中考数学圆压轴题.docx
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中考数学圆压轴题.docx
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中考数学圆压轴题
.中考数学圆压轴题
1推理运算如图,AB为O直径,CD为弦,且CDAB,垂足为H.
(1)OCD的平分线CE交O于E,连结OE.求证:
E为ADB的中点;
(2)如果O的半径为1,CD3,①求O到弦AC的距离;
C
AB
OH
②填空:
此时圆周上存在个点到直线AC的距离为1.
2
2如图6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点,
CB的延长线交⊙O于点E.
(1)求证AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⊙O的直径;
(3)若CFn(n>0),求sin∠CAB.
CD
3已知:
如图,在半径为
4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,
D
CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连结DE,DE=
15.
(1)求证:
AMMB
EMMC;
A
O
(2)求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.
E
E
MB
C
D
4如图,已知⊙O的直径AB=2,直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点
(与点A、点B不重合),PO的延长线与⊙O相交于点C,过点C的切线与直线m相交于点D.
(1)求证:
△APC∽△COD.
(2)设AP=x,OD=y,试用含x的代数式表示y.
(3)试探索x为何值时,△ACD是一个等边三角形.
C
D
5如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点
A、
与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB.
A
B
O
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AB8cm,BC10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留
π)
6在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB
交AB于点E.
(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:
AC是⊙O的切线;
(2)设⊙O交BC于点F,连结EF,求EF的值.
AC
1/9
.中考数学圆压轴题
7如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运
动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切?
MABN
K
8如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BM平分∠ABC交AC于M,以A为圆心,
AM为半径作⊙A交BM于N,AN的延长线交BC于D,直线AB交⊙A于P、K
A
两点,作MT⊥BC于T.
M
(1)求证:
AK=MT;
P
N
(2)求证:
AD⊥BC;
B
C
BN
AC
D
T
.
(3)当AK=BD时,求证:
BP
BM
(第27题图)
C
F
9
如图,AB为
O的直径,CD
AB于点E,交O于点D,OF
AC于点F.
B
A
O
(1)请写出三条与
BC有关的正确结论;
E
(2)当D30
,BC1时,求圆中阴影部分的面积.
D
A
10
如图,已知
O的直径AB垂直于弦CD于点E,过C点作CG∥AD交AB的延长线
F
于点G,连接CO并延长交AD于点F,且CFAD.
O
C
ED
(1)试问:
CG是O的切线吗?
说明理由;
(2)请证明:
E是OB的中点;
B
(3)若AB
8,求CD的长.
G
(第10题图)
11如图11,⊙P与⊙O相交于A、B两点,⊙P经过圆心O,点C是⊙P的优
弧上任意一点(不与点A、B重合),连结AB、AC、BC、OC。
(1)指出图中与∠ACO相等的一个角;
(2)当点C在⊙P上什么位置时,直线CA与⊙O相切?
请说明理由;
(3)当∠ACB=60°时,两圆半径有怎样的大小关系?
请说明你的理由。
12如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点连结AD、BD.
(1)求证:
∠ADB=∠E;(3分)
(2)当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?
请说明理由.(
3分)
(3)当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径.(4分)
D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,
A
BO
C
E
D
2/9(第12题图)
.中考数学圆压轴题
1
(1)
OC
OE,
E
OCE
····························(1分)
又
OCE
DCE,
E
DCE.
OE∥CD.············································(2分)
又CD
AB,
AOE
BOE
90.
E为ADB的中点.········································(3分)
(2)①
CD
AB,AB为
O的直径,CD
3,
CH
1CD
3.·······································(4分)
2
2
CH
3
3
又OC1
,sin
COB
2
.
OC
1
2
COB
60
,
···········································(5分)
BAC
30.
