高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案新人教A版选修2.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案新人教A版选修2.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案新人教A版选修2
第一章常用逻辑用语
1 怎样解逻辑用语问题
1.利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念,并且是理解上的一个难点.要解决这个难点,将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来,看得见、想得通,才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释,实践证明效果较好.集合模型解释如下:
(1)A是B的充分条件,即A⊆B.
(2)A是B的必要条件,即B⊆A.
(3)A是B的充要条件,即A=B.
(4)A是B的既不充分也不必要条件,
即A∩B=∅或A、B既有公共元素也有非公共元素.
或
例1 设集合S={0,a},T={x∈Z|x2<2},则“a=1”是“S⊆T”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析 T={x∈Z|x2<2}={-1,0,1},a=1时,S={0,1},所以S⊆T;反之,若S⊆T,则S={0,1}或S={0,-1}.所以“a=1”是“S⊆T”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
2.抓住量词,对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题,这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念,解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词,理解其相应的含义,从而对症下药.
例2
(1)已知命题p:
“任意x∈[1,2],x2-a≥0”与命题q:
“存在x0∈R,x
+2ax0+2+a=0”都是真命题,则实数a的取值范围为______________.
(2)已知命题p:
“存在x0∈[1,2],x
-a≥0”与命题q:
“存在x0∈R,x
+2ax0+2+a=0”都是真命题,则实数a的取值范围为__________________.
解析
(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时,
(x2-a)min≥0,即1-a≥0,即a≤1.
命题q:
即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0,
解得a≤-1或a≥2.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1].
(2)命题p转化为当x0∈[1,2]时,(x
-a)max≥0,
即4-a≥0,即a≤4.命题q同
(1).
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,4].
答案
(1)(-∞,-1]
(2)(-∞,-1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现,两题形似而神异,所谓失之毫厘,谬之千里,需要我们抓住这类问题的本质——量词,有的放矢.
3.挖掘等价转化思想,提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中,时时刻刻渗透着等价转化思想,例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假,它们就是等价的;但原命题与逆命题不等价,即原命题为真,其逆命题不一定为真.
例3 设p:
q:
x2+y2≤r2(r>0),若q是綈p的充分不必要条件,求r的取值范围.
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B,则可由A∁RB出发解题.
解 设p、q对应的集合分别为A、B,将本题背景放到直角坐标系中,则点集A表示平面区域,点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合,也即是圆x2+y2=r2外的点的集合.
∵A∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r,
∴直线3x+4y-12=0上的点到原点的最近距离大于等于r,
∵原点O到直线3x+4y-12=0的距离d=
=
,
∴r的取值范围为(0,
].
点评 若直接解的话,q是綈p的充分不必要条件即为x2+y2≤r2(r>0)在
p:
所对应的区域的外部,也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”,更好地体现了相应的数学思想方法.
2 辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点,但又有着本质的区别,应注意弄清它们的区别和正确表述,下面从以下两个方面来看一下它们的区别.
1.否命题与命题的否定的概念
设命题“若A,则B”为原命题,那么“若綈A,则綈B”为原命题的否命题,“若A,则綈B”为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题,而且否定的条件仍为条件,否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定,即“命题的否定”与原命题的条件相同,结论相反.
例1 写出下列命题的否命题及否定:
(1)若|x|+|y|=0,则x,y全为0;
(2)函数y=x+b的值随x的增加而增加.
分析 问题
(1)直接依据格式写出相应的命题;问题
(2)先改写成“若A,则B”的形式,然后再写出相应的命题.
解
(1)原命题的条件为“|x|+|y|=0”,结论为“x,y全为0”.
写原命题的否命题需同时否定条件和结论,所以原命题的否命题为“若|x|+|y|≠0,则x,y不全为0”.
写原命题的否定只需否定结论,所以原命题的否定为“若|x|+|y|=0,则x,y不全为0”.
(2)原命题可以改写为“若x增加,则函数y=x+b的值也随之增加”.
否命题为“若x不增加,则函数y=x+b的值也不增加”;
命题的否定为“若x增加,则函数y=x+b的值不增加”.
点评 如果所给命题是“若A,则B”的形式,则可以依据否命题和命题的否定的定义,直接写出相应的命题.如果不是“若A,则B”的形式,则需要先将其改写成“若A,则B”的形式,便于写出命题的否定形式及其否命题.
