平行四边形矩形菱形正方形的判定.docx
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平行四边形矩形菱形正方形的判定
平行四边形;矩形-菱形-正方形的判定
平行四边形;矩形,菱形,正方形的判定
学习目标:
知识与技能目标:
1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理;
2.能够运用判定定理进行有关的计算和证明;
3.了解反证法的定义。
情感与态度目标:
通过观察归纳,类比,推理,体会数学活动中所蕴含的探索性和创造性,证明过程的严谨性和结论的确定性。
二.重点:
平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理
三.难点:
平行四边形、矩形、菱形、正方形判定在实际生活中的应用
四.教学过程:
(一)知识梳理:
知识点1:
平行四边形的判定
(I)文字语言:
方法1:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
方法2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
方法3:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
方法4:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
方法5:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
(II)数学语言:
∵AB//CD,AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC=BD
∴菱形ABCD是正方形
4.在矩形ABCD中
∵AC⊥BD
∴矩形ABCD是正方形
(二)实践探究
例1.求证:
一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
解:
已知,如图,四边形ABCD中,AB//CD,∠B=∠D。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
证明:
连接AC
∵AB//CD∴∠1=∠2
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA(AAS)
∴AB=CD
又∵AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
例2.已知:
在四边形ABCD中,BE=DF,AC和EF互相平分于O,∠B=90°。
求证:
四边形ABCD是矩形。
证明:
∵EF和AC互相平分
∴OA=OC,OF=OE
∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(SAS)
∴AE=CF,∠OAE=∠OCF
∴AB//CD
又∵BE=DF
∴AE+EB=DF+CF
即AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
例3.已知:
如图,过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH,与平行四边形ABCD各边相交于点E、F、G、H。
求证:
四边形EFGH是菱形。
证明:
在平行四边形ABCD中
∵OD=OB,OA=OC,AD//CB
∴∠OBG=∠ODE
又∵∠BOG=∠DOE
∴△OBG≌△ODE
∴OE=OG
同理:
△OAF≌△OCH∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EG⊥FH
∴平行四边形EFGH是菱形
例4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线,DE//AC交BC于E,DF//BC交AC于F。
求证:
四边形CEDF是正方形。
证明:
∵DE//AC,DF//BC
∴四边形CEDF是平行四边形
∵∠ACB=90°
∴平行四边形CEDF是矩形
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD是∠ACB的平分线
∴DE=DF
∴矩形CEDF是正方形
例5.已知:
将矩形ABCD沿EF折成如图所示的图形,D’F与BE相交于点G,延长C’E交AD于H,连接GH。
求证:
EF与GH互相垂直平分。
证明:
先证四边形FGEH是平行四边形
再证:
∠EFG=∠EFH=∠FEG
所以四边形FGEH是菱形
∴EF与GH互相垂直平分
(三)课堂小结:
1.本节学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法,灵活地应用这些方法解决问题是学习本节的关键。
2.本节学习中要注意比较,类比,它是全面灵活应用的前提条件。
【模拟试题】(答题时间:
20分钟)
1.已知AD//BC,要使四边形ABCD成为平行四边形,需要增加一个条件。
例如:
AB//DC,除此之外,你还可以添加的条件是________________________(至少写出两种)
2.爱动脑筋的小丽同学,为检验四边形桌面ABCD是否为矩形(如图),她用三角尺量了∠B=∠D=90°,用刻度尺量了AB=CD,就判断四边形桌面ABCD是矩形,请你说明道理。
3.已知:
BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线且交AB于点E,交BC于点F。
求证:
四边形BFDE是菱形。
4.将一张矩形的纸片ABCD先折出一条对角线AC,再将点A与点C重合折出折痕EF,最后分别沿AE,CF折叠,这样得到四边形AECF是什么样的四边形?
试证明你的猜想。
5.如图,将矩形纸片ABCD的一角折叠,使宽CD落在长AD上,若将其余三个角也像这样折叠后,再将矩形纸片展平,得到4条折痕,它们相交于H,E,F,G。
猜想4条折痕所围成的四边形是什么样的四边形?
并证明你的猜想。
【试题答案】
1.AD=BC或∠B=∠D
2.道理如下:
连接AC可以证明Rt△ABC≌Rt△CDA
∴∠BAC=∠DCA
∴AB//CD
又∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
3.证明:
∵EF是BD的垂直平分线
∴EB=ED
∴∠EBD=∠EDB
同理∠FBD=∠FDB
又∵BD平分∠ABC
∴∠EBD=∠FBD
∴∠FBD=∠EDB∠EBD=∠FDB
∴BF//DE,BE//DF
∴四边形BFDE是平行四边形
又∵BE=ED
∴平行四边形BFDE是菱形
4.解:
四边形AECF是菱形
证明:
∵A、C关于折痕EF对称
∴EF垂直平分AC
∴EA=EC,FA=FC
∴∠1=∠3,∠2=∠4
又∵AD//BC∴∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3=∠4
∴AE//FC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EA=EC
∴平行四边形AECF是菱形
5.解:
四边形EFGH是正方形
证明:
∵M、C关于DP对称
∴DM=DC∴∠DMC=∠DCM
∵∠DMC=∠BCM
∴∠BCM=∠DCM=45°
∴∠DGC=90°
同理:
∠GHE=∠HEF=∠EFG=90°
∴四边形EFGH是矩形
很容易证明△BEQ≌△CGP
∴EQ=GP
又∵FP=FQ∴FE=FG
∴矩形EFGH是正方形
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- 平行四边形 矩形 菱形 正方形 判定