半角模型专题专练.docx
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半角模型专题专练.docx
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半角模型专题专练
半角模型例题
已知,正方形ABCD^,/EAF两边分别交线段BCDC于点E、F,且/EAF=45
结论1:
BE+DF=EF
结论2:
S^abe+Saadf=Saaef
结论3:
AH=AD
结论4:
ACEF的周长=2倍的正方形边长=2AB
结论5:
当BE=DF时,△CEF的面积最小
结论6:
bM+dN=mN
结论7:
三角形相似,可由三角形相似的传递性得到
结论8:
EA卩人是厶CEF的外角平分线
结论9:
四点共圆
结论10:
△ANE^PAAMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到)
结论11:
MN=_EF(可由相似得至U)结论12:
SAAEF=2SAAMN(可由相似的性质得至U)结论5的证明:
设正方形ABCD勺边长为1
贝US^aef=1—S1-S2—S3
11
=云—孑xy
所以当x=y时,△AEF的面积最小
结论6的证明:
将厶ADNI顺时针旋转90°使AD与AB重合
•••DN=BN
易证△AMI^AAMN
•••MN=MN
在Rt△BMN中,由勾股定理可得:
bM+BN2=MN2
即bM+dN=mN
结论7的所有相似三角形:
已知:
正方形
EAF45,AE、
AF平分DFE.
AD
△AMN^DFN
结论8的证明:
因为△AMN^AAFE
•••/3=Z2
因为△AMN^ABAN
•-Z3=/4
•-Z2=/4
因为AB//CD
•/1=/4
•/1=/2
结论9的证明:
因为/EAN=/EBN=45°
•A、B、E、N四点共圆(辅圆定理:
共边同侧等顶角)
同理可证C、E、N、F四点共圆
AMF、D四点共圆
C、E、MF四点共圆
**必会结论图形研究正方形半角模型
ABCD,E、F分别在边BC、CD上,且AF分别交BD于H、G,连EF.
、全等关系
(1)求证:
①DFBEEF:
②DG+BH=HG;③AE平分BEF,
、相似关系
(2)求证:
①CE2DG;®CF..2BH;@EF.2HG.
(3)求证:
④AB2BGDH:
⑤AG2BGHG;®业匹-.
CECF2
三、垂直关系
(4)求证:
①AGEG;②AHFH:
③tanHCF竺
BE
(5)
、和差关系
求证:
①BGDG2BE•,②ADDF2DH;
③|BEDF|,2|BHDG|.
例1、在正方形ABCD中,已知/MANH45°,若MN分别在边CBDC的延长线上移动,
1•试探究线段MNBM、DN之间的数量关系.
2.求证:
AB=AH.
例2、在四边形ABC[中,ZB+ZD=180°,AB=AD若E、F分别在边BCCD上,且满足EF=BE+DF.
求证:
ZEAF^-ZBAD
例3、在厶ABC中,AB=ACZBAC=ZDAE=120,若BD=5
CE=8求DE的长。
例4、请阅读下列材料:
已知:
如图1在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45.探
究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)
当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
例5、探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BCCD上的点,且/EAM45°,试判断BE、DF与
EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中AB=AD/B+ZD=180°,E、F分别是边BCCD上的点,且ZEAF=LZBAD,则
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证
2
明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BCCD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明..
练习巩固1:
如图,在四边形ABCD中,ZB=ZD=90°,AB=AD,若E、F分别
在边BCCD上的点,且ZEAF^jZBAD.
求证:
EF=BE+DF.
练习巩固2:
如图,在五边形ABCD中,AB=BC=CD=DE=EA,
A
练习巩固3:
已知:
正方形ABCD中,MAN45。
,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CBDC(或它们的延长线)于点MN.
(1)如图1,当MAN绕点A旋转到BMDN时,有BMDNMN•当MAN绕点A旋转到
BMDN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)
AB=ADZB=ZD=90
当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,并证明.
(3)
(5).如图17,正方形ABCDE、F分别为BCCD边上一点.
(1)若/EAF=45o.求证:
EF=BE+DF.
(2)若厶AEF绕A点旋转,保持/EAF=45o,问/CEF的周长是否随
△AEF位置的变化而变化?
(3)已知正方形ABCD勺边长为1,如果/CEF的周长为2.求/EAF的度数.
练习巩固5、
如图,已知在正方形ABCD中,MAN=45°,连接BD与AMAN分别交于E、F两点
求证:
(1)MN=M申DN
(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;
(3)VCMN勺周长等于正方形ABCD边长的2倍;
(5)若MAB=20°,求AMN
(6)若MAB0pp45o,求AMN;
(7)EFEE?
DF2;
(8)VAEN与VAFM是等腰三角形;
(9)
s
VAEF
S
VAMN
练习巩固6、
在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点,且MDN60,
BDC
120,BDCD,探究:
当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时,
BM,BN,MN之间的数量
关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
DN时,BM,NC,MN之间的数量关系式
DN时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你
的猜想并加以证明;
(3)如图③,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若ANx,则Q(用x,L表示)
练习巩固7、
女口图所示,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的/MDN点MN分别在AB,AC上,求△AMN勺周长
练习巩固8
女口图,在正方形ABC冲,BE=3EF=5,DF=4,求/BA曰/DCF为多少度
巩固练习9、
如图1,Rt△ABC^Rt△EDF/ACB=ZF=90°,/A=ZE=30°。
厶EDF绕着边AB的中点D
旋转,DEDF分别交线段.AC于点MK.
⑴①如图2、图3,当/CDF=0°或60°时,AM+CKMK填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当/CDF=30°时,AM+CK___MK只填“〉”或“<”).
⑵猜想:
如图1,当0° AM ⑶如果MK2CK2AM2,请直接写出/CD的度数和竺的值. fc 图1 B
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