全等三角形轴対称教案.docx
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全等三角形轴対称教案
§11.1全等三角形
教学目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
教学重点:
全等三角形的性质.
教学难点:
找全等三角形的对应边、对应角.
教学过程
学生自主预习获取概念
让学生用自己的语言叙述:
全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边,以及有关的数学符号.
导入新课
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
不难得出:
△ABC≌△DEF,△ABC≌△DBC,△ABC≌△AED.
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?
对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
得到全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.
[例1]如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
问题:
△OCA≌△OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使两三角形重合?
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点,所以C和B重合,A和D重合.
∠C=∠B;∠A=∠D;∠AOC=∠DOB.AC=DB;OA=OD;OC=OB.
总结:
两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.
[例2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
分析:
对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来.
根据位置元素来找:
有相等元素,它们就是对应元素,然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.
解:
对应角为∠BAE和∠CAD.
对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD.
[例3]已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.(由学生讨论完成)
借鉴例2的方法,可以发现∠A=∠A,在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角,∠ACB与∠AED是对应角.所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED.
做法二:
沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后,它正好和△ADE重合.这时就可找到对应边为:
AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED.
Ⅲ.课堂练习
课本P4练习1.课本P4习题11.1复习巩固1.
Ⅳ.课时小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.
找对应元素的常用方法有两种:
(一)从运动角度看
1.翻转法:
找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
2.旋转法:
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
3.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(二)根据位置元素来推理
1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.
2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
Ⅴ.作业:
课本P4习题11.1、复习巩固2、综合运用3.
§11.2三角形全等的判定
(一)
教学目标
1.三角形全等的“边边边”的条件.2.作一个叫等于已知角.
3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
教学重点:
三角形全等的条件.
教学难点:
寻求三角形全等的条件.
教学过程
Ⅰ.创设情境,引入新课
出示,回忆前面研究过的全等三角形.已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.图中相等的边是:
AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
展示课作前准备的三角形纸片,提出问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
(可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).
这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我们就来探究这个问题.
Ⅱ.导入新课
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°,一条边为3cm.②三角形两内角分别为30°和50°.③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:
一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:
有四种可能.即:
三内角、三条边、两边一内角、两内角一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.作图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.
3.特殊的三角形有这样的规律,要是任意画一个三角形ABC,根据前面作法,同样可以作出一个三角形A′B′C′,使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′.将△A′B′C′剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.
[例]如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证:
△ABD≌△ACD.
[师生共析]要证△ABD≌△ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
因为D是BC的中点
所以BD=DC
在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD(SSS).
Ⅲ.随堂练习
如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
2.课本P8练习.
Ⅳ.课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
Ⅴ.作业1.习题11.2复习巩固1、2.习题116.2综合运用9.
§11.2三角形全等的判定
(二)
教学目标
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.掌握三角形全等的“SAS”条件。
4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
教学重点:
三角形全等的条件.
教学难点:
寻求三角形全等的条件.
教学过程
一、创设情境,复习提问
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么?
二、导入新课
1.三角形全等的判定
(二)
(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么,怎样才能判定两个三角形全等呢?
也就是说,具备什么条件的两个三角形能全等?
是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”?
现在我们用图形变换的方法研究下面的问题:
如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,
∠AOB=∠COD,
BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
(此外,还可以图1
(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数,也将与△ABD重合.图1
(2)中的△ABC绕着点A旋转,使AB与AE重合,再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°.两个三角形也可重合)
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
2.上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
3.边角边公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
三、例题与练习
1.填空:
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________(这个条件可以证得吗?
).
2、例1已知:
AD∥BC,AD=CB(图3).
求证:
△ADC≌△CBA.
问题:
如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件(AF=CE或AE=CF)?
怎样证明呢?
例2已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
四、小结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
五、作业:
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
§11.2三角形全等的判定(三)
教学目标
1.三角形全等的条件:
角边角、角角边.
2.三角形全等条件小结.
3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
教学重点:
已知两角一边的三角形全等探究.
