八下三角形的证明教案.docx
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八下三角形的证明教案.docx
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八下三角形的证明教案
1.2直角三角形
(一)
【预习探究】
预习:
1.直角三角形的性质定理与判定:
(1)直角三角形的两锐角________;
(2)有两个角互余的三角形是_______________.
2.勾股定理及其逆定理:
(1)直角三角形的两直角边的__________等于____________________;
(2)如果三角形两边的___________等于第三边的平方,那么这个三角形是_________.
探究:
阅读课本“想一想”,回答下列问题:
(1)互逆命题:
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________和_______,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的____________.
(2)互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为____________,其中一个定理称为另一个定理的____________.
①一个命题是真命题,那么它的逆命题也一定是真命题吗?
③是否任何定理都有逆定理?
④思考我们学过哪些互逆定理?
1.判断
A:
每个命题都有逆命题,每个定理也都有逆定理。
()
B:
命题正确时其逆命题也正确。
()
C:
直角三角形两边分别是3,4,则第三边为5。
()
2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是()
①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5④24、25、7⑤5、8、10
A:
①②④B:
②④⑤C:
①③⑤D:
①③④
3.矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为.
4.△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为______________.
5.已知:
如图1-2-4,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=
.
(1)求DC的长;
(2)求AD的长;(3)求AB的长;
(4)求证:
△ABC是直角三角形.
例1:
如图1-2-8,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:
CD=CB.
例2:
如图1-2-9,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD,
求证:
EB=ED.
例3:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠ABE=∠EBC,CE⊥BD的延长线于点E.
求证:
BD=2CE.
例4:
如图所示,在RtABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,
CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作
EF⊥AC交CD的延长线于F,若EF=5cm.求AF的长.
当堂检测:
1.如图1-2-12,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90
(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是___________.
(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是___________.
2.如图1-2-13,在Rt△ABC和Rt△DCB中,AB=DC,∠A=∠D=90°,
AC与BD交于点O,则有△__________≌△__________,其判定依据
是_______,还有△__________≌△_________,其判定依据是_______.
3.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图1-2-14,那么下列各条件中,不能使
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
4.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是()
A.两条直角边对应相等
B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等
D.一条边和一个角对应相等
5.已知:
如图1-2-15,CD、C′D′分别是Rt△ABC,Rt△A′B′C′斜边上的高,且CB=C′B′,
CD=C′D′.求证:
△ABC≌△A′B′C′.
【预习探究】
预习:
1.什么是线段的垂直平分线?
探究:
“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗?
已知:
求证:
【典例精析】
例1:
如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,
∠ABC的平分线交AD于点O,连接OC,若∠AOC=125°,
求:
∠ABC的度数.
例2:
如图,一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校.
(1)当汽车行驶到哪个位置时,与M、N两学校的距离相等?
(2)当汽车行驶到哪个位置时,与M、N两学校的距离和最短?
例3:
如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.
求证:
AB垂直平分DF.
当堂检测:
1.已知:
线段AB及一点P,PA=PB,则点P在____________________上.
2.已知:
如图,∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则
∠ADC=.
3.△ABC中,∠A=500,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数.
4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
5.如图1-3-5,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,△BCD的周长等于50,求BC的长.
6.有特大城市A及两个小城市B、C,这三个城市共建一个污水处理厂,使得该厂到B、C两城市的距离相等,且使A市到厂的管线最短,试确定污水处理厂的位置.
【预习探究】
预习:
1.等腰三角形的顶点一定在上.
2.在△ABC中,AB、AC的垂直平分线相交于点P,则PA、PB、PC的大小关系是.
3.在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=.
探究:
1.
(1)请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
(2)请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线.再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?
(3)请证明三角形三边的垂直平分线交于一点
定理:
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
结论:
锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内;钝角三角形的三边垂直平分线的交点在外;钝角三角形的三边垂直平分线的交点在;
2.已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
如果能,能作几个?
所作的三角形都全等吗?
【典例精析】
例1:
知底边及底边上的高,求作等腰三角形.
已知:
线段a、h
求作:
△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
例2:
如图,有A、B、C三个工厂,现要建一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求供水站的位置(要求尺规作图,只保留作图痕迹,不写作法).
例3:
如图所示,△ABC是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使CE=CD.
(1)用尺规作图的方法,过D点作DM⊥BE,垂足是M(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:
BM=EM.
当堂检测:
1.判断题:
⑴三角形的任意两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.( )
⑵线段的垂直平分线上的点和这条线段的距离相等.()
⑶三角形三条边的垂直平分线必交于一点()
⑷平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等()
2.若点P为△ABC三边中垂线交点,则PA__________PB__________PC.
3.如图1-3-16,CD与BE互相垂直平分,AD⊥DB,∠BDE=70°,则∠CAD=°.
4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证:
(1)∠EAD=∠EDA;
(2)DF∥AC
(3)∠EAC=∠B
5.如图1-3-18,在等腰△ABC中,AB=AC,将△ABC沿DE折叠,使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处,若BE=BO,求∠ABC的度数.
1.4角平分线
(一)
【预习探究】
预习:
还记得角平分线上的点有什么性质吗?
你是怎样得到的?
你能证明它吗?
探究:
你能写出这个定理的逆命题吗?
它是真命题吗?
如果是,请你证明它.
【典例精析】
例1:
在图1-4-1,用尺规作角的平分线.
已知:
∠AOB
求作:
射线OC,使∠AOC=∠BOC.
