数学思想与方法.docx
- 文档编号:27671093
- 上传时间:2023-07-03
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:26.65KB
数学思想与方法.docx
《数学思想与方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学思想与方法.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学思想与方法
数学思想方法
一、填空题
1.《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为—种数学陈述模式,而且还被移植到其它学科,并且促进它们的发展.
2.随机现象的特点是在一定条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果
3.等腰三角形概念的抽象过程,就是把一个新的特征:
两边相等加入到三角形概念中去,使三角形概念得到强化.
4.类比法是指,由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法.
5。
面对一个问愿,经过认真的观察和思考,过归纳或者类比提出猜想,然后从两个方面人手;演绎证明此猜想为真;或者寻找反例说明此猜想为假并且进一步修正成否定此猜想.
6.化归方法包含的三个要素是:
化归对象、化归日标、化归途径。
7.算法的有效性是指,如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解
8.数学的研究对象大致可以分成两类①研究数量关系,②研究空间形式
9。
分类必须遵循的原则是①不重复,②无遗漏,③标准同一,④按层次逐步划分。
10.根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻恶解阶段等三个阶段,可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。
11.概括通常包括两种:
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发,以对个别事物所作的观察陈述为基础,上升为普遍的认识由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
12.算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类。
13.反驳反例是用特殊否定一般的一种思维形式。
14.类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法,它的主要步骤是联想、类比、猜测。
15.归纳猜想是运用归纳法得道的猜想,它的思维步骤是特例、归纳、猜测。
16.传统数学教学只注重形式化的数学知识传授,忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
17.所谓统一性,就是部分与部分、部分与整体间的协调一致。
18.中国《九章算术》一的算法体系和古希腊《几何原本》以算为主、逻辑演绎的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。
19.所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法
20.所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合
21.三段论是演绎推理的主要形式,它由大前提、小前提、结论三部分组成。
22.演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
23.数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带,是数学科学的灵魂,
它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
24.分类方法具有三个要素:
划分的对象、划分后所得的类概念、划分的标准。
25.数学研究的对象可以分为两类:
一类是研究数量关系,另一类是研究空间形式。
26.所谓社会科学数学化就是指数学向社会科学的渗透,也就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。
27.在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏形,但是作为一门学科则产生于l7世纪中期前后,它的起源与一个所谓的点数问题有关。
28.在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的《几何原本》。
29.《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作,它关于负数的论述也是世界上最早的。
30.数学知识与数学思想是数学教学的两条主线,数学知识是一条明线,它被写在教材中;数学思想则是一条暗线,需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中
31.学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段.潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段。
32.面对一个问题,经过认真的观察和思考,通过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面人手:
演绎证明此猜想为真;或者寻找反例说明此猜想为假,并且进一步修正或否定此猜想。
33.变量数学产生的数学基础是解析几何,标志是微积分。
34.化归方法是将疑难问题转化为已知问题。
35.公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发,应用严格的逻辑推理,使一门数学构建成为演绎系统的一种方法。
36.数学的第一次危机是由于出现了无理数而造成的。
37.数学猜想具有两个明显的特点:
科学性与推测性。
38.所谓社会科学数学化就是指数学向——的渗透,运用数学方法来揭示社会科学、社会现象的一般规律。
39.数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现。
它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合趋势。
40.深层类比又称实质性类比,它是通过对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比。
41.数学模型具有抽象性、准确性和演绎性、预测性特性。
42.公理方法就是从初始概念和公理出发,按照一定的规定定义出其他所有的概念,推导出其他一切命题的一种演纤方法。
43.概括通常包括两种:
经验概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发,以对个别事物所作的观察陈述为基础,上升为普遍的认识由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
43、强抽象就是指,通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程而形成新概念的抽象过程
44.菱形概念的抽象过程就是把—个新的特征:
一组邻边相等加入到平行四边形概念中去,匣平行四边形概念得到了强化。
45.面对一个问题,经过认真的观察和思考,通过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面入手:
演绎证明此猜想为真;或者寻找反例说明此猜想为假并且进一步修正或否定此猜想。
46.数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
47、深层类比又称实质性类比,它是通过对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比。
48.一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节
49.匀速直线运动的数学模型是一次函数。
50、世纪在公理法方面取得了突破性进展,在这个基础上,抽象的公理法进一步向形式化方向发展。
