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初二数学
与三角形有关的线段及三角形的稳定性
一、知识归纳
1、三角形:
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形按边的相等关系分类如下:
2、三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
若三角形的三边为a,b,c,则a+b>c,b+c>a,c+a>b.
若三角形的三边为a,b,c,则a-b<c,b-c<a,c-a<b.
3、三角形的高、中线和角平分线都是线段.
在三角形中,一个内角的平分线与对边相交,这个顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
注意:
(1)三角形的“三线”都是线段;
(2)三角形的三条角平分线交于一点,三条中线交于一点,三条高所在的直线交于一点.
4、三角形具有稳定性.
二、例题讲解
例1、
(1)以AB为一边的三角形有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
(2)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3.5cm B.4cm,5cm,9cm
C.5cm,8cm,15cm D.8cm,8cm,9cm
(3)已知等腰三角形的周长是25cm,其中一边长为10cm,则另两边长为_____________.
(4)三角形的两边分别为3和5,则周长l的范围是_________________.
(5)已知a、b、c是△ABC三边之长,化简|a+b-c|+|a-b-c|-|b-a-c|-|c+b-a|=____________.
提示:
(1)找到能与点A、B连接成三角形的第三个点有几个,那么就能组成几个三角形.
(2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)等腰三角形两腰相等,此题分两种情况:
①已知边长为10cm是底边;②已知边长为10cm是腰.
(4)根据三角形三边的关系得:
第三条边要大于(5-3)而小于(3+5).
答案:
(1)B
(2)D (3)10cm,5cm或7.5cm,7.5cm
(4)10 例2、在等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分,求这个三角形各边的长. 答案: 各边长为10,10,1. 例3、 (1)不是利用三角形稳定性的是( ) A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜边条 (2)如图不具有稳定性的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (3)如图,已知AD、AE分别是△ABC的中线、高,且AB=5cm,AC=3cm,则△ABD与△ACD的周长之差为________,△ABD与△ACD的面积关系为_________. (4)如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 (5)如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,S△ABC=4cm2,求S△ABE. (6)△ABC中,AD是角平分线,DE//AC交AB于E,EF//AD交BC于F.试问: EF是△BDE的角平分线吗? 说明理由. 提示: (1)三角形是平面图形,照相机的三角架是三棱椎图形. (2)第二个图形是由一个三角形和一个四边形组成,四边形不具备稳定性. (4)直角三角形的两直角边是它的两条高,与第三条高交于直角顶点. (6)只要说明∠BEF=∠FED就可以得出EF是△BED的角平分线. 答案: (1)C (2)B (3)2cm,相等 (4)B (5)S△ABE=1cm2 (6)EF是△BDE的角平分线.理由略 例4、 (1)如图,AD⊥BC,垂足为D,则AD是_______的高,______=______=90°. (2)AE平分∠BAC,交BC于E点,则AE叫做∠BAC的________,______=______= __________. (3)若FA=FC,则△ABC的中线是__________,S△ABF=_________. (4)若BG=GH=HF,则AG是_____________的中线,AH是_______________的中线. 答案: (1)BC边,∠ADB,∠ADC (2)角平分线,∠BAE,∠CAE,∠BAC (3)BF,S△CBF (4)△ABH的边BH上,△AGF的边GF上 一、填空题 1、已知在三角形ABC中,AB=2,BC=3,则AC的取值范围是________________. 2、三角形三边的比是3∶4∶5,周长是96cm,那么三边长分别是_________________. 3、若△ABC中,三边长a,b,c均为整数,且满足a>b>c,若a=7,则满足条件的三角形共有_____________个. 4、如图,在△ABC中,BC边上的高为__________,AB边上的高是__________,AC边上的高是__________. 5、如图,则S△ABC=_________. 二、选择题 6、已知四组线段的长,其中能构成三角形的一组是( ) A.1、2、3 B.2、5、8 C.3、4、5 D.4、5、10 7、如线段a、b、c能组成三角形,那么它们的长度比可能是( ) A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶4 8、如图,已知点D、E、F分别为BC、AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,S△BEF为( ) A.2cm2 B.1cm2 C. cm2 D. cm2 三、综合题 9、已知△ABC两边长为2,5,且第三边为奇数,求这个三角形的周长. 