高三振动和波.docx
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高三振动和波
振动和波
一、考纲解读
内容
34.弹簧振子,简谐运动.简谐运动的振幅.周期和频率,简谐运动的位移一时间图像.
35.单摆,在小振幅条件下单摆作简谐运动,周期公式.
36.振动中的能量转化.
37.自由振动和受迫振动.受迫振动的振动频率.共振及其常见的应用.
38.振动在介质中的传播——波.横波和纵波,横波的图象.波长.频率和波速的关系.
39.波的叠加.波的干涉.衍射现象.
40.声波.超声波及其应用
41.多普勒效应.
本章知识是历年高考的必考内容,其中命题频率最高的知识点是波的图象,频率、波长、波速的关系,其次是单摆周期。
题型虽多以选择题、填空题等形式出现,但试题信息容量大,综合性强,一道题往往考查多个概念和规律,而振动图象和波的图象问题是教学的难点,高考命题时又特别注重考查对振动、波动的理解能力、推理能力和空间想象能力,所以在复习中应予以重视,同时也要注意解决生产、生活中的一些振动和波动的实际问题。
二、命题趋势
本章综合运用运动学、动力学和能的转化方面的知识讨论两种常见的运动形式--------机械振动和机械波的特点和规律、以及它们间的区别与联系,两种运动形式的综合考查应是高考的重点。
三、夯实基础
1机械振动
(1)定义:
物体在某一位置(平衡位置)两侧所做的往复运动。
(2)回复力:
使振动物体平衡位置的力。
(3)平衡位置:
振动的物体经过平衡位置时,所受的回复力为零。
也可以说:
平衡位置是振动物体的回复力为零的位置。
(4)为了描述方便,特别规定:
振动的位移总是以平衡位置为起点,位移:
振动物体离开平衡位置的位移。
(5)全振动:
是指从某一初始时刻起,物体的振动状态再次恢复到初始时刻的过程。
(6)振幅A:
振动物体离开平衡位置的最大距离。
(7)周期T:
振动物体完成一次全振动所需的时间。
质点振动一个周期通过的路程为4A,半个周期通过的路程为2A。
(8)频率f:
单位时间内完成全振动的次数。
固有频率等于自由振动时的频率.
(9)受迫振动:
物体在周期性驱动力作用下的振动。
物体作受迫振动的频率等于驱动力的频率。
例1、在曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇把,曲轴可以带动弹簧振子上下振动。
开始时不转动摇把,让振子自由上下振动,测得其频率为2HZ;然后以60r/min的转速匀速转动摇把,当振子振动稳定时,它的振动周期为
A.0.25sB.0.5sC.1sD.2s
解析:
此处振子作受迫振动,振动频率等于驱动力的频率,故选C
(10)共振:
当驱动力的频率等于物体的固有频率时发生共振。
共振时振幅最大。
例题2、把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这样就做成了一个共振筛。
筛子在做自由振动时,完成10次全振动用时15s,在某电压下,电动偏心轮转速是36r/min。
已知增大电压可以使偏心轮转速提高;增加筛子质量,可以增大筛子的固有周期,那么要使筛子的振幅增大,下列哪些做法是正确的
A.提高输入电压B.降低输入电压
C.增加筛子的质量D.减少筛子的质量
解析:
选A、C。
筛子的固有周期是1.5s,驱动力的周期为1.67s,那么要使筛子的振幅增大,就要使固有周期等于驱动力的周期,因此可以增大筛子的固有周期或减小驱动力的周期,根据题意可判定正确的做法是增加筛子的质量或提高输入电压。
(11)简谐运动:
回复力与位移成正比、且总指向平衡位置的振动,即符合F=-kx的振动。
振子每次经过同一点时各物理量大小必相同。
简谐运动的对称性:
关于平衡位置对称的点各物理量大小必相同。
简谐运动的周期性:
经过周期的整数倍,质点回到原位置,各物理量均与原来一样;经过二分之一周期的奇数倍,质点到达原位置的对称点,位移、速度、加速度均与原来等大反向。
简谐运动的等时性:
路程对称或重合的两过程所用的时间相同。
例3、一个作简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点,历时0.5s(图5-7).过B点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点,则质点振动的周期是[]
A.0.5s.B.1.0s.C.2.0s.D.4.0s.
解析:
根据题意,由振动的对称性可知:
AB的中点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点两侧;质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为
质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间
所以,质点从O到D的时间
所以T=2s.答C.
