72点估计的优良性标准精.docx

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72点估计的优良性标准精

第二节点估计的优良性标准

首先说明一下问题的提出，介

绍以下三种评价标准：

1、无偏性

2、有效性

3、相合性

一、问题的提出

从前一节可以看到，对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,如第一节的例4和例1（）•而且，很明显，原则上任何统计屋都可以作为未知参数的估计虽.

问题

（1）对于同一个参数究竞采用哪一个估计量好？

（2）评价估计量的标准是什么？

您

下面介绍几个常用标准.

在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强调指出：

评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.

这是因为估计量是样本的函数，是随机变量•因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值•因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性.

二、常用的几条标准是:

1・无偏性

2.有效性

3・一致性（相合性）

这里我们重点介绍前面两个标准・

1、无偏性

若x「*2,…,为总体X的一个样本，

0^0是包含:

在总体X的分布中的待估参数,

（<9是&的取值范

若估计量％0"显2,…，乙）的数学期望

E（0）存在，且对于任意0e®有E（0）=4则称0是0的无偏估计量

定义的合理性

我们不可能要求每一次由样本得到的

估计值与真值都相等，但可以要求这些估

计值的期望与真值相等.

无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差・

例如，用样本均值作为总体均值的估计时，

虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随

机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差.

例1、设总体X的《阶矩从伙21）存在，又设xnx2,...,xw是X的一个样本，试证明不论总体服从什么分布，k阶样本矩比=1是k

n|»1阶总体矩M的无偏估计.

证因为心，1，…,X“与X同分布，

故有E（X：

）二E（X*）=从，心12・・・岸・

即E（Ak）=-^E（X^=Uk・

n1-1

故R阶样本矩人是&阶总体矩怂的无偏估计

特别的：

不论总体X服从什么分布，

只要它的数学期望存在，卩f

X总是总体X的数学期望fxx=E（X）的无偏

估计量.

例2、对于均值“，方差都存在的总体■若

均为未知，则肝的估计量却=2工电-*）'

是有偏的（即不是无偏估计）.

证材=IfX；-*2=A*2,

因为E（A2）=x/2=a2+//\

2又因为E（X2）=D（X）+[E（X）]2=穴+//,n

所以E（&2）=E（A2-X2）=E（A2）-E（X2）

例3、设总体X服从参数为0的指数分布，概率密度护，“°,

[0,其他

其中参数0>0,又设…,X”是来自总体X的

样本，试证X和“Z=/i[min（X1,X2,.,XJ]都是0的无偏估计.

证明因为E（X）=E（X）=0,

所以X是0的无偏估计量

而Z=min（X“X”・・・,X“）服从参数为&的指数分布n

\n-j

概率密度几「卫创二/'X>（N

0,其他.

Q故知E（Z）=-,=

n

所以/忆也是0的无偏估计量

由上例可知•一个参数可以有不同的无偏估

计量.

2、有效性

比较参数0的两个无偏估计量A和玄，如果

在样本容疑〃相同的情况下，&的观察值在真值

0的附近较玄更密集，则认为&较玄有效・

由于方差是随机变量取值与其数学期望的

偏离程度.所以无偏估计以方差小者为好.

设0严&…，乙）与玄=玄（乙,禺,…,X”）都是&的无偏估计量若有

则称内较玄有效.

例4、（续例3）

试证当“>1时,0的无偏估计量K较〃Z有效.

证明由于D（X）=3,故有D（X）二艺，n

又因为D（Z）=7，故有DSZ）=02,n

当”>1时，D（nZ）>D（X）,

故0的无偏估计量X较〃Z有效.

3、一致性（相合性）

若3=3（X“X2，・・・,X”）为参数啲估计量

若对于任t^€0,当“TOO时,8（八*2,…,X“）

依概率收敛于仇则称4为0的一致估计量

一致性只是在样本容量非常大的时候才显现出优势，在实际问题中常常使用无偏性、有效性这两个标准.

小结

1.无偏性

2.有效性

3.一致性（相合性）

练习：

试证明均匀分布

0,

0<,v<0,其它

中未知参数0的极大似然估计量不是无偏估计.

K解U因为®的极大似然估计用为

而总体分布函数

0=max{X}

0,

06.

0=mix[X,]的分布函数为\

o,z

巧⑵=[F（z）f=^7，0

1,z>0.

b

故其概率密度为

厶⑵彳歹

0,

0

其它，

E@）=jS（zMz衣

/z+l

从而，j不是。

的无偏估计・・