中考数学解题策略研究之捆绑原理瓜豆原则.docx
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中考数学解题策略研究之捆绑原理瓜豆原则
中考数学解题策略研究之捆绑原理瓜豆原则
随着中考愈来愈近,各地一模也已相继结束,本文拟以本地区刚刚结束的一模试卷上填空压轴题为例,谈谈“整体与局部”的处理策略,即所谓“捆绑原理”的巧妙应用,尤其是图形的三大变换(平移、翻折、旋转)与“捆绑思想”的巧妙结合,其本质到最后又会回到所谓“瓜豆原理”上来,最后再以一道中考题深入探究下所谓“种瓜得瓜、种豆地豆”之“瓜豆原理”!
题1如图1,点C在以AB为直径的半圆上,AB=4,AC=4.点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,作DF⊥DE交EC的延长线于点F.当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是____________.
一、“审”:
遇到任何一道题目,第一步永远都是“审题”!
“审题”时,有时只需要抓题目中的关键数据,因为数学题就是跟数字打交道的;而有的时候,还需“咬文嚼字”,尤其是搞明白题目问的是什么,不要总是做“答非所问”之“蠢事”,这也正是避免一些易错题、一些反复做反复错的题的重要方法与策略!
而笔者认为,以不变应万变的抓不变量策略既是一种重要的解题策略,也是一种基本的审题策略!
尤其是在一些动态问题中,可以这样说,所有变化的元素几乎都是在不变的背景下或者说不变的“框架”下运动着,所以首先应该研究这些不变的背景,找到这些确定的“不变量”,甚至还要去发现这些不变的元素背后可能隐藏着的一些特殊性或者“巧合性”,而这些特殊的巧合性很有可能就是解题的突破口或者关键所在!
拿本题来说,如图1-1所示,这里的Rt△ABC及半圆O就是整个题目不变的大背景,接下来所有变化的元素都是在这个不变的“框架”下运动的;
接下来,如图1-2,有一个动点D在直径AB上从起点A向终点B运动,即动点D的轨迹为直径AB,这是整个题目中首个动点,后续的变化的元素都是在动点A的基础上运动着的,因而可以称动点D为“主动点”,后续的动点可称之为“从动点”或者“被动点”;
如图1-3所示,“从动点”E是由“主动点D”关于定边AC对称过去的,点E随着点D的运动而运动,也随着点D的确定而确定!
这是初步的审题关,其实这儿还“大有文章”可做,不着急,我们留在下一步“思”中,这也会是本文的主旨!
点E是本题中的第二个动点,也是第一个所谓“从动点”,接下来我们研究最后的一个动点,即“从动点”F,简要分析它是如何运动的,运动中又有哪些不变量或不变关系;
如图1-4,按题目交代的字面意思理解,点F是过点D的DE的垂线与EC的延长线的交点,有垂直就有直角三角形,即点F是Rt△DEF的一个顶点,很明显它也是一个动点,随着点D及点E的运动而运动、确定而确定;
利用对称或折叠问题中“折痕上的点到对应点的距离相等”这一重要结论,容易联想到作辅助线CD,则CD=CE,从而识别到一个重要的基本图形,即“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之逆命题,如图1-5所示,这样可以得到CE=CF,即不管如何运动,点C始终是线段EF的中点,这个重要的“不变关系”也是解决本题的一道“坎”,跨不过去或者说发现不了这个“特殊性”就解不出来;
最后审题这一步中,还可以再简单想一想所求,即“什么是线段EF扫过的面积”?
既然发现了点C始终是EF的中点,其实EF就是相当于在绕着定点C作旋转,而且线段EF扫过的面积应该也等于线段CE扫过的面积的两倍;
这样只需要关注CE扫过的面积即可,将本来“EF双动点扫过的面积问题”顺其自然地转化为了“CE单动点扫过的面积问题”!
这是第一步“审题”,当然如此“审题”可能要求过高了些,但我想若是能如此持之以恒地去审题,或者说当我们解题后反思再如此去审题,相信同学们的审题能力、解题技能一定会有显著的提升!
二、“思”:
“思考”,通俗地说就是“动脑筋想”,这应该是做每一道数学题必经之环节,也是最关键的一步,想通了就有方法了,想不通就无计可施了!
这一步介于审题与解题之间,上呈审题关,只有审好题才有可能想到解决问题的方法与策略;下接解题关,思路有了,剩下就只是书写的问题了!
所以我说“思”是最重要的一步,也是同学们做题时最训练大脑思维的一步,只有做一个“善思者”、“常思者”才有可能学好数学!
