华南师范大学数学建模集训小题目1.docx
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华南师范大学数学建模集训小题目1
2011年数学建模集训小题目
1.求下列积分的数值解
解:
symsx
f=1/(x*(x*x-3*x+2)^(1/3)),F=int(f,x,2,inf),y=double(F)
f=
1/x/(x^2-3*x+2)^(1/3)
F=
int(1/x/(x^2-3*x+2)^(1/3),x=2..Inf)
y=
1.4396
2.已知
,
,画出
时,
的图形
解:
symst,h;
f=exp(t+h)*cos(t+h)+(t+h)^2*sin(t+h);
int(f,t,0,10)
ans=
-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*cos(h)-2*sin(h)*h+1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h
ezplot('1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*cos(h)-2*sin(h)*h',[-10,10])
3.画出
绕
轴一周所围成的图形,并求所产生的旋转体的体积。
解:
[y,z]=meshgrid(-9:
0.01:
9);
x=sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2);
x(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2<0)=NaN;
mesh(x,y,z);holdon;mesh(-x,y,z);
4.画出下列曲面的图形
(1)旋转单叶双曲面
;
解:
[x,y]=meshgrid(-10:
0.1:
10);
z=2*sqrt((x.^2+y.^2)/9-1);
z((x.^2+y.^2)/9-1<0)=NaN;
mesh(x,y,z)
(2)马鞍面
;
>>
x=-10:
0.1:
10;
>>y=-10:
0.1:
10;
>>[X,Y]=meshgrid(x,y);
>>Z=X.*Y;
>>mesh(Z)
5.画出隐函数
的图形。
解:
6.
(1)求函数
的三阶导数;
解:
运用MATLAB
symsxdx
y=log((x+2)/(1-x))
y=
log((x+2)/(1-x))
>>yx3=diff(y,x,3);
y3=simple(yx3)
y3=
-18*(x^2+x+1)/(x+2)^3/(-1+x)^3
(2)求向量
的一阶向前差分。
a=[00.524]
a=
00.50002.00004.0000
>>diff(a)
ans=
0.50001.50002.0000
7.求解非线性方程组
(1)
解:
symsxy;eq1=x*x+y-6;
>>eq2=y*y+x-6;
[x,y]=solve(eq1,eq2)
x=
2
-3
1/2-1/2*21^(1/2)
1/2+1/2*21^(1/2)
y=
2
-3
1/2+1/2*21^(1/2)
1/2-1/2*21^(1/2)
(2)
解:
symsxy;
eq1=exp(x+sin(x))+cos(y)-10;
>>eq2=tan(x)+10*log(y)-5;
>>[x,y]=solve(eq1,eq2)
x=
1.2981159100626495218126621342789
y=
1.153********38058760233858415577
8.求函数
的极值点,并画出函数图形.
symsx
diff(x^3+6*x^2+8*x-1)
ans=3*x^2+12*x+8
solve('3*x^2+12*x+8=0')
ans=-2+2/3*3^(1/2)
-2-2/3*3^(1/2)
ezplot('x^3+6*x^2+8*x-1',[-100,100])
函数
的极值点,x1=-2+2/3*3^(1/2),
x2=-2-2/3*3^(1/2)
9.某单位需要加工制作100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m和1m的圆钢各一根。
已知原料长6.9m,问应如何下料,使用的原材料最省。
解:
目标函数:
minz=0*x1+0.1*x2+0.6*x3+0.7*x4+0.8*x5;
目标方程:
x1+2*x2=100;
3*x3+2*x4+x5=100;
4*x1+x2+2*x4+4*x5=100;
Feasiblesolutionfound:
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValue
MINZ27.90000
X18.000000
X246.00000
X331.00000
X41.000000
X55.000000
RowSlackorSurplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
N=91根
10.某部门在今后五年内考虑给下列项目投资,已知:
项目
,从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年末回收本利115%;
项目
,从第三年初需要投资,到第五年末能回收本利125%,但规定最大投资额不超过4万元;
项目
,第二年初需要投资,到第五年末能回收本利140%,但规定最大投资额不超过3万元;
项目
,五年内每年初可购买公债,于当年末归还,并加利息6%。
该部门现有资金10万元,问它应如何确定给这些项目每年的投资额,使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大?
