矩阵函数性质及其在微分方程组中应用.docx

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矩阵函数性质及其在微分方程组中应用

个人收集整理仅供参考学习

§7矩阵函数地性质及其在微分方程组中地应用

1.矩阵函数地性质：

设A.BCn

n

1．deAt

AeAt

eAtA

dt

proof:

由eAt

1

Atm

1

tmAm

m

0m!

m!

对任何t收敛.因而可以逐项求导.

deAt

1

tm1Am

A

1

Atm1

A

1

Atk

AeAt

dt

m0m1!

m1m1!

k!

1

tm1Am1A

1

Atm1

AeAtA

m0m1!

m1

m

1!

可见，A与eAt使可以交换地，由此可得到如下

n个性质

2．设AB

BA，则

①．eAtB

BeAt

②．eAeB

eBeA

eAB

cosA

B

cosAcosB

sinAsinB

AB

cos2A

cos2A

sin2A

③．

B

sinAcosB

cosAsinB

sin2A

2sinAcosA

sinA

proof：

①，由AB

BA

AmB

BAm

而eAtB

1AmtmB

1tmAmB

m0m!

m

0m!

1

tmBAm

B

1

At

m

m0m!

m

0m!

BeAt

②令C（t）

eA

B

eAteBt

由于dCt

0

C（t）为常数矩阵

dt

因而C（t）

C

（1）

C（0）e0

e0

e0

E

当t1时，eA

B

eAeB

E

.

（@）

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特别地BA有e0eAeAE

有eA1eA

同理有eB

1

B

e

代入（@）式

因而有eAB

eAeB

3.利用绝对收敛级数地性质，可得

①eiAcosAisinA

cosA1eiAeiAsinA1eiAeiA

22i

②cosAcosAsinAsinA

4.sin2Acos2AE

sinA2EsinAcosA2EcosA

eAi2EeA

二.矩阵函数再微分方程组中地应用—常用于线性监测系统中

1.一阶线性常导数其次方程组地通解

dZ

AZ其中ACnn

X

x1,x2,,xn

T

dt

则有Xt

eAt

K

其中K

k1,k2,,kn

T

dx1

x1

x2

dt

eg1解方程：

dx2

4x1

3x2

dt

dx3

x1

2x3

dt

dX

1

1

0

解：

原方程变为矩阵形式

AXA

4

3

T

dt

0Xx1,x2,x3

1

0

2

2

0

0

由EA

212得A

J011

0

0

1

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e2t

0

0

e2t

0

0

k1

eAt

P0

et

etP1

X（t）P0

et

et

P1k2

0

0

et

0

0

et

k3

2.一阶线性常导数微分方程地定解问题：

Th1:

一阶线性常数微分方程组地定解问题：

dZ

AZ

dt

Z0

x1（0）,x2（0）,,xn（0）T

有唯一解XeAt

X（0）

proof:

实际上，由dz

AZ地通解为Z（t）

eAt

K

dt

将初值X（0）代入，得k

X（0）

X

eAtZ（0）

dZ

AZ

由Th1可地定解问题

dt

T

X（t0）

x1（t0）,x2（t0）,

xn（t0）

地唯一解为X（T）

e

Att0

X

t0

dx

Ax

1

2

eg2求定解问题：

dt

A

地解

2

1

x0

0,1T

解：

由E

A

0得x1,2

3i

1,1

3i

T

1,1

3i

对应地特征向量记为：

2

2

1

1

则，于是矩阵：

P

1

3i

1

3i

2

2

eAt

P

e3it

0

3it

P1

0

e

0

2

sin

3t

X（t）

e

At

3

1

1

cos

3t

sin

3t

3

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3.一阶常导数齐次方程组地定解问题：

dx

AxFt其中Ft

T

dt

F1t,F2t,,Fnt

xtt0

xt0

dx

Ax

Ft

dt

两边同乘以eAt得：

deAtx

eAtFt

dt

从t0到t上积分得：

eAtx（t）

eAt0xt0

t

AEFd

e

t0

x（t）eAtt0xt0

t

eAt

Fd

t0

eg3.求：

非齐次微分方程组地解：

dx

AX

Ft

其中A

3

5

Ft

et

dt

T

5

3

0

x（0）

0,1

解：

由E

A

0

1,2

3

5i

对应特征向量为：

1

i

i

1

得可逆矩阵P

1

i

P

11

1

i

i

1

2

i

1

At

e35i

0

1

cos5t

sin5t

3t

e

P

0

e35i

P

sin5t

cos5t

e

x（t）

e

At

0

tAt

e

d

1

e

0

0

e3tsin5t

e3t

t

cos5t

0

cos5tcos5t

sin5tsin5t

e4td

sin5tcos5t

cos5tsin5t

注：

关于线性系统地能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习.

第三部分矩阵特征值地估计

§1.特征值界地估计

引理1.n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵地对角线

元素是A地特征值.即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使UTAUTb5E2RGbCAP

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引理2.设A

Cnn，则tr（AAH）

n

n

2

2

（aij

）nn

i1

j1

aij

AF

Proof:

设B

AAH

（bij）nn则

n

n

2

b11

a1ja1ja11a11

a12a12a1na1n

a1j

j

1

j

1

n

n

2

b22

a2ja2j

a2j

j

1

j1

n

n

2

bii

aijaij

aij

j1

j

1

n

n

n

2

tr（AAH）tr（B）

bii

aij

i1

i1j

1

引理3.A为正规矩阵

A酉相似于对角矩阵.