51.化归方法的基本原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
52.所谓数形结合方法是指在研究数学问题时,由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 的一种思想方法。
53.推动数学发展的原因主要有两个:
实践的需要,理论的需要,数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
54.古代数学大体可分为两种不同的类型,一种是崇尚逻辑推理,以《几何原本》为代表,一种是长于计算和实际应用,以《九章算术》为典范。
55.数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
56.不完全归纳法是根据对某类事物中的部分对象的分析,作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
57.学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段:
潜意识阶段、明朗化阶段。
深刻理解阶段。
58.在实施数学思想方法教学时,应该注意三条原则:
化隐为显原则,循序渐进原则,学生参与原则。
二、判断题
1,《九章算术》不包括代数、几何内容.(否)
2.抽象和概括是两种完全不同的方法(否)
3.没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包含数学思想方法的数学知识.(是)
4.数学模型方法是物理学、工程学的专利,在生物学、经济学、军事学等领域投有应用.(否)
5.在解决敷学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能奏效.(是)
6.数学思想方法教学隶属数学教学范畴,只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。
(否)
7.数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
(是)
8.新颁发的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新的理念。
(是)
9.法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。
(是)
10.由类比法推得的结论必然正确。
(否)
11.在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。
(是)
12.分类可使知识条理化、系统化。
(是)
13.既没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学知识。
(是)
14.对同一数学对象,若选取不同的标准,可以得到不同的分类。
(是)
15.完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。
(是)
16.数学模型方法是近代才产生的。
(否)
17.在小学数学教学中,本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。
(否)
18.所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想。
(是)
19.既没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学知识。
(是)
20.对同一数学对象,若选取不同的标准,可以得到不同的分类。
(是)
21.有时特殊情况能与一般情况等价。
(是)
22.演绎的根本特点就是当它的前提为真时,结论必然为真。
(是)
23.抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。
(是)
24.数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。
(否)
25.在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果.(是)
26.如果某一类问题存在算法,并且构造出这个算法,就一定能求出该问题的精确解。
(否)
27.分类可使知识条理化、系统化。
(是)
28.在建立数学模型的过程中,不必经过数学抽象这一环节。
(否)
29.《九章算术》不包括代数、几何内容。
(否)
30.既没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学知识. (是)
31.对同一数学对象,若选取不同的标准,可以得到不同的分类。
(是)
32.特殊化是研究共性中的个性的一种方法。
(否)
33.数学模型方法应用面很窄。
(否)
34、计算机是数学的创造物,又是数学的创造者。
(是)
35、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
(否)
36、如果某一类问题存在算法,并且构造出这个算法,就一定能求出该问题的精确解。
(否)
37.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
(否)
38.一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
(否)
39.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想,一是公理化思想,一是机械化思想。
(是)
40.提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
(否)
三、简答题
1.为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系?
①《几何原本》以少数原始概念和公设、公理为基础,运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题(定理)全都推出来,从而形成一个井然有序的整体.在这个体系中,除了逻辑规则外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或dS面已证明的定理,并且引入的概念(除原始概念)也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求,原则上不再依赖其它东西.
②另外.《几何原本)回避任何与社会生产现实生括有关的应用问题,对社会生活的各个领域来说也是封闭的.因此,(几何原本)是一个相对封闭的演绎体系.
2.简述计算机在数学方面的三种新用途。
第一,用来证明一些数学命题;第二,用来预测某些数学问题的可能结果,第三,用来验证某些数学问题的结果的正确性.
3.简述化归方法在数学教学中的应用。
①利用化归方法学习新知识②利用化归方法指导解题③利用化归方法整理知识结构.
4.什么是算法的有限性特点?
试举一个不符合算法有限性特点的例子.
算法的有限性是指.一个算法必须在有限步之内终止.
以十进翻小数的除法这个算法为例,如取敷2和3作为初始数据,则有2--3=O.6666…
无论怎样延续这个过程都不能结束,同时也不会出现中断.因此,除法对于2和3这组数不符合算法有限性特点
5.常量数学应用的局限性是什么?
答:
①在建立了太阳中心理论后,17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置,以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。
②这类问题的核心是物体的运动。
面对这类带有运动特征的问题,人们已有的数学知识:
算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学,显得无效。
③由于初等数学都是以不变的数量(即常量)和固定的图形为其研究对象(因此这部分内容也称为常量数学)。
运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。
可是,对于这些运动变化的事物和现象,它们显然无能为力。
6.简述计算的意义。
答:
①推动了数学的应用;②加快了科学数学化;③促进了数学的发展。
7.简述培养数学猜想能力的途径
答:
猜想能力培养可以通过数学教学,如:
①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。
8.什么是算法的有限性特点?