10、若a、b、c是△ABC的三边长,试化简|a-b-c|+|-b+a+c|. 三角形的内角 一、知识归纳 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°. 三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系. 二、例题讲解 例1、 (1)在△ABC中,若∠A=50°,∠B=∠C,则∠B=_________. (2)若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2,则这个三角形的最大内角为_________. (3)在Rt△ABC中,∠A+∠B=135°,则∠B的度数是( ) A.45° B.90° C.45°或90° D.不能确定 提示: (1)三角形三个内角的和等于180°,题中为等腰三角形,已知顶角,可求出其中一底角. (2)已知三个内角之比4∶3∶2,180°÷(4+3+2)=20°,再按三个比值分别求出三个角,其中最大内角为20°×4=80°. (3)在不能确定哪个角是直角的情况下,那么∠B的度数有两个. 答案: (1)65° (2)80° (3)C 例2、 (1)△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,则△ABC是_________三角形. (2)不能判定三角形是直角三角形的条件是( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B= ∠C C.∠A=90°-∠B D.∠A-∠B=90° (3)一个三角形中,至少有_________个角是锐角,至多有_________个角是钝角或直角. 提示: (1)根据题中比例关系,用一元一次方程的方法建立方程解答. (2)能判断三内角中有一个角是直角的是A、B、C,选D. 答案: (1)钝角 (2)D (3)2 1 例3、如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4=_________. (2)如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_________. 答案: (1)280° (2)360° 提示: 三角形三个内角的和等于180°.把这六个角分到两个三角形求内角和. 例4、 (1)如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB等于( ) A.40° B.30° C.20° D.10° (2)如图,在△ABC中,∠C=90°,EF//AB,∠1=50°,则∠B的度数为( ) A.50° B.60° C.30° D.40° 提示: (1)折叠后的两个三角形对应的角、边都相等. (2)利用“两直线平行内错角相等”的性质,可推出∠A=∠1=50°,便可以求出∠B. 答案: (1)D (2)D 例5、如图所示,将三角形纸片ABC的一个角折叠,折痕为EF,若∠A=80°,∠B=68°,∠CFE=78°,求∠CEF的度数. 提示: 利用三角形内角和求出∠C的度数,而∠C又为图中两个三角形的公共角,已知∠CFE=78°,即可得出∠CEF的度数. 答案: 70° 例6、如图所示,B处在A处的南偏西60°方向,C处在A处的南偏东20°方向,C处在B处的南偏东80°方向,求∠ACB的度数. 答案: 60° 例7、如图,DP平分∠CDA,BP平分∠ABC,则∠P、∠A、∠C之间的关系怎样,请说明理由. 提示: 根据三角形内角和定理,在类似如图八字形的三角形中,对顶角相等,另外两组内角之和也相等. 答案: 2∠P=∠C+∠A 一、填空题 1、在△ABC中,若∠A=50°,∠B=60°,则∠C=________;若∠A=90°,∠B-∠C=24°,则∠B=__________. 2、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则△ABC是___________三角形. 3、如图,若∠A=40°,则∠1+∠2+∠3+∠4=_________. 4、如图,∠B+∠C=100°,∠D=70°,则∠A=_________. 二、选择题 5、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7,这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6、在△ABC中,∠C=80°,∠A-∠B=20°,则∠B等于( ) A.20° B.30° C.40° D.60° 7、如图,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC的度数为( ) A.45° B.100° C.80° D.60° 三、综合题 8、在△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,试判断△ABC的形状. 9、如图,在四边形ABCD中,AB//DC,P为BC上一动点,若点P在BC上运动,则∠CDP+∠CPD的和一定等于∠B,试说明理由. 10、如图 (1)所示,有一个五角形ABCDE图案,你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗? 如果B点向下移动到AC上[如图 (2)所示]或AC的另一侧[如图(3)所示],上述结论是否依然成立? 请说明理由. 三角形的外角 一、知识归纳 1、三角形的外角: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 如图,像∠ACD那样,三角形的一边与另一条边延长线组成的角就是三角形的外角. 