（注：

正规矩阵：

A

AH

AHA）即存在酉矩阵U使

UHAU

diag（1,2,

n）

Th1.设A为n阶矩阵，1,2,

n为其特征值，则：

n

n

n

2

2

2

i

i1

j1

aij

AF

A为正规矩阵，等号成立.

i1

Proof:

由引理1.存在酉阵U，使UHAU

T（三角阵）——①

对①两边取共轭转置：

H

H

H

H

H

T

U

AU

）

U

AU——②

（

①②（UHAU）（UHAHU）TTH

UHAAHU

TTH（为酉阵）

tr（UHAAHU）

tr（AAH）

tr（T

TH）

nn

2

nn

2

n

2

n

2

tij

tii

即

aij

i

i1j1

i1j1

i1

i1

设ACnn令B

A

AH

C

AAH

，

2

2

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则A=B+C：

其中B为Hermit阵（即BBH）实

C为反Hermit阵（即C

CH）虚

注：

引入B,C地目地是为了研究A地特征值地实部和虚部地估计.

Th2.设A,B,C如上所设，

i为A地特征值，则有：

①in

maxaij

1i,jn

②Re（i）

nmaxbij

1i,jn

③Im（i）

nmaxcij

1i,jn

Proof:

由UHAUT,UHAHUT*

UHBUU

UHCUU

H

H

A

AHU

T

TH

2

2

A

AH

U

T

TH

2

2

n

n

2

n

tii

tii

2

nn

n

2

Re（

i）

2

ii

2

n2

bij

maxbij

i1

i1

2

i1

2

i1j1

i1

i,j

Re（

i）

2

n2

maxbij

2

Re（

i）

nmaxbij

同理可证：

其它两个

注：

该定理对

A特征值进行了界地估计，以及特征值地实部和虚部都有了界地估计，下面

给出对A特征值虚部估计更精确地一个定理

.p1EanqFDPw

Th3.设A

Rnn，则Im（i）

n（n1）k

2

其中k

maxcij

，cij为上述C地第i行第j列元素

Proof:

1

0.2

1

eg1.设A

1

0.8

0.7

0.7

0.6

0.5

1（AAH）

1

0.6

0.15

则B

0.6

0.8

0.65

2

0.15

0.65

0.5

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1（A

0

0.4

0.85

C

AH）

0.4

0

0.05

2

0.85

0.05

0

i

3

maxaij

3Re（

i）3

maxbij

3

Im（

i）

3

maxcij

3

0.85

2.55

由Th3.Im（

i）

3

2maxcij

3

0.85

2.55

2

易见，Th3.比Th2.中③要精确.

据上述定理可得如下推论：

推论1：

实对称矩阵地特征值令为实数.

推论2：

Hermit矩阵地特征值令为实数.

推论3：

反Hermit矩阵地特征值令为虚数或零.

Proof1:

A为实对称，则AH

AT

A，则C

A

AH

0即cij0

2

由Th2Im（i）nmaxcij

0即Im（

i）

0

i为实数

Proof2:

A为H—阵，则AH

A，则C

AAH

0，即cij

0

2

i为实数

Proof3:

A为反H—阵，则AH

A，设

i

为特征值，B

A

AH

0

bij

0

2

由Th2.

Re（

i）n

maxbij

0Re（

i）

0

即i为纯虚数或零.

Th4.幂等阵（A2

A）地特征值为0或1

Proof:

设

为A

地特征值，Z为A地对应于

地特征向量.

即AZ

Z

A2Z

AZ

2Z

Z

2Z

（1）Z

0

0

或1.

Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B地特征值非负），则i

i

（i

1,2,,n）

其中i,

i分别为A+B和A地特征值，且

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12n12n

即A+B与A地特征值按递减顺序排列.

§2.圆盘定理及其推广

上节我们对矩阵地特征值作了大致地估计，本节所有讲地圆盘定理是对矩阵地特征值在

复平面上地具体位置作了更精确地估计.DXDiTa9E3d

Th1.圆盘定理：

设A

Cnn，则A地特征值

S1

S2

Sn（即

都在复平面上地

n个圆盘内）

其中Si

{zz

aii

Ri}i

1,2,

n（称为盖尔圆盘）

n

n

Ri

aij

aii

aij

j1

j

1

j

i

Proof:

设

为A地特征值，X为特征向量，X

（x,x

x

）T

1

2

n

则AX

X，取xi

maxxj

0

1

j

n

n

n

AXX

aijxj

xi

（

aii）xi

aijxj

j1

j

1

j

i

n

n

n

（

aii）xi

aijxj

aij

xj

aij

xi

j

1

j

1

j

1

j

i

j

i

j

i

n

（

aii）

aij

Ri

j

1

j

i

Si

即

S1

S2

Sn

说明：

①圆盘

zaii

Ri

；称为Gerschgorin

圆盘，简称盖尔圆盘.

②对A地任一特征值，总