(12)振动的能量:
振幅越大,能量越大。
E=
2、典型模型-----弹簧振子
弹簧振子周期:
弹簧振子的周期只由振子的质量和弹簧的劲度系数决定
例4、一个弹簧振子,第一次被压缩X后释放做自由振动,周期为T1,第二次被压缩2X后释放做自由振动,周期为T2,则两次振动周期之比T1:
T2为(),机械能之比()
A.1:
1B.1:
2C.2:
1D.1:
4
解析:
振动的周期只决定于振动体本身固有的性质,对弹簧振子则由振子的质量与弹簧的劲度系数决定,与起振时的初始位移大小无关.第一问选A;。
根据公式E=
知机械能由振幅决定,本题中振幅之比为.1:
2,故机械能之比为1:
4,第二问选D。
例5、如图所示,A、B叠放在光滑水平地面上,B与自由长度为Lo的轻弹簧相连,当系统振动时,A、B始终无相对滑动。
已知mmA=3m,mB=m,当振子距平衡位置的位移x=L0/2时,系统的加速度为a,求A、B间摩擦力F与位移x的函数关系。
解析:
设弹簧的劲度系数为k,以A、B整体为研究对象,系统在水平方向上做简谐运动,其中弹簧的弹力作为系统的回复力,所以对系统运动到距平衡位置L0/2时,有kL0/2=(mA+mB)a,由此得k=8ma/L0
当系统的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、B具有共同加速度a',对系统有kx=(mA+mB)·a'①
k=8ma/L0,②
对A有Ff=mA·a'③
①②③结合有Ff=6ma/L0x
题后反思:
此题综合考查了受力分析、胡克定律、牛顿定律和回复力等概念,其解题关键是合理选取研究对象,在不同的研究对象中回复力不同。
此题最后要求把摩擦力Ff与位移X的关系用函数来表示,要将物理规律与数学有机结合。
例6、一弹簧振子在一条直线上做简谐运动,第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同,那么,下列说法正确的是[]
A.振子在M、N两点受回复力相同B.振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等D.从M点到N点,振子先做匀加速运动,后做匀减速运动
解析:
建立弹簧振子模型如图所示.由题意知,振子第一次先后经过M、N两点时速度v相同,那么,可以在振子运动路径上确定M、N两点,M、N两点应关于平衡位置O对称,且由M运动到N,振子是从左侧释放开始运动的(若M点定在O点右侧,则振子是从右侧释放的).建立起这样的物理模型,这时问题就明朗化了.因位移、速度、加速度和回复力都是矢量,它们要相同必须大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称,振子回复力应大小相等、方向相反,振子位移也是大小相等,方向相反.由此可知,A、B选项错误.振子在M、N两点的加速度虽然方向相反,但大小相等,故C选项正确.振子由M→O速度越来越大,但加速度越来越小,振子做加速运动,但不是匀加速运动.振子由O→N速度越来越小,但加速度越来越大,振子做减速运动,但不是匀减速运动,故D选项错误.由以上分析可知,该题的正确答案为C.
题后反思:
(1)认真审题,抓住关键词语.本题的关键是抓住“第一次先后经过M、N两点时速度v相同”.
(2)要注意简谐运动的周期性和对称性,由此判定振子可能的路径,从而确定各物理量及其变化情况.
(3)要重视将物理问题模型化,画出物理过程的草图,这有利于问题的解决.
例7、如图所示,一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上,弹簧的上端与盒子A连接在一起,下端固定在地面上,盒子A内腔为正方体,一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内,已知弹簧的劲度系数为
,盒子A和金属小球B的质量均为2kg,将盒子A向上提高,使弹簧从自由长度伸长10cm后,由静止释放,不计阻力,盒子A和金属小球B一起做竖直方向的简谐振动,g取10m/s2。
已知弹簧处在弹性限度内,对于同一弹簧,其弹性势能只决定于其形变的大小,试求:
(1)盒子A做简谐振动的振幅
(2)盒子A运动到最高点时,盒子A对金属小球B的作用力方向(不要求写出理由)
(3)金属小球B的最大速度。
分析:
由题可知:
研究对象为:
A、B弹簧组成的系统
状态:
做简谐振动。
振幅是指物体离开平衡位置最大位移的大小。
(1)平衡位置时,弹簧被压缩了
,
盒子的振幅为
(2)盒子A在最高点时
对于AB整体,回复力为
对于B:
回复力为
因此A对B的力方向向下
(3)小球B运动到平衡位置时的速度最大,从最高点到平衡位置的过程中,弹力做的正功与负功相等,总功为零,由动能定理得
3、典型模型--------单摆
1.单摆的摆球所受重力的切向分力充当回复力,绳子拉力与重力的径向分力的合力充当向心力。
单摆作简谐运动的条件:
摆角小于10o
2.关于单摆周期公式的理解
(1)从单摆周期公式T=2
可看出,单摆周期与振幅和摆球质量无关。
(2)等效摆长:
摆长L是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离,如双线摆等。
如图所示,两轻绳吊一小球组成一个双线摆,已知两绳长度都等于
,两悬点等高,
平衡时悬线与水平水平方向成α角。
那么等效摆长为l
(3)等效重力加速度g'求法:
用单摆静止时绳的拉力除以摆球的质量
例题8、在下列情况下,能使单摆周期变小的是[]
A.将摆球质量减半,而摆长不变B.将单摆由地面移到高山
C.将单摆从赤道移到两极D.将摆线长度不变,换一较大半径的摆球
解析:
根据单摆周期公式T=2
知影响单摆周期的因素为摆长l和重力加速度g.当摆球质量减半时摆长未变,周期不变;当将单摆由地面移到高山时,g值变小,T变大;当单摆从赤道移到两极时g变大,T变小;当摆线长度不变,摆球半径增大时,摆长l增大,T变大.所以选C.本题答案为C.
