第9讲正多边形和圆与圆中的计算答案版.docx
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第9讲正多边形和圆与圆中的计算答案版
9
正多边形和圆与
圆中的计算
秋季班第一讲
暑期班第九讲
圆4级
圆中三大
基本定理
圆3级
正多边形和圆
与圆中的计算
圆2级
与圆有关
的位置关系
暑期班第八讲
脑筋急转弯…
中考内容
中考要求
A
B
C
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
会过不在同一直线上的三点作圆;能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性,了解弧、弦、圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题
能运用圆的性质解决有关问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系;知道直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数,能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题
垂径定理
会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论
能用垂径定理解决有关问题
点与圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系;了解切线的概念,理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线;了解切线长的概念
能判定直线和圆的位置关系;会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问题
能解决与切线有关的问题
圆与圆的位置关系
了解圆与圆的位置关系
能利用圆与圆的位置关系解决简单问题
弧长
会计算弧长
能利用弧长解决有关问题
扇形
会计算扇形面积
能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积
会求圆锥的侧面积和全面积
能解决与圆锥有关的简单实际问题
圆是北京中考的必考内容,主要考查圆的有关性质与圆的有关计算,每年的第20题都会考查,第1小题一般是切线的证明,第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化,理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定方法,会根据条件解决圆中的动态问题。
年份
2015年
2016年
2017年
题号
11,20
20,25
8,20,25
分值
9分
13分
17分
考点
垂径定理的应用;切线判定、圆与解直角三角形综合
圆的有关证明,计算(圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形);直线与圆的位置关系
圆的基本性质,圆的切线证明,圆同相似和三角函数的结合;直线与圆的位置关系
定义
示例剖析
正多边形的定义:
各条边相等,并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的相关概念:
⑴正多边形的中心:
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
⑵正多边形的半径:
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
⑶正多边形的中心角:
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
⑷正多边形的边心距:
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
正多边形的性质:
⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形;
⑵正多边形都是轴对称图形,正边形共有条通过正边形中心的对称轴;
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心.
正偶数边正多边形有两类对称轴;正奇数边正多边形只有一类对称轴.
【例1】⑴小亮从点出发前进,向右转,再前进,
又向右转……这样一直走下去,他第一次回到出发
点时,一共走了_________.
⑵如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中
阴影部分的面积为( )
A.B.
C.D.(2012咸宁)
⑶正八边形的一个内角等于_________,它的中心角等于___________.
⑷若正外接圆的半径为,则的面积为_____________.
⑸半径为的圆内接正方形的对角线长为__________,面积为____________.
⑹正六边形的边长为,半径为,边心距的比__________________.
(西城区教研)
【解析】⑴;⑵A;⑶,;⑷;⑸,;⑹.
【例2】如图,有一个圆和两个正六边形.的个顶点都在圆周上,的条边都和圆相切(我们称分别为圆的内接正六边形和外切正六边形).
⑴设的边长分别为,圆的半径为,求及的值;
⑵求正六边形的面积比的值.
【解析】⑴;
⑵
由⑴,∴.
定义
示例剖析
设的半径为,圆心角所对弧长为,
1.弧长公式:
2.扇形面积公式:
3.圆柱体表面积公式:
4.圆锥体表面积公式:
(为母线)
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法:
①公式法;②割补法;③拼凑法;④等积变换法
【例3】⑴一圆弧的圆心角为,它所对的弧长等于半径为的圆周长,该圆弧所在圆
的半径为________.
(北大附中单元练习)
⑵半径为的圆中,长为的一条弧所对的圆心角的度数为_________.
(北大附中月考)
⑶从纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片(如图),圆的半径为2,扇形的圆心角等于.若用它们恰好围成一个圆锥模型,则此扇形的半径为.(2012广西河池)
⑷图中有五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,
以相同的速度从点到点,甲虫沿、、、的路线爬行,乙虫沿路线爬行,则下列结论正确的是()
A.甲先到点B.乙先到点
C.甲、乙同时到点D.无法确定
(北大附中单元练习)
【解析】⑴;⑵6;⑶;⑷C
【例4】⑴一个扇形的弧长为,面积为,则该扇形的圆心角为_________度.
(北大附中单元练习)
⑵如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了()
A.2周B.3周C.4周D.5周
(2012北海)
⑶如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.把△ABC绕
点A按顺时针方向旋转60°后得到△,若AB=4,则线段BC
在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是()
(2012辽宁锦州)
A.πB.πC.2πD.4π
【解析】⑴;
⑵圆在三边运动自转周数:
;
圆绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数:
360°,即一周;
可见,⊙O自转了3+1=4周.故选C;
⑶C.