试举一个不符合算法有限性特点的例子。
答:
①算法的有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。
②例如,对初始数据20和3,计算过程为无论怎样延续这个过程都不能结束,同时也不会出现中断。
如果在某一处中断过程,我们只能得到一个近似的、不准确的结果。
而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。
可见,十进制小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。
9.我国数学教育存在哪些问题?
试举例子说明。
答:
①数学教学重结果,轻过程;重解题训练,轻智力、情感开发;不重视创新能力培养,虽然学生考试分数高,但是学习能力低下;②重模仿,轻探索,学习缺少主动性,缺乏判断力和独立思考能力;③学生学业负担过重。
原因是课堂教学效益不高,教学围绕升学考试指挥棒转,不断重复训练各种题型和模拟考试,不少教师心存以量求质的想法,造成学生学业负担过重。
10.简述公理化方法发展。
答:
公理化方法是一个由个别上升到特殊再上升到一般的过程,最后形成了数学中普遍适用的科学方法。
它的发展关系可以用下列图示表明:
①个别一特殊一一般
②欧氏空间一各种几何一一般意义空间
③具体公理方法一抽象公理方法一形式化公理方法
11.简述概括与抽象的关系。
答:
①概括方法与抽象方法是不同的,但是它们又有十分密切的联系。
抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程,抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。
②概括是在思维中由认识个别事物的本质属性,发展到认识具有这种本质属性的一切事物,从而形成关于这类事物的普遍概念。
由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。
③概括和抽象虽有差别,但又是互相联系、密不可分的。
抽象是概括的基础,没有抽象就不能认识任何事物的本质属性,就无法概括。
概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节,前述“收括”操作实际上也是一个概括过程,有人就把“收括”称之为概括,由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性,从而完成抽象过程。
12.在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题?
加强数学思想方法教学,应注意以下几点事项:
①要把数学思想方法的学习纳入数学目标,并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程;②重视数学知识发生、发展的过程,认真设计数学思想方法教学的目标,③做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作;④不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求;⑤注意不同数学思想方法的综合运用。
13.微积分产生可以归结为哪四类情况?
.答:
这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。
①第一类是:
已知物体移动的距离为时间的函数,求物体瞬时速度和加速度;反过来,已知物体的加速度为时间的函数,求速度和距离。
·
②第二类是:
求曲线切线的斜率和方程。
③第三类是:
求函数的最大值与最小值。
④第四类是:
求曲线的长度,曲边梯形的面积,曲面围成的物体的重心。
这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量——变量——问题。
14.简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。
答:
①确定性现象的特点是:
在一定的条件下,其结果完全被决定,或者完全肯定,或者完全否定,不存在其他可能。
即这种现象在—定的条件下必然会发生某种结果,或者必然不会发生某种结果。
②随机现象的特点是:
在一定的条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果。
③对于随机现象,由于条件和结果之间不存在必然性联系,因此不能用确定数学来加以定量描述;此外,由于随机现象并不是杂乱无章的现象,就个体而言,似乎没有什么规律存在,但当同类现象大量出现时,从总体上却呈现出一种规律性,而确定数学无法定量地揭示这种规律性。
15.简述计算机在数学方面的三种新用途。
①推动了数学的应用;②加快了科学的数学化;③促进了数学的发展。
16.简述化归方法的和谐化原则。
答:
和谐化是数学内在美的主要内容之一。
①美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。
因此,②我们在解题过程中,可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征,利用和谐美去思考问题,获得解题信息,③从而确立解题的总体思路,达到以美启真的作用。
17.我国数学教育存在哪些问题
答:
①数学教学重结果,轻过程;重解题训练,轻智力、情感开发;不重视创新能力培养,虽然学生考试分数高,但是学习能力低下;②重模仿,轻探索,学习缺少主动性,缺乏判断力和独立思考能力;③学生学业负担过重。
原因是课堂教学效益不高,教学围绕升学考试指挥棒转,不断重复训练各种题型和模拟考试,不少教师心存以量求质的想法,造成学生学业负担过重。
18.《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求?
答:
《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。
①第一,公理必须是明显的,因而是无需加以证明的,其是否真实应受推出的结果的检验,但它仍是不加证明而采用的命题;初始概念必须是直接可以理解的,因而无需加以定义。
②第二,由公理证明定理时,必须遵守逻辑规律与逻辑规则;同样,通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时,必须遵守下定义的逻辑规则。
19.简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。
答:
①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后,知识教学虽然蕴含着思想方法,但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象,在数学学习时,学生常常只注意到处于表层的数学知识,而注意不到处于深层的思想方法。
②因此,进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体,把隐藏在知识背后的思想方法显示出来,使之明朗化,才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。
20.简述特殊化方法在数学教学中的应用。
答:
①利用特殊值(图形)解选择题;②利用特殊化探求问题结论;③利用特例检验一般结果;④利用特殊化探索解题思路。
21.什么是归纳猜想?
