保险精算课后习题答案.docx
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保险精算课后习题答案
保险精算课后习题答案
【篇一:
保险精算李秀芳1-5章习题答案】
给出生存函数s?
x?
?
e
?
x22500
,求:
(1)人在50岁~60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
p(50?
x?
60)?
s?
50?
?
s(60)
10q50?
s?
50?
?
s(60)
s(50)
p(x?
70)?
s(70)
s?
70?
s(50)
3/2
20p50?
2.已知生存函数s(x)=1000-x,0≤x≤100,求
(1)f(x)
(2)f(x)(3)ft(t)(4)ft(f)(5)e(x)
3.已知pr[5<t(60)≤6]=0.1895,pr[t(60)>5]=0.92094,求q65。
5|q60?
s?
65?
?
s(66)s?
65?
?
0.1895,5p60?
?
0.92094
s(60)s(60)
s?
65?
?
s(66)
?
q65?
?
0.2058
s(65)
=0.70740/0.86786=0.81511
5.给出45岁人的取整余命分布如下表:
求:
1)45岁的人在5年内死亡的概率;2)48岁的人在3年内死亡的概率;3)50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q45=(0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120)=0.04
6.这题soeasy就自己算吧
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体,根据本章中的生命表计算(取整)
q80?
d80l80?
l81
?
?
0.07l80l80d80l80?
l81
?
?
0.07l80l80
q80?
9.q60?
0.015,q61?
0.017,q62?
0.020,计算概率2p61,2|q60.
2
p61=(1-q61)(1-q62)=0.963342|q60=2p61.q62=0.01937
10.设某群体的初始人数为3000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。
求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
s(20)?
d1?
?
?
d20d?
?
?
d21d?
?
?
d22
?
0.92,s(21)?
1?
0.915,s(22)?
1?
0.909
l0l0l0
13.设l0?
1000,l1?
990,l2?
980,…,l99?
10,l100?
0,求:
1)人在70岁至80岁之间死亡的概率;2)30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率;3)30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
24.答:
当年龄很小时,性别差异导致的死亡率差异基本不存在,因此此时不能用年龄倒退法。
27.
28.设选择期为10岁,请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为s?
x?
?
1?
1
x
(0≤x≤100),年利率i=0.10,计算(保险金额为1元):
(1)趸缴100
s(x)?
1?
xs?
(x?
t)1?
tpx?
?
x?
t?
?
?
100s(x)100?
x
100
30:
?
?
vttpx?
?
x?
tdt?
?
10
10
?
1?
1
dt?
0.092?
?
1.170?
?
10
10
t
22t2
var(z)?
230:
?
()?
vp?
?
dt?
0.092?
?
txx?
t?
1030:
10
?
1?
1
dt?
0.0922?
0.055?
?
?
1.21?
70
t
【篇二:
保险精算第1章习题答案(人民大学出版社)】
.已知a?
t?
?
at?
b,如果在0时投资100元,能在时刻5积累到180元,试确定在时刻
2
5投资300元,在时刻8的积累值。
解:
2
a(0)?
k.a(0)?
100(a?
0?
b)?
100或者由a(0)?
1
得b?
1
a(5)?
100?
a(5)?
100(a?
5?
1)?
180
2
得a?
0.032
以第5期为初始期,则第8期相当于第三期,则对应的积累值为:
a(3)?
300?
(0.032?
3?
1)?
386.4
2
2.
(1)假设a(t)=100+10t,试确定i1,i3,i5。
(2)假设a?
n?
?
100?
?
1.1?
,试确定i1,i3,i5。
;
;
。
(2)a(0)=100
;
;
;
;
。
3.已知投资500元,3年后得到120元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
解:
单利条件下:
得;
则投资800元在5年后的积累值:
在复利条件下:
得
则投资800元在5年后的积累值:
。
;
;
。
;
;
n
4.已知某笔投资在3年后的积累值为1000元,第1年的利率为i1?
10%,第2年的利率
为i2?
8%,第3年的利率为i3?
6%,求该笔投资的原始金额。
解:
得元。
5.确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
解:
(1
)(2
)
得
10000元在第3年年末的积累值为:
6.设m>1,按从大到小的次序排列
,解:
,所以,。
,在,在
的条件下可得的条件下可得对其求一阶导数得
,,
与。
元
元
。
。
得
。
。
对其求一阶导数,同理得
由于
综上得:
7.如果?
t?
0.01t,求10000元在第12年年末的积累值。
解:
,所以
,同理可得
元
8.已知第1年的实际利率为10%,第2年的实际贴现率为8%,第3年的每季度计息的年名义利率为6%,第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%,求一常数实际利率,使它等价于这4年的投资利率。
解:
注意利用如下关系:
则根据上述关系可得:
则
从而得。
t6
解:
两边取对数:
得
。
积累,在时刻
10.基金x中的投资以利息强度?
t?
0.01t?