[小结]
(1)本题涉及单摆周期公式、影响单摆周期的因素、影响重力加速度的因素等知识.
(2)抓住各知识点间的联系,进行推理分析是顺利解决本题的关键.
例9、在海平面校准的摆钟,拿到某高山山顶,经过t时间,发现表的示数为t′,若地球半径为R,求山的高度h(不考虑温度对摆长的影响).
解析:
由钟表显示时间的快慢程度可以推知表摆振动周期的变化,而这种变化是由于重力加速度的变化引起的,所以,可以得知由于高度的变化引起的重力加速度的变化,再根据万有引力公式计算出高度的变化,从而得出山的高度.一般山的高度都不是很高(与地球半径相比较),所以,由于地球自转引起的向心力的变化可以不考虑,而认为物体所受向心力不变且都很小,物体所受万有引力近似等于物体的重力.
(1)设在地面上钟摆摆长l,周期为T0,地面附近重力加速度g,拿到高山上,摆振动周期为T′,重力加速度为g′,应有
(2)在地面上的物体应有
在高山上的物体应有
得
题后反思:
(1)本题涉及知识点:
单摆的周期及公式,影响单摆周期的因素,万有引力及公式,地面附近重力与万有引力关系等.
(2)解题关键:
抓住影响单摆周期的因素g,找出g的变化与t变化的关系,再根据万有引力知识,推出g变化与高度变化关系,从而顺利求解.
例10、如图所示,光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长,今有两个小球(可视为质点),同时由静止释放,其中甲球离圆槽最低点O远些,它们第一次相遇地点在()
A.O点B.O点偏左C.O点偏右D.无法确定
解析:
甲、乙两球做类似单摆的简谐运动,其周期与振幅无关。
甲、乙到达O点的时间均为四分之一周期,选A
题后反思:
本题着重考察单摆的周期与振幅无关。
例11、如图所示,光滑圆弧轨道的半径为R,圆弧底部中点为O,两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点,现同时释放两球,使两球正好在O点相碰。
问h应为多高?
解析:
对球的分析与解答同前
对B球振动周期
到达O点的时间为
题后反思:
在解决与振动有关的问题时,要充分考虑到振动的周期性,由于振动具有周期性,所以此类问题往往答案不是一个而是多个。
例12、将一个摆长为
的单摆放在一个光滑的,倾角为a的斜面上,其摆角为b,如图。
下列说法正确的是
A.摆球做简谐运动的回复力F=mg.sina.sinb
B.摆球做简谐运动的回复力为mgsina
C.摆球做简谐运动的周期为
D.摆球在运动过程中,经平衡位置时,线的拉力为T=mgsina
解析:
由题可知等效重力加速度为gsina,回复力为mg.sina在水平方向的分量,故A对B、C错,在平衡位置时拉力T和mg.sina.合力沿斜面向上提供向心力,T〉mgsina
例13、一质量为m,带电量为q的小球,用绝缘细线悬
挂于O点,摆长为l,在水平匀强电场中静止时绝缘细向与竖直方向夹角为θ,如图所示,现让小球在竖直平面内偏离静止位置一个很小的角,则其振动周期为多大。
(重力加速为g)
解析:
答案为2π
。
单摆的周期T=2π
,但要注意其中的g并不是任何情况下都相同,这种情况下小球的平衡位置不在竖直的最低点,可把重力G和电场力F的合力等效为一个新的重力G’=G/cosθ=mg/cosθ,所以本题只要把单摆的重力加速度等效为g’=g/cosθ即可。
4、简谐运动振动图象
图像描述的是一个简谐振动的振子位移随时间变化规律。
任意时刻振动方向的判断:
上坡上,下坡下。
注意:
只有简谐运动的图象才是正、余弦函数的图象。
图象可以告诉我们振幅、周期、任意时刻的位移。
例14、如图所示,表示某弹簧振子的振动图象。
由图象所给出的信息回答下列问题:
(1)计时开始时振子处在什么位置?