思考让我们变得更聪明,就像“刀越用越利、越不用越钝”道理一模一样!
笔者的脑海中始终有这样一个意识,想跟大家分享:
一方面,像上面说的那样,所有的动态问题几乎都是在一个不变的大背景或者说大框架下运动变化的,这就是“抓不变量”的审题策略与解题策略!
另一方面,所有运动的元素,都不可能真如“分子、原子的运动”那样,杂乱无章,无迹可寻;相反,所有运动的元素肯定都是有规律的,是有迹可循的,只不过或“显性”或“隐性”罢了!
拿动点来说,一般其轨迹或者说路径都是确定的,这就是我想表达的“轨迹意识”,同学们在动态问题中一定要树立良好的“轨迹意识”,常常扪心自问,题目中的动点是如何运动的,轨迹是什么等问题!
拿本题来说,“主动点D”的轨迹是明显的,即线段AB,且起点为A,终点为B;那第一个“从动点”E的轨迹又咋样呢?
这就是本题的关键所在,同学们就这样顺其自然地锁定了解题的关键,下面就将目光聚焦在这一点上,即动点E的轨迹在哪?
题目中并未画出动点E的轨迹,说明它藏的较深啊,需要同学们主动去深挖!
要想解决这个问题,也有法可依,即我们应该思考动点E是怎么来的?
显然,动点E是主动点D沿定边AC对称而来!
那恭喜你,接下来,你就应该自然地想到:
你所需的动点E的轨迹应该也是由动点D而来,而且也是如此来,即动点E的轨迹应该也是由主动点D的轨迹沿定边AC对称而来!
这就是解决此题的“钥匙”啊!
上面的思考方式其实就是我反复提及的“因果关系分析法”,执果索因、由因导果、因果循环、妙趣无限!
因为主动点D的轨迹是直径AB,所以只要将直径AB沿定边AC对称过去即为从动点E的轨迹,即动点E的轨迹是一条线段,这是解决本题最重要的突破口;
其实我们可以进一步深思下去,这里体现的就是同学们所熟知的“整体思想”啊!
若将主动点D的轨迹看成是一个整体,其沿定边AC翻折得点E,那么其整体的轨迹AB沿定边AC翻折过去即为动点E的轨迹,如图1-6所示,这一点只要你去想一想,是很容易被接受的!
我们可以称这样的操作(过程)为“捆绑翻折”或称“整体翻折”;
还记得本人作品中曾经提及的“瓜豆原理”(又名“朋成原理”)嘛!
本题若是采用“瓜豆原理”(又名“朋成原理”),几乎是一目了然的事,这也是部分学生脱口而出的,也就是说这个原理对部分学生来说还是很容易理解并接受的!
主动点D的轨迹是一条线段(直径AB),“种瓜得瓜、种豆得豆”立知,主动点经过常见的图形三大变换(平移、翻折和旋转)后得到的从动点E的轨迹肯定也是一条线段!
前者若是其他确定的图形,后者肯定也是同样的全等图形!
注意我这里说的是平移、翻折和旋转变换!
这个道理是很容易想通的,本质就是图形三大变换中的不变性,即变换前后的图形全等啊!
这不就是一个简单的几何证明题嘛,只不过是在动态轨迹问题中呈现出来罢了!
所谓捆绑变换,包含捆绑平移、捆绑翻折、捆绑旋转甚至捆绑位似等,或者我所举的这些捆绑变换的“结合体”,比如“捆绑旋转位似”等,其实本质上都是所谓“瓜豆”之原理!
再拿动点F来试验下:
由前面的审题知,定点C始终是线段EF的中点,即动点F可以看成是动点E绕着定点C旋转180度得到,这样动点F的轨迹必然也是由动点E的轨迹绕着定点C旋转180度得到,如图1-7所示!
最后再锁定终极目标,即线段EF扫过的面积,如图1-8所示,即为阴影部分两个三角形的面积之和;
注意到这两个三角形与初始的Rt△ABC还是特殊的全等关系,从而所求即为Rt△ABC面积的两倍,轻松搞定问题,口算答案为32,GAMEOVER!
三、“解”:
经过了认真的思考后,想到方法就可以去组织语言规范解题了,当然本题想到方法后是简单的口算题,而且还是客观填空题,此步骤略!
四、“变”:
题目解完后,同学们养成一个“解题后反思”的好习惯,不管题目难易程度如何,都值得大家去琢磨!