0.1(0≤t≤20),基金y中的投资以年实际利率i积累;现分别投资1元,则基金x和基金y在第20年年末的积累值相等,求第3年年末基金y的积累值。
解:
得
则元。
11.某人1999年初借款3万元,按每年计息3次的年名义利率6%投资,到2004年末的积累值为()万元。
a.7.19b.4.04c.3.31d.5.21解:
,所以上述答案均不正确。
12.甲向银行借款1万元,每年计息两次的名义利率为6%,甲第2年末还款4000元,则此次还款后所余本金部分为()元。
a.7225b.7213c.7136d.6987
解:
,所以减去4000后的余额为答案a。
【篇三:
保险精算练习题】
class=txt>
(2)(3)i⑴,⑵i,⑶d。
i
(2)
)?
1200;所以i
(2)?
?
0.4解:
⑴1000?
(1?
2
i
(2)2
);所以i?
0.44⑵1?
i?
(1?
2
(n)
i(m)md?
1?
n(1?
)?
1?
i?
(1?
d)?
(1?
)⑶;
mn
d(3)3?
1(3)(1?
)?
(1?
i)?
0.34335所以,;d3
5.当n
?
1时,证明:
d?
d
(n)
?
?
?
i
(n)
?
i。
?
1?
d(n)所以得到,
(n)
d?
d证明:
①
(n)
d(n)nd(n)2d(n)301d23
)?
cn?
1?
cn?
?
cn?
()?
cn?
()?
?
因为,1?
d?
(1?
nnnn
d?
d(n);
(n)
d?
?
②
?
m
d
(n)
?
m(1?
e
?
);e
?
?
m
?
1?
?
c?
()?
c?
()?
c?
()?
?
?
1?
mmmmm
?
2
n
?
2
3n
?
3
4n
?
4
?
所以,
d
(n)
?
m[1?
(1?
?
m
)]?
?
③
?
?
i(n)
?
所以,
i(n)i(n)n
)?
ln(1?
i)?
?
[1?
]?
1?
i,即,n?
ln(1?
nn
?
i(n)?
n?
(en?
1)
)4?
?
?
1?
en?
1?
?
m
2
?
cn?
(
?
m
3
)2?
cn?
(
?
m
4
)3?
cn?
(
?
m
?
m
i(n)?
n[(1?
)?
1]?
?
n
④
?
i(n)?
i
(n)
(n)(n)(n)iiin0122(n)in
[1?
]?
c?
1?
c?
?
c?
()?
?
?
1?
i[1?
]?
1?
i,nnn
nnnn
所以,
i
(n)
?
i
6.证明下列等式成立,并进行直观解释:
m
a?
a?
van⑴m?
nm
;
解:
am?
n
?
1?
v
i
m?
n
,
am
1?
vm?
i
nmm?
n
1?
vv?
vmm
va?
v?
,n
ii
mmm?
n
1?
v?
v?
vm
a?
van?
?
am?
n
所以,m
i
m
a?
a?
vsn⑵m?
nm
;
解:
am?
n
1?
vm?
n
?
i
,am
1?
vm?
i
vm?
vm?
n
,?
vsn?
i
m
mmm?
n
1?
v?
v?
vm
a?
vsn?
?
am?
n所以,m
i
⑶
sm?
n?
sm?
(1?
i)an
m
;
nm?
nm(1?
i)m?
1(1?
i)?
(1?
i)mm(1?
i)?
1s?
?
解:
m,(1?
i)sn?
(1?
i)
iii
mm?
nm
(1?
i)?
1?
(1?
i)?
(1?
i)m
s?
(1?
i)an?
?
sm?
n
所以,m
i
m
s?
s?
(1?
i)a⑷m?
nmn
解:
(同上题)略。
。
7.某人今年30岁,其计划每年初存300元,共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额,共能领取20年。
假设存款利率在前十年为6%,后20年为12%,求每年能取的养老金额。
10
(1?
i1)10?
1(1?
i)?
1202?
?
(1?
i2)?
i1i2
解:
30
s
?
s10?
(1?
i2)20?
s20
所以60岁时存款有由此知,
300?
s30?
59759.5(元)
,可得x=7774.12(元)
x?
a20?
s20
8.某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。
从存入最后一笔款后的第2年起,每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工,这种奖励形式将永远持续下去。
假设存款的利率为8%,求每次能够提取的最大金额。
1
x?
a?
x?
?
5000?
s20?
228809.82。
所以x解:
?
i
?
18304.79(元)
10.假设每年第一年收付200元,以后每隔一年增加收付100元,增加到一次收付1000元时不在增加,并一直保持每年1000元的水平连续收付。
假设年利率为12%,求这一年金的现值。
a?
100a1?
100(ia)9?
1000a?
解:
?
100(1?
i)?
100
?
1
?
8?
8(1?
i)?
8a
i
lx
1000(900)750(600)300(120)0
19
?
1000?
?
v?
4362.94
i
px
0.9(5/6)0.8(0.5)(0.4)(0)
1.依据生命表的基础填充下表:
x
0123456
dx
100(150)(150)(300)(180)(120)
qx
0.1(1/6)(0.2)(0.5)0.6
(1)
x
),计算:
3.已知lx?