例2:
如图1-4-2,已知AD为△ABC的角平分线,∠B=90°,DF⊥AC,垂足为F,DE=DC.
求证BE=CF
例3:
已知:
如图1-4-3,设△ABC的角平分线BM、CN交于P,求证:
P点在∠BAC的平分线上.
引申:
三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=.
当堂检测:
1.如图1-4-5,在△ABC中AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,
则三个结论:
①AS=AR,②QP∥AR,③△BRP≌△QSP中()
A.全部正确B.仅①和②正确
C.仅①正确D.仅①和③正确
2.到三角形三边距离相等的点是()
A.三条中线的交点;B.三条高的交点;C.三条角平分线的交点;D.不能确定
3.在RT△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,DE是是斜边AB的垂直平分线,且DE=1CM,则AC=_______________.
4.△ABC中,∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:
DC=4:
3,则D到AB的距离为.
5.如图1-4-6,在Rt△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BC于E,AB=8cm,求DE+DC.
6.已知:
如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:
EB=FC
1.4角平分线
(二)
【预习探究】
预习:
三角形的角平分线的性质和判定定理的内容是什么?
作用呢?
探究:
已知:
如图,设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P,
求证:
P点在∠BAC的角平分线上.
定理:
三角形的三条角平分线_____________,并且这一点到三条边的距离____________.
【典例精析】
例1:
如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD.
例2:
如图,AB=AC,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E.
求证:
BE+EC=AB.
例3:
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,,点F在AC上,且DF=DB.
求证:
(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
当堂检测:
1.如图1-4-18,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,BE平分∠ABC交AD于E,EF⊥AB,则AB=,BF=;
2.已知:
如图1-4-19,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,若BC=5,则△DEC的周长为.
3.如图1-4-20,△ABC中,∠B=42°,AD⊥BC于D,E是BD上一点,EF⊥AB于F,若ED=EF,则∠AEC的度数为();
A.60°B.62°C.64°D.66°
4.给出下列命题:
1垂直于同一条直线的两直线平行;
2角平分线上的点到角两边的距离相等;
3三角形的三条角平分线相交于一点;
4全等三角形的面积相等;
其中原命题和逆命题都是真命题的共有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图1-4-21,已知:
△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,EF⊥BC交AC于F,连接BF.求证:
BF是∠ABC的平分线.
《三角形的证明》回顾与思考
【预习探究】
自查:
1.已知,等腰三角形的一条边长等于
,另一条边长等于
,则此等腰三角形的周长是()
A.
B.
C.
D.
或
2.命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是______________________.
它是一个______命题。
3.等边三角形ABC中,D为AC的中点,E为BC延长线上一点,且DB=DE,若△ABC的周长为12,则△DCE的周长为___________.
4.如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,则BC长为________
5.如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠B的平分线交BC于E,DE⊥AB于D,BC=8,AC=6,AB=10,则△BDE的周长为_________。
梳理:
1.全等三角形的性质:
全等三角形的.
三角形全等的判定方法有.
2.等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两底角,简写为“”.
②等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简写为“”.
等腰三角形的判定:
①定义:
。
②有相等的三角形是等腰三角形,简写为“”.
等腰三角形两腰上的高、中线,两底角的平分线。
(你会证明吗?
)
3.等边三角形的性质:
等边三角形的相等,相等且都等于º
等边三角形的判定:
①定义:
的三角形是等边三角形;
②的三角形是等边三角形;
③有一个角等于º的等腰三角形是等边三角形.
4.直角三角形的性质:
①直角三角形的两锐角
②勾股定理:
在直角三角形中,两条直角边的等于斜边的;(其逆定理是:
如果三角形中有两边的等于第三边的,那么这个三角形是三角形.)
③直角三角形中30º角所对的直角边等于斜边的;(其逆定理是:
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的,那么这条直角边所对的锐角等于º.)
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的;(其逆定理是:
如果一个三角形一边上的中线等于这边的,那么这个三角形是三角形.)
5.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离.
线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的上。
三角形三边的垂直平分线交于一点,且这个点到的距离相等,交点为三角形的外心.
6.角平分线上的点到角两边的距离.
角平分线的逆定理:
在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的上.
三角形三条角平分线交于一点,并且这个点到的距离相等,交点为三角形的内心。
7.反证法:
在证明时,先假设命题的不成立,然后推出与定义、定理、公理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立的证明方法叫.
8.互逆命题:
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和,那么这两个命题称为;其中一个命题是另一个命题的.
9.互逆定理:
两个互逆命题经过证明都是真命题时,称它们为.
【典例精析】
例1:
在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC
[1]上述四个条件中,哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出)
[2]选择第[1]小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角
例2:
如图3,已知P,O是线段CD垂直平分线上的点,A,B分别是射线OC,OD上的点,且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证:
(1)OC=OD,
(2)OP平分∠AOB
例3:
如图4,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶
点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点
A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,
延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
当堂检测:
1.等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________
2.如左下图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,
如果AC=3cm,那么AE+DE等于_________
3.下列命题中是真命题的是()
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截,截得的同位角相等
4.在三角形内部,有一个点P到三角形三个顶点的距离相等,那么P点一定是()
A.这个三角形的三条边的垂直平分线的交点。
B.这个三角形三条中线的交点。
C.这个三角形三角角平分线的交点
D.这个三角形三条高的交点
5.如图5,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D.
求证:
①OC=OD;②OP是CD的垂直平分线
6.如图7,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点.
求△PEB的周长的最小值.
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