作OP
AC于P,则OP
1OA
1
.·····························(6分)
22
②3··················································(7分)
2证明:
(1)连接DE,∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°,
∴AE是⊙O直径.·····························(1分)∴∠ADE=90°,∴DE⊥AC.·····················(2分)又∵D是AC的中点,∴DE是AC的垂直平分线.
∴AE=CE.·······························(3分)
(2)在△ADE和△EFA中,
∵∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠FAE,
∴△ADE∽△EFA.·····························(4分)
∴AEAD,
AFAE
∴AE2.······························(5分)
6AE
∴AE=23cm.···········································(6分)(3)∵AE是⊙O直径,EF是⊙O的切线,∴∠ADE=∠AEF=90°,
3/9
.中考数学圆压轴题
∴Rt△ADE∽Rt△EDF.
∴AD
DE.······················(7分)
∵CF
ED
DF
n,AD=CD,∴CF=nCD,∴DF=(1+n)CD,∴DE=1
nCD.···(8分)
CD
在Rt△CDE中,CE2=CD2+DE2=CD2
+(1
nCD)
2=(n+2)CD2.
∴CE=
n2CD.···········································(9分)
∵∠CAB=∠DEC,∴sin∠CAB=sin∠DEC=CD=
1
=
n
2.
(10
CE
n2
n
2
3
解:
⑴连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM.⋯⋯⋯⋯⋯1分
E
又∠AMC=∠EMB,
∴△AMC∽△EMB.
D
∴
EM
MB,即AMMB
EMMC.⋯⋯⋯3分
A
O
M
B
AM
MC
F
(2)
∵DC为⊙O的直径,
C
∴∠DEC=90°,EC=DC2
DE2
82
(
15)2
7.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
设EM=x,则CM=7-x.代入
(1),得62
x(7x).
解得x1=3,x2=4.但EM>MC,∴EM=4.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
(3)
由
(2)
1
OB=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
知,OE=EM=4.作EF⊥OB于F,则OF=MF=
4
在Rt△EOF中,EF=OE2
OF2
42
12
15,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
∴sin∠EOB=EF
15.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
OE
4
4
(1)∵PC是⊙O的直径,CD是⊙O的切线
∠PAC=∠OCD=90°,显然△DOA≌△DOC···················
1
分
∴∠
=∠
······························
2
分
DOA
DOC
∴∠APC=∠COD······························
3
分
△APC∽△COD····························
4
分
(2)由△APC∽△COD,得AP
OC··················
6
分
x
1
2
PC
OD
,
y
7
分
2
y
····························
x
(3)若△ACD是一个等边三角形,则
ADC60,ODC30·······
8
分
于是OD
2OC,可得y
2,x
1
故,当x
1
时,△ACD
是一个等边三角形··················
10
分
5解:
(1)BC所在直线与小圆相切,
理由如下:
过圆心O作OEBC,垂足为E,
4/9
.中考数学圆压轴题
AC是小圆的切线,AB经过圆心O,
OA
AC,又
CO平分
ACB,OEBC.
C
OE
OA.
BC所在直线是小圆的切线.
D
(2)ACBD
BC
E
理由如下:
连接OD.
A
B
AC切小圆O于点A,BC切小圆O于点E,
O
CECA.
在Rt△OAD与Rt△OEB中,
OAOE,ODOB,OADOEB90,
Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)
EB
AD.
BC
CE
EB,
BC
AC
AD.
(3)
BAC
90
,AB
8,BC10,
AC6.
BC
ACAD,
AD
BC
AC4.
圆环的面积S
πOD2
πOA2
π(OD2
OA2)
又OD2
OA2
AD2,S42π16πcm2.
说明:
若第
(1)、
(2)题中结论已证出,但在证明前未作判断的不扣分.
6
(1)证明:
由已知DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆,∴BE是⊙O的直径,点O是BE的中点,连结OD,
························································1分
∵C90,∴DBCBDC90.
又∵BD为∠ABC的平分线,∴ABDDBC.
∵OBOD,∴ABDODB.