【例5】⑴现有圆周的一个扇形纸片,该扇形的
半径为,小红同学打算剪去部分扇形纸片后,利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),那么剪去的扇形纸片的圆心角为______.
(清华附中月考)
⑵用半径为9,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则圆锥的高为.
(2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西)
⑶如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为( )
A.4πB.4πC.8πD.8π
(2011浙江宁波)
⑷如图,已知圆锥的底面圆半径为1,母线长为3,为母线的中点,
在圆锥的侧面上,一只蚂蚁从点爬到点的最短路线长为___________.
(北大附中月考)
【解析】⑴;⑵;⑶D;⑷
【例6】⑴如图,半径为1cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、
OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()(2012贵州遵义)
⑵如图,分别与相切,切点分别为,,,
若为的直径,则图中阴影部分的面积为__________.
(清华附中月考)
⑶如图,半圆的半径为,点三等分半圆,则阴影部分的面
积为_______________.
(二中分校月考)
⑷如图,在平面直角坐标系中,已知经过原点,与轴、轴分
别交于两点,点坐标为,与相交于点,,则图中阴影部分的面积为___________.
(北大附中月考)
⑸如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分
别以AC、BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为
(结果保留π).(2012青海省)
【解析】⑴如图,,故选C.
⑵;⑶;⑷
⑸如图,设各个部分的面积为:
,
∵两个半圆的面积和是:
,
△ABC的面积是,
阴影部分的面积是:
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积,
即阴影部分的面积为
【例7】如图,已知在中,,是的直径,于,.
⑴求图中阴影部分的面积;
⑵若用阴影扇形围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.
1【解析】⑴法一:
过作于,则.
在中,,.
∴.
又∵,∴.∴.
∵,∴.
∴.∴.
∴.
法二:
连结.
∵,是直径,
∴垂直平分.
∴,,.
∴,∴.
∵,
.
∴.即,解得.
∴.
法三:
连结.
∵为的直径,∴.
∵,∴.
∵,,∴,
∴.
∴.
⑵设圆锥的底面圆的半径为,则周长为,
∴.
∴.
⑴如图,把向右平移个单位长度得,两圆相交于,且
,则图中阴影部分的面积是____________.
⑵如图,直径为6的半圆,绕点逆时针旋转,此
时点到了点,则图中阴影部分的面积是()
A.B.C.D.
2【解析】⑴;⑵A.
.
第09讲精讲:
阴影部分面积的求解方法总结;
【探究一】作差法;
【变式1】如图所示,正方形的内切圆半径为r,这个正方形将它的外接圆分割成四个弓形,其中一个弓形的面积是.
【解析】弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积差的四分之一,为.
【探究二】等积变换法;
【变式2】如图,ABCD为⊙O的内接梯形,AB∥CD,且CD为直径.如果⊙O的半径等于r,∠ACB=15°,那么图中阴影部分的面积等于.
【解析】
【探究三】重叠法;
【变式3】如图所示,正方形ABCD的边长为a,以每边为直径向形内作半圆,求中间阴影部分的面积.
【解析】阴影部分的面积可以看成四个同样的半圆重叠面积减去正方形的面积,为
【探究四】割补法;
【变式4】如图所示,ABCD是面积为1的正方形,△PBC为正三角形,求△PBD的面积.
【解析】连接AC交BD于点O,连接PO,则△PBD被分割为两部分:
△PBO与△POD,且,所以.
【探究五】移位法;
【变式5】如图所示,两个半圆,大半圆的弦CD平行于直径AB,且与小半圆相切.已知CD=24,试求大半圆中,挖去小半圆后剩余部分的面积.
【解析】为了方便计算,我们讲小半圆移动,使它与大半圆是同心圆,此时,有MD=12,则S=72π
【探究六】方程组法;
【变式6】已知正方形ABCD的边长为1,分别以A、B、C、D四点为圆心,以1为半径画弧,求所得四个扇形的公共部分的面积.
【解析】由对称性,用x、y、z分别表示曲边形的面积,如图所示,则有
,
解得
训练1.已知圆内接正方形的面积为,求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积.
【解析】如图,设是圆内接正方形的边长,是外切正三角形的边长,是外切正六边形的边长,连结.
∵是内接正方形的边长,内接正方形面积为,
∴,
∴.
∵是外切正三角形的边长,
∴,
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