1000(1?
120
⑴
l0,l120,d33,20p30,30q20;
⑵25岁的人至少再活20,最多活25年的概率;⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。
1200
)?
0)?
1000;l120?
1000(1?
解:
⑴l0?
1000(1?
120120
d33?
l33?
l34?
1000?
125
?
1203
l20?
l50l507
q?
?
0.3?
;302020p30?
l20l309
l45?
l501
q?
?
⑵20525
l2519
l80383
p?
()?
()?
0.074646449⑶5525
l2519
4.若lx?
100000(
c?
x
),l35?
44000,求:
⑴c的值;⑵生命表中的最大年龄;⑶从出生存活到50岁的概
c?
x
?
?
90
率;⑷15岁的人在40~50岁之间死亡的概率。
解:
⑴
l35
90?
xc?
35)?
0?
100000()?
44000。
所以,c=90⑵lx?
100000(
,所以,⑶
c?
35
90?
xl504
l40?
l5050p0?
l?
⑷2510q15?
013
l?
2。
1535.证明并作直观解释:
⑴
nm
qx?
npx?
n?
mpx;
?
lx?
n?
lx?
n?
m证明:
nmqxl?
lx?
n?
lx?
n?
m
?
npx?
n?
mpxxlxlx
⑵
n
qx?
npx?
qx?
n;
l证明:
x?
n?
lx?
n?
1nqx?
l?
lx?
n?
lx?
nl?
lx?
n?
1
?
npx?
qx?
n
xlxxlx?
n
⑶
n?
m
px?
npx?
mpx?
n
。
lx?
证明:
n?
m
pn?
ml?
lx?
n?
lx?
n?
m
x?
?
npx?
mpx?
n
xlxlx?
n
6.证明:
?
?
x
⑴
?
lx?
t?
x?
tdt?
lx
;⑵
?
?
?
x
t
p?
x?
x?
tdt?
1;⑶?
x
tpx?
tpx?
(?
x?
?
x?
t);?
?
t
tpx?
?
tpx?
?
x?
t。
x
证明:
⑴
?
?
?
0
lx?
t?
x?
tdt?
lx?
0?
lx?
?
?
x?
lx?
l?
?
lx
?
?
x
?
1
t
p?
?
?
x
l⑵
?
x?
t?
10
x?
x?
tdt?
0
ldl?
?
1?
?
?
x
x?
t1dlx?
t?
l?
(lx?
?
?
x?
lx)?
1;xlx?
tlx?
0
x
?
?
xtpx
?
?
?
x(lx?
t
l)?
dlx?
t?
lx?
dlx?
lx?
t⑶
x(lx)2
?
dlx?
tl?
dlx?
t?
lx?
tdldlx
l(x?
t?
)?
tpx?
(?
x?
?
x?
t)xlxxlx?
tlx
⑷
dlx?
tlx?
tdlx?
t?
?
lx?
t
()?
?
?
?
?
tpx?
?
x?
t。
tpx?
?
⑷
?
t?
xlxlxlxlx?
t
8.若40
l
?
7746,l41?
7681,计算?
401:
4
⑴死亡均匀分布假设;⑵鲍德希假设;⑶假设x解:
⑴?
l?
?
x
401
4
?
?
q40
?
0.008409068;
1?
t?
q40
?
⑵
40
14
?
?
⑶
?
tpx?
e?
?
?
t可令t?
1,px?
l41
?
e?
?
l40
?
40
14
qx
?
?
0.008444573。
1?
(1?
t)qx
?
?
?
0.008426834
9.证明在鲍德希规律下,x
q
n与n无关。
?
s(x)?
1?
证明:
n
x
?
s(x?
n)?
s(x?
n?
1)1qx?
?
s(x)?
?
x
所以,x
q
n与n无关。
1某人10岁买了定期生存保险,这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金,以附表2转换函数值计算这一年金现值。
?
88a10?
解:
2000
n10?
8?
1?
n10?
8?
8?
1
?
2000?
0.22775?
455.5(元)
n10
2.证明下列等式成立,并解释其含义。
nx?
1
?
?
ax?
vpxax?
1;证明:
ax?
⑴
dx
⑵
nx?
dx
?
?
x?
1?
vpxa?
?
x?
1?
?
a
dx
?
?
x?
1?
vpxa?
?
x?
1所以,a?
?
x?
1?
vpxa?
?
x?
1;证明:
aa?
?
x?
1?
vpxa?
?
x?
1
?
?
x:
n?
ax:
n?
(1?
nex);证明:
a
ax:
n?
(1?
nex)?
?
nx?
1?
nx?
n?
1dn?
d?
(nx?
n?
1?
dx?
n)
?
(1?
x?
n)?
x?
1x
dxdxdx
nx?
nx?
n
?
?
x:
n?
a
dx
⑶
⑷
n
ax?
v?
npx?
ax?
n;
n
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