完整版八年级勾股定理题型总结.docx
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完整版八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题分析
一、知识要点:
1、勾股定理
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:
如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
公式的变形:
a2=c2-b2,b2=c2-a2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=c2,那么三角形ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
1已知的条件:
某三角形的三条边的长度.
2满足的条件:
最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
3得到的结论:
这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角
4如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:
①勾股数必须是正整数,不能是分数
或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:
(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)
(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)
4、最短距离问题:
主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一:
利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:
(1)阴影部分是正方形;
(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
2.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.
3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S、S、S,则
它们之间的关系是()
A.Si-S2=S3B.Si+S2=S3C.S2+S3 4、四边形ABC[中,/B=90°,AB=3BC=4CD=12AD=13求四边形ABCD勺面积。 5、在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)o已知斜放置的三个正方形的面积分别 是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、= 考点二: 在直角三角形中,已知两边求第三边 1在直角二角形中,若两直角边的长分别为5cm12cm,则斜边长为 2•已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8,求斜边上的高. 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的() A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍 5、在Rt△ABC中,/C=90° 1若a=5,b=12,贝卩c=; 2若a=15,c=25,则b=; 3若c=61,b=60,则a=; 4若a: b=3: 4,c=10则Rt△ABC的面积是=。 6、如果直角三角形的两直角边长分别为n21,2n(n>1),那么它的斜边长是() 22 A、2nB、n+1C、n—1Dn1 7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是() A.a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能 &已知Rt△ABC中,ZC=90°,若a+b=14cmc=10cm贝uRt△ABC的面积是() A、24cm2B、36cm2C48cm2D60cm2 222 9、已知x、y为正数,且Ix-4|+(y-3)=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为() A、5B、25C、7D15 考点三: 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示,等腰一? 中, 求①AD的长;②厶ABC的面积. 考点四: 勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是() A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17 2、若线段a,b,c组成直角三角形,贝尼们的比为() A、2: 3: 4B、3: 4: 6C、5: 12: 13D、4: 6: 7 3、下面的三角形中: 1厶ABC中,/C=ZA-ZB; 2厶ABC中,ZA: ZB: ZC=1: 2: 3; 3厶ABC中,a: b: c=3: 4: 5; 4厶ABC中,三边长分别为8,15,17. 其中是直角三角形的个数有(). A.1个B.2个C.3个D.4个 4、若三角形的三边之比为-I: 1: 1,则这个三角形一定是() 2V2 A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.不等边三角形 22222 5、已知a,b,cABCE边,且满足(a—b)(a+b-c)=0,则它的形状为() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 &将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是() A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 7、若厶ABC的三边长a,b,c满足a2b2c220012a16b20c,试判断△ABC的形状 此三角形为。 例3: 求 (1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。 (2)已知三角形三边的比为13: 2,则其最小角为。 考点五: 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示,其中AB=5,BC=3米,一匚-,因某种活动要求铺设红色地 毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为. E3 考点六、利用列方程求线段的长(方程思想) 1、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下 端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗? 5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位: mm计算 两圆孔中心A和B的距离为 6、如图: 有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了米. 14B 5 3 .「2 7、如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A处登陆后,往东走8km又往北走2km遇到障碍后又往西走3km再折向北方走到5km处往东一拐,仅1km? 就找到了宝藏,问: 登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少? 考点七: 折叠问题 MB=2M,求AB的长. 两直角边AC=6BC=8将厶ABC折叠,使点B与点A重合, 3、折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10C求CF和EG 4、如图,在长方形ABCD中,DC=5在DC边上存在一点E,沿直线AE把厶ADE折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为卩,若厶ABF的面积为30,求折叠的△AED的面积 少? 6、如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。 (1)试说明: AF=FC (2)如果AB=3BC=4求AF的长 7、如图2所示,将长方形ABCDft直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cmAB=8cm则图中阴影部分面积为. &如图2-3,把矩形ABCDS直线BD向上折叠,使点C落在C的位置上,已知AB=? 3,BC=7重合部分厶EBD的面积为. 9、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于 F,边AB折叠后与BC边交于点G如果M为CD边的中点,求证: DEDMEM=34: 5。 10、如图,长万形ABCD中,AB=3BC=4若将该矩形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕 迹EF的长为() A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77 11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm,宽为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P: 1能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C? 若能,请你求出这时AP的长;若 不能,请说明理由. 2再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cr? 若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由. 12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=ACD是斜边BC的中点,E、F分别是ABAC 边上的点,且DELDF,若BE=12CF=5.求线段EF的长 13、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且/QPN=30°,点A处有一所中学,A=160m。 假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响? 请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h, 那么学校受影响的时间为多少秒? 考点八: 应用勾股定理解决勾股树问题 1如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的二角形都是直角二角形,其中最大的正方形 的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为 2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等 腰Rt△ACD再以RtAACD勺斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 考点九、图形问题 1、如图1,求该四边形的面积 2、如图2,已知,在△ABC中,/A=45°,AC=2AB =j'3+1,则边BC的长为. 3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门? 并说明你的 理由 4、将一根长24cm的筷子置于地面直径为5cm,咼为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子 外面的长为hcm,贝Uh的取值范围。 5、如图,铁路上AB两点相距25kmCD为两村庄,DA? 垂直AB于A,CB垂直AB于B, 已知AD=15kmBC=10km现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站建在距A站多少千米处? 3、如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点? 如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险? 考点、网格问题 1、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是() A.0B.1C.2D.3 2、如图,正方形网格中的△ABC若小方格边长为1,则厶ABC是() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 3、如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD勺面积是() A.25B.12.5C.9D.8.5 4、如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点 分别按下列要求画三角形: 1使三角形的三边长分别为3、8、.5(在图甲中画一个即可); 2使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可).
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