外角特征: (1)顶点在三角形的一个顶点上,如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点; (2)一条边是三角形的一边,如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边; (3)另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线. 2、性质: (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 3、三角形的外角和为360°. 二、例题讲解 例1、 (1)如图所示,下列结论正确的是( ) A.∠1>∠2>∠A B.∠1>∠A>∠2 C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠1>∠A (2)如图,∠1=100°,∠2=145°,那么∠3等于( ) A.55° B.65° C.75° D.85° (3)在△ABC中,∠A=53°,∠B=63°,那么△ABC的最小外角是( ) A.117° B.63° C.116° D.53° (4)如图,AD与BC相交于O,AB//CD,∠B=20°,∠D=40°,那么∠BOD的度数为__________. (5)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,则∠A的度数为__________. 提示: (1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. (2)利用三角形的外角和为360°求出∠3的邻补角,从而得∠3的度数. (3)利用三角形内角和定理求出∠C,最大内角的邻补角就是最小外角. (4)因为AB∥CD,所以∠A=∠D=40°,∠B=20°,由三角形内角和可求出∠AOB. (5)注意分类讨论. 答案: (1)A (2)B (3)C (4)60° (5)40°或140° 例2、 (1)如图l1//l2,则下列式子中值为180°的是( ) A.α+β-γ B.α+β+γ C.β+γ-α D.α-β+γ (2)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________. (3)如图为五角星,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________. 提示: 本题主要运用了三角形内角和定理及外角和的有关结论,把所求的五个角集中到一个三角形中来解决. 答案: (1)A (2)360° (3)180° 例3、如图,直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E,交BC的延长线于F.若∠B=67°,∠ACB=74°,∠AED=48°.求∠BDF的度数. 提示: 由已知条件∠B=67°,∠ACB=74°可求出∠A,然后用三角形的外角与内角关系∠BDF=∠A+∠AED求解. 答案: 87° 例4、如图,△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=∠C,∠4=∠5.求∠5的度数. 提示: 由已知条件得出: △ABC、△BDC为等腰三角形,∠C为△ABC、△BDC的公共角,∠4=∠5=∠1+∠2,由此等量关系,设未知数列出方程可求得. 答案: 72° 例5、如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>∠B).试说明∠EAD= (∠C-∠B). 答案: ∵AE平分∠BAC,∴∠EAC= ∠BAC= (180°-∠B-∠C). ∵AD⊥BC,∴∠DAC=90°-∠C, ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC = (180°-∠B-∠C)-(90°-∠C) = (∠C-∠B). 一、选择题 1、如图,图中∠1=___________. 2、△ABC的三个外角比为2∶3∶4,则△ABC的三个内角分别为___________. 3、在△ABC中,∠BAC=50°,∠C=60°,高AD与角平分线BE交于点F,则∠BFD=___________. 二、选择题 4、把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所成的角为( ) A.165° B.155° C.15° D.165°或15° 5、如图,∠1,∠2,∠3,∠4应满足的关系式是( ) A.∠1+∠2=∠3+∠4 B.∠1+∠2=∠4-∠3 C.∠1+∠4=∠2+∠3 D.∠1+∠4=∠2-∠3 6、如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°,则这个外角为( ) A.60° B.45° C.30° D.90° 7、如图,直线a//b,则∠A的度数为( ) A.28° B.31° C.39° D.42° 8、任何一个三角形的三个内角中至少有( ) A.两个锐角 B.三个锐角 C.一个钝角 D.一个直角 三、综合题 9、如图,∠B=45°,∠A=30°,∠C=25°,求∠ADC的度数. 10、如图,已知DE分别交AB、AC于D、E,交BC的延长线于F,∠B=67°,∠ACB=74°,∠AED=48°,求∠BDF的度数. 多边形及其内角和 一、知识归纳 1、多边形: 在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形. (1)多边形的一些要素 边: 组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点: 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 内角: 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角. 