∴ODBBDC90,即∴ODC90·························4分
又∵OD是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.························5分
(2)解:
设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,
AB2
BC2
CA2
92
122
225,
∴AB15·····························7分
∵A
A,
ADO
C
90,∴△ADO∽△ACB.
∴AO
OD.∴15r
r.
AB
BC
15
9
45
45
······················10分
∴r
.∴BE
8
4
又∵BE是⊙O的直径.∴
BFE
90
.∴△BEF∽△BAC
5/9
.中考数学圆压轴题
EF
BE
45
3
∴
4
AC
BA
15
.
4
7
解:
(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为
d=11-2t;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当t>5.5时,函数表达式为d=2t-11.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
(2)两圆相切可分为如下四种情况:
①当两圆第一次外切,由题意,可得
11-2t=1+1+t,t=3;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
②当两圆第一次内切,由题意,可得
11-2t=1+t-1,t=11;
⋯⋯⋯⋯⋯
6分
3
③当两圆第二次内切,由题意,可得
2t-11=1+t-1,t=11;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.
所以,点A出发后3秒、11秒、11
秒、13
秒两圆相切.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
3
8证明:
(1)∵BM平分∠ABC,∠BAC=90°,MT⊥BC,
∴AM=MT.又∵AM=AK,∴AK=MT.
(2)
∵BM平分∠ABC,∴∠ABM=∠CBM.
∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM
又∵∠ANM=∠BND,∴∠AMN=∠BND.
∵∠BAC=90°,∴∠ABM+∠AMB=90°
∴∠CBM+∠BND=90°,∴∠BDN=90°.
∴AD⊥BC
(3)
∵BNM和BPK为⊙A的割线,∴BN·BM=BP·BK,∴
BN
BK
BP
BM
∵AK=BD,AK=MT,∴BD=MT
∵AD⊥BC,MT⊥BC,∴∠ADB=∠MTC=90°,∴∠C+∠CMT=90°
∵∠BAC=90°,∴∠C+∠ABC=90°,∴∠ABC=∠CMT
在△ABD和△CMT中,
ABDCMT
BDMT
ADBCTM
∴△ABD≌△CMT,∴AB=MC
∵AK=AM,∴AB+AK=MC+AM,即BK=AC
∴BNAC
BPBM
9解:
(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:
①BC
BD;②OF∥BC;③
BCD
A;④△BCE∽△OAF;⑤BC2
BEAB;⑥BC2
CE2
BE2
;
⑦△ABC是直角三角形;⑧△BCD是等腰三角形.·············
3分
(2)连结OC,则OC
OA
OB.
D
30,
A
D
30,
AOC
120.·4分
C
F
AB为
O的直径,
ACB
90.
A
B
O
E
在Rt△ABC中,BC
1,
AB
2
,AC
3.··5分
OF
AC,
AF
CF.
D
6/9
.中考数学圆压轴题
OA
OB,
OF是△ABC的中位线.
OF
1BC
1
.
2
2
S△AOC
1ACOF
1
3
1
3.··················
6分
2
2
2
4
S扇形AOC
1
OA2
.·························
7分
3
3
S阴影
S扇形AOCS△AOC
3
3.····················
8分
4
10
(1)解:
CG是
O的切线······················
1分
理由:
CG∥AD
FCGCFD180
CFAD
CFD90
FCG90
即OCCG.
CG是
O的切线.···························
2分
(2)第一种方法:
A
证明:
连接AC,如图(第
19题图1)
CF
AD,AE
CD
F
且CF,AE过圆心O
O
AC
AD,AC
CD
C
E
D
AC
ADCD
B
△ACD是等边三角形.
·············3分
D
60
G
(第19题图1)
FCD30······························
4分
在Rt△COE中,
OE
1OC
2
OE
1OB
2
点E为OB的中点····························
5分
第二种方法:
A
证明:
连接BD,如图(第
19题图2)
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