井举一个例子说明。
①人们运用归纳法,得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断,即猜想,这种思想方法称为归纳猜想。
②例如,人们在量度了很多圆的周长和半径以后.发现它们的比值总是近似地等于3.14,于是提出了圆周率是3.14的猜想。
后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为 ,果然和3.14很接近.
22.试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。
《九章算术》在每一章内都先列举若干实际问题,并对每个问题给出答案,然后再给出“术”,作为一类问题的共同解法。
以后遇到同类问题,只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案;书中的“术”其实就是算法。
23.简述数学抽象的特征。
①无物质性;②层次性;③数学抽象过程要凭借分析或直觉;④数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。
24.为什么将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则?
由于数学思想方法往往隐含在数学知识的背后,知识教学虽然蕴含着思想方法,但如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象,在数学学习时,学生常常只注意到处于表层的数学知识,而注意不到处于深层的思想方法。
因此,进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体,把隐藏在知识背后的思想方法显示出来,使之明朗化,才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。
25、什么是类比猜想?
并举一个例子说明
答;①人们运用类比法,根据一类事物所具有的某种属性,得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断,即猜想,这种思想方法称为类比猜想。
②例如,分式与分数非常相似,只不过是用字母替代数而已。
因此,我们可以猜想,分式与分数在定义,基本性质、约分,通分、四则运算等方面都是对应相似的。
26、数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则?
试举例说明。
答:
①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握,它需要学生深入理解事物之间的本质联系.②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的,是从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。
③例如,学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育,在学习数轴时,要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值,比较有理数的大小等。
四、解答题
1.圆周角定理证明思路如下:
将四周角的两边所处的位置分成三种情况:
①角的一边落在直径上;②角的两边在某—直径的两侧,③角的两边在某一直径的同侧.如上田所示.先对情况①进行证明,然后将情况②、③转化为情况①分别进行证明.最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。
试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。
该证明中需用到下面几种数学思想方法,
①将圃周角分成三种情况,用到分类方法;
②先证明情况①而情况①是角恰有一边在直径上的特殊情况,用到特殊化方法:
③通过对所有三种情况的证明,最后得出圆周角定理的结论,用到完全归纳法,
④在证明过程中需要进行演绎推理,因此用到演绎方法.
2、通过下列例子具体说明化归方法的含义:
一铁球浮在水银上,若将水再倾注在水银之上,并覆盖铁球,这时球相对于水银面将下沉?
上升?
还是保持在同样的深度上?
(已知水银密度为13.6,铁密度为7.84,水密度为1)
①这是一个物理问题。
用数学的眼光来考虑不会满足于是上升或下沉的定性的描述,而是渴望有定量的分析,即在倾入水前后两种情况下,计算球在水银平面之上的那部分体积占整球体积的比例。
②不排除定性的直观想象,因为这对理解问题会有好处。
不妨想象在水银上包围铁球上部的液体连续地改变其密度,从空气——水——铁的密度,球必上升完全超出水银,如果密度继续增加,球就会从想象的液体中浮出来。
由此可见,当覆盖球的物质从空气逐渐变为水的时候,球将上升。
③下面将数学问题转化为代数问题,分别设上面液体的密度为a,下面液体的密度为b,球的密度为c,v表示球的体积,x,表示球上半部分的体积y,表示球下半部分的体积。
根据阿基米德原理:
浮体质量等于所排开液体的质量,可列方程:
⑤回到原题,倾水前a=0,b=13.60,c=7.84,由此得x=0.432v;倾水后a=1.00,求得x=0.457v,故知倾水后球浮于水银上的部分占球总体积的比例增大,即球上升。
⑥此题的解决过程是先把问题转化为数学问题,再转化为代数问题,最后归结为解方程组,通过解方程组得到解。
3、论述《几何原本》和《九章算术》思想方法的特点。
答:
《几何原本》的思想方法的特点:
①封闭的演绎体系
因为在《几何原本》中,除了推导时所需要的逻辑规则外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理,并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求,原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
另外,《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题,因此对于社会生活的各个领域来说,它也是封闭的。
所以,《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②抽象化的内容
《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题,它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系,不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系,也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。
因此《几何原本》的内容是抽象的。
③公理化的方法
《几何原本》的第一篇中开头5个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 思想 方法