解:
目标函数:
maxz=1.15*x4A+1.25*x3B+1.4*x2C+1.06*x5D;
目标方程:
x1A+x1D=100000;
x2A+x2C+x2D-1.06*x1D=0;
x3A+x3B+x3D-1.15*x1A-1.06*x2D=0;
x4A+x4D-1.15*x2A-1.06*x3D=0;
x5D-1.15*x3A-1.06*x4D=0;
x3B<=40000;
x2C<=30000;
Feasiblesolutionfound.
Totalsolveriterations:
0
VariableValue
MAXZ133822.6
X4A0.000000
X3B0.000000
X2C0.000000
X5D126247.7
X1A0.000000
X1D100000.0
X2A0.000000
X2D106000.0
X3A0.000000
X3D112360.0
X4D119101.6
RowSlackorSurplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
50.000000
60.000000
740000.00
830000.00
另一个的投资方案:
第一年:
x1A=71698元,x1D=28300元
第二年:
x2A=0元,x2C=30000元,x2D=0
第三年:
x3A=42453元,x3B=40000元,x3D=0
第四年:
x4A=0元,x4D=0
第五年:
x5D=48820元。
11.已知某工厂计划生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品,各种产品需要在A,B,C三种设备上加工生产,具体相关数据如表1。
试研究下列问题。
(1)如何充分发挥已有设备的能力,使生产盈利最大?
(2)如果为了增加产量,可租用其他厂家设备B,每月可租用60台时,租金为1.8万元,试问租用设备B是否合算?
(3)如果该工厂拟增加生产两种新产品Ⅳ和Ⅴ,其中产品Ⅳ需用A设备12台时,B设备5台时,C设备10台时,单位产品盈利21000元;产品Ⅴ需用A设备4台时,B设备4台时,C设备12台时,单位产品盈利1870元。
假如A,B,C三种设备台时不增加,试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算?
表1生产计划的相关数据
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
设备有效台时/每月
A
8
2
10
300
B
10
5
8
400
C
2
13
10
420
单位产品利润/元
3000
2000
2900
解:
设某工厂计划生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品分别为x1,x2,x3;则
(1)目标函数:
max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;
约束条件:
8*x1+2*x2+10*x3<300;
10*x1+5*x2+,8*x3<400;
2*x1+13*x2+10*x3<420;
由LINGO实现。
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
134500.0
Extendedsolversteps:
6
Totalsolveriterations:
29
VariableValueReducedCost
X124.00000-3000.000
X224.00000-2000.000
X35.000000-2900.000
RowSlackorSurplusDualPrice
1134500.01.000000
210.000000.000000
30.0000000.000000
410.000000.000000
由LINGO实现。
某工厂计划生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品分别为24,24,5最大利润为132300
(2)目标函数:
max=3000*x1+2000*x2+2900*x3-18000;
约束条件:
8*x1+2*x2+10*x3<300;
10*x1+5*x2+8*x3<460;
2*x1+13*x2+10*x3<420;
由LINGO实现。
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
127000.0
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
X131.00000-3000.000
X226.00000-2000.000
X30.000000-2900.000
RowSlackorSurplusDualPrice
1127000.01.000000
20.0000000.000000
320.000000.000000
420.000000.000000
综合考虑方案
(1)和方案
(2),方案
(2)经济效益为127000不合理.
(3)设某工厂计目标函数:
maxz=3000*x1+2000*x2+2900*x3+21000*x4+1870*x5;
8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5<=300;
10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5<=400;
2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5<=420;
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
135960.0
Extendedsolversteps:
25
Totalsolveriterations:
202
VariableValueReducedCost
X126.00000-3000.000
X219.00000-2000.000
X31.000000-2900.000
X41.000000-2100.000
X58.000000-1870.000
RowSlackorSurplusDualPrice
1135960.01.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
45.0000000.000000
结论:
最大经济效益为1356960元时,x1,x2,x3,x4,x5分别为26、19、1、1、8.