2.否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看,原命题与其否命题的真假没有必然的关系,原命题为真,其否命题可能为真,也可能为假;原命题为假,其否命题可能为真,也可能为假.但是原命题与其否定的真假必相反,原命题为真,则其否定为假;原命题为假,则其否定为真.这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准.
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定,并判断原命题、否命题和命题的否定的真假:
(1)若x2<4,则-2 (2)若m>0且n>0,则m+n>0. 分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假. 解 (1)否命题: “若x2≥4,则x≥2或x≤-2”. 命题的否定: “若x2<4,则x≥2或x≤-2”. 通过解不等式可以知道,原命题为真,否命题为真,命题的否定为假. (2)否命题: “若m≤0或n≤0,则m+n≤0”. 命题的否定: “若m>0且n>0,则m+n≤0”. 由不等式的性质可以知道,原命题为真,否命题为假,命题的否定为假. 3 判断条件四策略 1.应用定义 如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.判断时的关键是分清条件与结论. 例1 设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 条件p: x∈M或x∈P;结论q: x∈P∩M. 若x∈M,则x不一定属于P,即x不一定属于P∩M, 所以p⇏q;若x∈P∩M,则x∈M且x∈P,所以q⇒p. 综上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件. 答案 必要不充分 2.利用传递性 充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性,即: 若p⇒q,q⇒r,则p⇒r. 例2 如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的_____条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 依题意,有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D,由命题的传递性可知D⇒A,但A⇏D.于是A是D的必要不充分条件. 答案 必要不充分 3.利用集合 运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现,q以非空集合B的形式出现,则①若A⊆B,则p是q的充分条件;②若B⊆A,则p是q的必要条件;③若AB,则p是q的充分不必要条件;④若BA,则p是q的必要不充分条件;⑤若A=B,则p是q的充要条件. 例3 已知p: x2-8x-20≤0,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是________. 解析 设p,q分别对应集合P,Q, 则P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}, 由题意知,p⇒q,但q⇏p,故PQ, 所以 或 解得m≥9. 即m的取值范围是[9,+∞). 答案 [9,+∞) 4.等价转化 由于互为逆否命题的两个命题同真同假,所以当由p⇒q较困难时,可利用等价转化,先判断由綈q⇒綈p,从而得到p⇒q. 例4 已知p: x+y≠2,q: x,y不都是1,则p是q的____条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析 因为p: x+y≠2,q: x≠1或y≠1, 所以綈p: x+y=2,綈q: x=1且y=1. 因为綈p⇏綈q,但綈q⇒綈p, 所以綈q是綈p的充分不必要条件, 即p是q的充分不必要条件. 答案 充分不必要 4 例析逻辑用语中的常见误区 误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题 例1 判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假. (1)x+2>0; (2)x2+2>0; (3)A∩B=A∪B; (4)A⊆(A∪B). 错解 (1) (2)(3)(4)都不是命题. 剖析 (1)中含有未知数x,且x不确定,所以x+2的值也不确定,故无法判断x+2>0是否成立,不能判断其真假,故 (1)不是命题. (2)x虽为未知数,但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判断x2+2>0成立,故 (2)为真命题. (3)若A=B,则A∩B=A∪B=A=B; 若AB,则A∩B=A(A∪B)=B. 由于A,B的关系未知,所以不能判断其真假,故(3)不是命题. (4)A为A∪B的子集,故A⊆(A∪B)成立,故(4)为真命题. 正解 (2)(4)是命题,且都为真命题. 误区2 原命题为真,其否命题必为假 例2 判断下列命题的否命题的真假: (1)若a=0,则ab=0; (2)若a2>b2,则a>b. 错解 (1)因为原命题为真命题,故其否命题是假命题; (2)因为原命题为假命题,故其否命题为真命题. 剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系,否命题的真假不能根据原命题的真假来判断,应先写出原命题的否命题,再判断. 正解 (1)否命题为: 若a≠0,则ab≠0,是假命题; (2)否命题为: 若a2≤b2,则a≤b,是假命题. 误区3 搞不清谁是谁的条件 例3 使不等式x-3>0成立的一个充分不必要条件是( ) A.x>3B.x>4C.x>2D.x∈{1,2,3} 错解 由不等式x-3>0成立, 得x>3,显然x>3⇒x>2,又x>2⇏x>3,因此选C. 剖析 若p的一个充分不必要条件是q,则q⇒p,p⇏q.本题要求使不等式x-3>0成立的一个充分不必要条件,又x>4⇒x-3>0,而x-3>0⇏x>4,所以使不等式x-3>0成立的一个充分不必要条件为x>4. 正解 B 误区4 考虑问题不周 例4 如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 错解 判别式Δ=b2-4ac>0,即方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则判别式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的充要条件,选C. 剖析 判别式Δ=b2-4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2+bx+c=0,当a=0时,原方程为一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判别式,所以当b2>4ac时不能推出方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则它的判别式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.由上可知,“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的必要不充分条件. 