简单的题目就琢磨其蕴含的基本图形等,难题就想解决的方法与策略等,还是那句话,每道数学题都有其“魂”,找到题目中的“魂”,把握思想与方法,就能达到解一题、会一类、通一片的神奇之效!
,还可以问出哪些问题呢?
变式1:
求动点E或者动点F的轨迹长.
简析:
动点E或者动点F的轨迹长即为直径AB的长4.
变式2:
求线段EF的最小值与最大值.
简析:
线段EF=2CE=2CD,如图1-9,而当CD⊥AB时,CD取最小值;当点D运动到点B处,CD取最大值8;从而线段EF的最值均可求.
变式3:
如图1-10,在原题的基础上,连接OF,求线段OF的最小值与最大值.
简析:
此变式问题,目标是一个“一定一动型”最值问题,解题的关键还是找到动点F的轨迹,如图1-11所示,找到动点F的轨迹后,问题就转化为了“定点O到这条定轨迹线段上的点连线最值问题”,过点O作其轨迹的垂线OF即为最小值,OF1即为最大值;
至于这个最小值、最大值如何求,大家只要用确定性思想来看问题,即可“一眼望穿”,只要将∠OBF的三角函数值求出来,一切就水落石出;
而∠OBF的三角函数值既可以用面积法求,也可以用勾股定理来求,甚至“牛逼的童鞋”还可以用“倍半角”来求,求出后,最小最大值就可一步到位,同时出线,妙哉妙哉!
具体留给同学们用心思考、计算!
变式4:
如图1-12,在原题的基础上,连接OF,求OF+CF的最小值.
简析:
此变式问题,目标是一个“两定一动型”最值问题,解题的关键还是找到动点F的轨迹,如图1-13所示,找到动点F的轨迹后,问题就转化为了“在这条定轨迹线段上找一点F,使OF+CF最小”,这是一个典型的同侧型“将军饮马”问题;
作出定点O关于此轨迹线段的对称点O’,连接O’C,则O’C与此轨迹线段的交点即为所要寻找的点F,此时O’C即为所求最小值;
至于此最小值O’C的长度仍采用“确定性思想”来分析计算:
在图1-13中,分析易知△O’CB有两条边长是确定的,另外推理易知此两边的夹角∠O’BC为定角∠ABC的三倍,从而这个角也是确定的,因此△O’CB是确定的,目标线段O’C可求;
至于怎么求解,关键是锁定∠O’BC的大小,能求出这个角,即求出此角的某个三角函数值,那问题就不难了;
下面重点计算∠O’BC的三角函数值,即3∠ABC的三角函数值,这里有个“三倍角”关系,若是知道高中拓展的“三倍角公式”可轻松搞定,但肯定超纲了,如何寻找合适的初中学生的方法巧妙求解呢?
笔者去尝试解决,还真能搞定,现介绍如下,算是“矩形大法”的一个重要应用!
第四步:
如图1-22所示,过点D作“水平辅助线”构造矩形BCNM,再过点E作“水平辅助线”构造矩形BCHG,首先在第一个构造的矩形BCNM发现阴影部分的“一线三直角”基本模型,这样比例口算出DN=2,AN=4;
第五步:
如图1-23所示,再过点D作“竖直辅助线”构造阴影的另一个“一线三直角”基本模型,再次比例口算出EP=4,PD=3;
第六步:
如图1-24所示,最后锁定Rt△BFG中,∠BFG=∠EBC=3∠ABC即为所求,tan∠BFG=5.5,即tan3∠ABC=5.5;
因此前文图1-13中的tan∠O’BC=5.5,由“SAS”的判定方式确定了目标△O’CB,其未知的第三边想求解出来也不是难事,大家可以继续算下去!
五、“通”:
通过这道题目,大家至少要有两个通解通法的意识!
一是加强轨迹意识:
本题及变式的几个问题中得到动点E与动点F的轨迹是解题的关键!
其实这一步的重要作用是使本来看似无迹可寻的问题变得有迹可循了,使隐藏于背后的轨迹“显性化”,将抽象的问题具体化,这就是轨迹思想的重要作用!
它在很多动态问题中大有用武之地,如轨迹长问题,最值问题等等,需引起高度关注;
二是提及的分析问题的基本方法与策略,即“基于确定性思想的因果关系分析法”也要引起大家的重视,可以说这是在很大范围内都适用的一种基本的思考问题的方式!
还有基于确定性思想,最后引出了一个“二倍角”、“三倍角”三角函数值的“矩形大法”构造巧解,同学们若想研究可以研究一下,以后如果有这方面的需要,直接另起炉灶,构造求解,有一些所谓难题也将极其简单容易!
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