教学难点:
灵活运用三角形全等条件证明.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
Ⅱ.导入新课
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题2:
三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
问题3:
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A′B′,使A′B′=AB.
③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
④射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.
将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
探究问题4:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[例]如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
证明:
在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
Ⅲ.随堂练习
(一)课本P13练习1、2.
(二)补充练习
图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
答案:
图
(1)中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB.图
(2)由“AAS”可证得△ACE≌△BDC.
Ⅳ.课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
Ⅴ.作业
1.课本习题11.2─5、6、11题.
§11.2三角形全等的判定---直角三角形全等的判定(四)
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点:
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点:
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学过程
Ⅰ.提出问题,复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,
斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
Ⅱ.导入新课
(一)探索练习:
(动手操作):
已知线段a,c(a 利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠ , AB=c,CB=a 1、按步骤作图: ac 1 作∠MCN=∠ =90°, 2在射线CM上截取线段CB=a, ③以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A, ④连结AB 2、与同桌重叠比较,是否重合? 3、从中你发现了什么? 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL) (二)巩固练习: 1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高, 则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”) 根据(用简写法) 2.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F, (1)若AC//DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF, 根据 (2)若AC//DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF, 根据 (3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF, 根据 (4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。 则△ACE≌△BDF, 根据 (5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF, 根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有() (A)两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等 (C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等 4、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E, AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗? 说说你的理由 答: 理由: ∵AF⊥BC,DE⊥BC(已知) ∴∠AFB=∠DEC=°(垂直的定义) 在Rt△和Rt△中 ∴≌() ∴∠=∠() ∴(内错角相等,两直线平行) 5、如图,广场上有两根旗杆,已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的,那么这两根旗杆高度相等吗? 说说你的理由。 (三)提高练习: 1、判断题: (1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。 () (2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等() (3)一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等() (4)两直角边对应相等的两个直角三角形全等() (5)两边对应相等的两个直角三角形全等() (6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等() (7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等() (8)一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等() 2、如图,∠D=∠C=90°,请你再添加一个条件,使△ABD≌△BAC,并在 添加的条件后的()内写出判定全等的依据。 (1)() (2)() (3)() (4)() 课时小结 至此,我们有六种判定三角形全等的方法: 1.全等三角形的定义2.边边边(SSS)3.边角边(SAS) 4.角边角(ASA)5.角角边(AAS)6.HL(仅用在直角三角形中) 作业: 课本习题13.210、12题. §11.3角的平分线的性质 (一) 教学目标 1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理. 2.会用尺规作一个已知角的平分线. 教学重点: 利用尺规作已知角的平分线. 教学难点: 角的平分线的作图方法的提炼. 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 问题1: 三角形中有哪些重要线段. 问题2: 你能作出这些线段吗? Ⅱ.导入新课 议一议: 下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB. ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了. 看看条件够不够. 所以△ABC≌△ADC(SSS). 所以∠CAD=∠CAB. 即射线AC就是∠DAB的平分线. 作已知角的平分线的方法: 已知: ∠AOB. 求作: ∠AOB的平分线. 作法: (1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N. (2)分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C. (3)作射线OC,射线OC即为所求. 议一议: 1.在上面作法的第二步中,去掉“大于 MN的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗? 总结: 1.去掉“大于 MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线. 2.若分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可. 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明. 练一练: 任意画一角∠AOB,作它的平分线. 探索活动 按以下步骤折纸 1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。 把角A对折,使得这个角的两边重合。 2、在折痕(即平分线)上任意找一点C, 3、过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足。 4、将纸打开,新的折痕与OB边交点为E。 角平分线的性质: 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 下面用我们学过的知识证明发现: 如图,已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。 求证: OE=OD Ⅲ.随堂练习 课本P106练习. 练后总结: 平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD,直线CD与AB也垂直. Ⅳ.课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质. Ⅴ.课后作业 1.课本P22习题11.3─1、2. 课后反思 §11.3角的平分线的性质 (二) 教学目标 1、角的平分线的性质 2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”. 3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题. 教学重点: 角平分线的性质及
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