正解 B 误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论 例5 (1)已知p: 方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q: 方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,试写出“p∨q”. (2)p: 四条边相等的四边形是正方形;q: 四个角相等的四边形是正方形,试写出“p∧q”. 错解 (1)p∨q: 方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2. (2)p∧q: 四条边相等且四个角相等的四边形是正方形. 剖析 (1) (2)两题中p,q都是假命题,所以“p∨q”,“p∧q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是: (1)只联结了两个命题的结论; (2)只联结了两个命题的条件. 正解 (1)p∨q: 方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2. (2)p∧q: 四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形. 误区6 不能正确否定结论 例6 p: 方程x2-5x+6=0有两个相等的实数根,试写出“綈p”. 错解 綈p: 方程x2-5x+6=0有两个不相等的实数根. 剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”,所以“綈p”应否定“有”,而不能否定“相等”. 正解 綈p: 方程x2-5x+6=0没有两个相等的实数根. 误区7 对含有一个量词的命题否定不完全 例7 已知命题p: 存在一个实数x0,使得x -x0-2<0,写出綈p. 错解一 綈p: 存在一个实数x0,使得x -x0-2≥0. 错解二 綈p: 对任意的实数x,都有x2-x-2<0. 剖析 该命题是特称命题,其否定是全称命题,但错解一中得到的綈p仍是特称命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定;错解二中只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定. 正解 綈p: 对任意的实数x,都有x2-x-2≥0. 误区8 忽略了隐含的量词 例8 写出下列命题的否定: (1)不相交的两条直线是平行直线; (2)奇函数的图象关于y轴对称. 错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线; (2)奇函数的图象不关于y轴对称. 剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词,但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题,要特别引起注意. 正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线; (2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称. 5 解“逻辑”问题的三意识 1.转化意识 由于互为逆否的两个命题同真假,因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时,可以转化为逆否命题来判断或证明. 例1 证明: 若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1. 分析 本题直接证明原命题是真命题,显然不太容易,可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题. 证明 命题“若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1”的逆否命题是“若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.∵原命题的逆否命题是真命题,∴原命题也是真命题.故若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1. 例2 命题p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,命题q: 实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分条件,求a的取值范围. 分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系,进而转化为集合运算问题. 解 设A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a B={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0} ={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2} ={x|x<-4或x≥-2}. 因为q是p的必要不充分条件, 所以p⇒q,q⇏p,由AB得 或 即a≤-4或- ≤a<0. 所以实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[- ,0). 2.简化意识 判断命题真假的关键: 一是识别命题的构成形式;二是分别将各命题简化,对等价的简化命题进行判断. 例3 已知命题p: 函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,命题q: 函数y=-(5-2a)x是R上的减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是________. 分析 先将命题p,q等价转化,再根据题意构建关于a的关系式,从而得到a的取值范围. 解析 函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0⇔a≤1,即p真⇔a≤1; 函数y=-(5-2a)x是减函数⇔5-2a>1⇔a<2, 即q真⇔a<2. 由p或q为真命题,p且q为假命题,知命题p,q中必有一真一假.若p真q假,则无解;若p假q真,则1 故满足题意的实数a的取值范围是(1,2). 答案 (1,2) 点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数,求解时,可以先等价转化命题p,q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围,再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围. 3.反例意识 在“逻辑”中,经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断,若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行,这时可以通过举出恰当的反例来说明,这是一个简单有效的办法. 例4 设A,B为两个集合,则下列四个命题中真命题的序号是________. ①A⊈B⇔对任意x∈A,都有x∉B; ②A⊈B⇔A∩B=∅; ③A⊈B⇔B⊈A; ④A⊈B⇔存在x0∈A,使得x0∉B. 分析 画出表示A⊈B的Venn图进行判断. 解析 画出Venn图,如图1所示,则A⊈B⇔存在x0∈A,使得x0∉B,故①②是假命题,④是真命题. A⊈B⇒B⊈A不成立的反例如图2所示.同理可得B⊈A⇒A⊈B不成立.故③是假命题. 综上知,真命题的序号是④. 答案 ④
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