12.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B,目的是方便市民的生活,提高城市的生活质量。
根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h(即每个劳动力用1h),分别可以建成1个项目A和两个项目B。
如果投入1个劳动力·h需要支付10元,市政府为了用有限的资金和劳动力,并用最快的时间建成这批项目,服务于社会,服务于人民。
市政府依次提出下面的四条要求。
(1)至少要建50个项目A;
(2)至多建设60个项目B;
(3)至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h;
(4)总投入资金不超过预算120万元。
试为该市政府制定一个满意的项目建设方案
解:
设有A项目行个,B项目行个,则
目标函数:
min=100*x1+50*x2;
约束条件:
x1>50;
x2<60;
x1+0.5*x2>80;
100*x1+50*x2>10000;
x1*(1+0.1)+x2*(0.5+0.05)<120;
由LINGO实现。
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
10000.00
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X1100.00000.000000
X20.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
110000.00-1.000000
250.000000.000000
360.000000.000000
420.000000.000000
50.000000-1.000000
610.000000.000000
当市政府把一笔资金和一定数量的劳动力建设全部投入100项公益项目A时,并满足
(1)至少要建50个项目A;
(2)至多建设60个项目B;(3)至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h(4)总投入资金不超过预算120万元。
用最快的时间建成这批项目。
13.求微分方程组初值问题
式中,
,
,
,
。
选用ode45函数计算,其相对误差限为
,绝对误差限为
,分别画出初值条件为
,
,
,
,
解的相平面轨迹图。
functiondx=shier(t,x);
dx=zeros(2,1);
dx
(1)=(2*x
(1)-x
(1)*x
(2));
dx
(2)=(-x
(2)+2*x
(1)*x
(2));
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.3]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.5]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.7]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.9]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,1.1]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
14.求两个圆
,
所围公共部分的面积。
ezplot('x^2+y^2-100',[-20,20]);
holdon;
ezplot('(x-3)^2+(y-4)^2-100',[-20,20]);
>>symsx;
g=sqrt(100-(x+2.5)^2);
int(g,x,0,7.5)
ans=25*pi-25/8*15^(1/2)-50*asin(1/4)
double(ans)
ans=53.8027
>>s=4*double(ans)
s=215.2109
15.已知平面区域
,
的高程数据见表3(单位:
m)。
表3
4800
4400
4000
3600
3200
2800
2400
2000
1600
1200
800
400
0
13501370139014001410960940880800690570430290210150
13701390141014301440114011101050950820690540380300210
138014101430145014701320128012001080940780620460370350
1420143014501480150015501510143013001200980850750550500
143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550
9501190137015001200110015501600155013801070900105011501200
9101090127015001200110013501450120011501010880100010501100
88010601230139015001500140090011001060950870900936950
83098011801320145014204001300700900850810380780750
740880108011301250128012301040900500700780750650550
650760880970102010501020830800700300500550480350
510620730800850870850780720650500200300350320
370470550600670690670620580450400300100150250
0400800120016002000240028003200360040004400480052005600
试用二维插值求
方向间隔都为10的高程,画出该区域的等高线和三维视图,并求该区域的表面积。
建一个moutain.m文件
x=0:
400:
5600;
y=0:
400;4800;
z=[13501370139014001410960940880800690570430290210150
13701390141014301440114011101050950820690540380300210
138014101430145014701320128012001080940780620460370350
1420143014501480150015501510143013001200980850750550500
143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550
9501190137015001200110015501600155013801070900105011501200
9101090127015001200110013501450120011501010880100010501100
88010601230139015001500140090011001060950870900936950
83098011801320145014204001300700900850810380780750
740880108011301250128012301040900500700780750650550
650760880970102010501020830800700300500550480350
510620730800850870850780720650500200300350320
370470550600670690670620580450400300100150250]
figure
(1);
meshz(x,y,z)
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
xi=0:
10:
5600;
yi=0:
10:
4800;
>>figure
(2)
z1i=interp2(x,y,z,xi,yi','nearest');
surfc(xi,yi,z1i)
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>>figure(3)
z2i=interp2(x,y,z,xi,yi');
surfc(xi,yi,z2i)
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>>figure(4)
z3i=interp2(x,y,z,xi,yi','cubic');
surfc(xi,yi,z3i)
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
figure(5)
subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r');
subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r');
subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');
16.已知矩阵
,
,求二次型
在单位球面
上的最小值。
MATLAB主程序:
>>symsx1x2x3;
>>A=[1,4,5;4,2,6;5,6,3];
>>x=
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