外角: 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (2)在定义中应注意 ①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数); ②首尾顺次相连,二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、正多边形: 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 要点诠释: 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形. 3、n边形的内角和等于(n-2)·180°.多边形的外角和等于360°. 4、对角线: 连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,n边形共有 条对角线. 二、例题讲解 例1、 (1)如图所示,等边△ABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为___________cm. (2)如图,△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形,D和G分别为AC和AE的中点,若AB=4,则图形ABCDEFG外围的周长是( ) A.12 B.15 C.18 D.21 提示: (1)折叠后的阴影部分图形的周长转化为三角形周长. (2)根据等边三角形的性质找出三个三角形边长之间的关系. 答案: (1)3 (2)B 例2、 (1)若一个多边形内角和等于1260°,则该多边形边数是_________. (2)若一个正多边形的每一个外角都是30°,则这个正多边形的内角和等于_________度. (3)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°.这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (4)一个多边形的每个外角都相等,且比它的内角小140°,这个多边形是_________边形. (5)过多边形的一个顶点可以引9条对角线,那么这个多边形的内角为( ) A.1620° B.1800° C.1980° D.2160° 提示: (1)n边形的内角和等于(n-2)·180°=1260°.求出n=9即为多边形的边数. (2)多边形的外角和等于360°, 360°÷30°=12,(n-2)·180°=(12-2)×180°=1800°. (3)(4)都根据多边形定理公式求解: “过n边形一个顶点连对角线,可以得(n-3)条对角线”,“n边形的内角和等于(n-2)·180°,多边形的外角和等于360°”. 答案: (1)9 (2)1800 (3)C (4)十八 (5)B 例3、 (1)如图,分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心,半径为R作四个互不相交的圆,则图中阴影部分的面积之和是_________. (2)如图,小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走_________m. 答案: (1)πR2 提示: 阴影部分为四个扇形,求扇形面积就要先知道扇形的圆心角度数和圆的半径,已知四个小扇形半径R相等,而四个圆心角之和实际就是四边形内角之和360°,由此可得πR2. (2)240 提示: 小亮从A点出发再走回A点就是转了一圈,那么就是转了360°.360°÷15°×10=240. 例4、四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,∠A=∠D.求这个四边形四个内角的度数. 提示: 四边形内角和为360°,根据四个角的比例关系设未知数,列一元一次方程求解. 答案: ∠A=120°,∠B=80°,∠C=40°,∠D=120° 例5、已知两个多边形的内角总和为1800°,且两多边形的边数之比为2∶5.求这两个多边形的边数. 答案: 设两个多边形的边数分别为2x和5x, (2x-2)·180°+(5x-2)·180°=1800° 得x=2. 2x=4,5x=10. 所以这两个多边形的边数分别为4和10. 例6、一个同学在进行多边形内角和计算时,求得内角和为2750°,当发现错了之后,重新检查,发现少加了一个内角.问这个内角是多少度? 求这个多边形的边数. 解: 设这个内角是α度,这个多边形的边数为n,则 (n-2)·180°=2750°+α, ∴n-2=15+ . ∵n-2是正整数且0<α<180°, ∴α=130°,n=18. ∴这个内角是130°,这个多边形的边数是18. 一、填空题 1、已知正n边形的周长为a,则它的边长为__________. 2、从n边形的一个顶点引对角线,把这个多边形分成6个三角形,则这个多边形的边数为__________. 二、选择题 3、关于正多边形的说法正确的是( ) A.每个内角相等的多边形是正多边形 B.每边相等的多边形是正多边形 C.正四边形一定是正方形 D.正五边形的每个内角为100° 4、已知从多边形的一个顶点可引出三条对角线,则它是( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 5、一个多边形截取一个角后,形成另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是( ) A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能 6、已知多边形每个内角等于120°,则从此多边形的一个顶点出发可引出对角线( ) A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 7、如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△
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