正态总体 待估参数其它参数 W及其分布 置信区间 2已知 2未知 未知 3.两个正态总体 (1)均值差1-2 X N(0,1) n X 話~t(n-1) 叮2(n-1) 其它参数W及其分布 X—nZ/2) S (X-^t/2(n1) n (n1)S2 /22(n1) (n1)S2 /2(nJ 置信区间 221,2已知 XY( ■n: 1 2 2 n2 2)〜N(0,1) (XYZ 2■n1 2) n2 未知 2) t(n计n2-2) (XY (n1n2刀瓦』 其中Sw等符号的意义见第六章二•3⑵ ③. s2/s2 (2)1,2未知,W=—2—~F(rn-1,n2-1),方差比12/22的置信区间为 12 注意: 对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2改为,另外的下(上)限取为-()即可.
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- 概率论 数理统计 复习 笔记
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