(2)从t=2×10-2s时刻到t=4×10-2s时刻的时间内振子通过的路程是多少?
(3)振子经过多长时间经过平衡位置一次?
(4)振子振动固有频率是多少?
解析:
(1)由于0时刻振子的位移为正的最大值,故可知振子在最大位移处,而且由平衡位置指向该点的方向被取作正方向。
(2)这段时间内,振子从负最大位移处运动到正最大位移处,通过的路程是2cm。
(3)图象与t轴的交点时刻表示振子通过平衡位置,所以振子每隔2×10-2s通过平衡位置一次。
(4)由图可知,T=4×10-2s,故f=1/T=25Hz
例15、如图是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图可推断,振动系统
A.在t1和t3时刻具有相等的动能和相同的动量
B.在t3和t4时刻具有相等的势能和相同的动量
C.在t4和t6时刻具有相同的位移和速度
D.在t1和t6时刻具有相同的速度和加速度
解析:
选B.t1和t3时刻振子的位移相等,其速度大小也相等,但方向相反,所以这两个时刻振子动能相同,动量不相同,t4和t6时刻情况相同;在t3和t4时刻振子位移大小相等,但方向相反,这两个时刻振子速度大小、方向都相同,动能、动量也相同,弹簧的形变量相等,所以弹簧的势能相等;t1和t6两时刻速度相同,但加速度相反。
例16、如图,一块涂有炭黑的玻璃板,质量为2kg,在拉力F的作用下,由静止开始竖直向上运动,一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线,量得OA=1cm,OB=4cm,OC=9cm。
求外力F的大小(g=10m/s2不计阻力)
解析:
根据振动的等时性,OA、AB、BC三阶段的时间相等,tOA=tAB=tBC=T/2=0.1s,由AB-OA=BC-AB知玻璃板做匀加速直线运动AB-OA=at2
再由F-mg=ma解得F=24N
二、机械波概念
1、机械波:
机械振动在介质中的传播。
分类:
横波:
质点的振动方向与波的传播方向垂直。
纵波:
质点的振动方向与波的传播方向在一直线上。
(1)波速v:
运动状态或波形在介质中传播的速度;同一种机械波的波速由介质决定。
注:
在横波中,任一波峰(波谷)在单位时间内传播的距离等于波速。
(2)周期T:
即质点的振动周期,由波源决定。
(3)波长λ:
在波动中,振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。
注:
质点不随波迁移;所有质点的起振方向与振源的起振方向相同。
在横波中,两个相邻波峰(波谷)之间的距离为一个波长。
结论:
(1)波在一个周期内传播的距离恰好为波长。
由此:
①v=λ/T=λf;λ=vT.②波长由波源和介质决定。
(2)质点振动nT(波传播nλ)时,波形不变。
(3)相隔波长整数倍的两质点,振动状态总相同;相隔半波长奇数倍的两质点,振动状态总相反。
(4)波的图象中,波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向,这三者中已知任意两者,可以判定另一个。
(口诀为“上坡下,下坡上”或用同侧法。
)
例17、如图所示为a、b两列声波在同一媒质中传播的波形图,则
A.两声波传播波速关系vb>vaB.两声波传播波速关系vb=va
C.两声波的频率关系fb>faD.两声波的频率关系fb=fa
解析:
选B、C。
机械波在介质中的传播速度与介质有关,而与波长、频率无关;由图象可看出两波波长λa>λb,再由v=λf知两波频率fa 例18、如图1所示,一列沿x轴正方向传播的机械横波在某一时刻的图象,从图中可看出这列横波的振幅是多少米? 波长是多少米? P点处的质点在此时刻的运动方向如何。 解析: 从波的图象(图甲)可直接读出振幅0.04m,波长2m,判断P处质点此时刻的运动方向用同侧法直接可 得出此时刻在P处的质点是沿正方向运动。 例19、一列横波在x轴线上传播着,在t1=0和t2=0.005s时的波形曲线如图所示: ①读出简谐波的波长、振幅分别是多少? ②设周期大于(t2-t1).如果波向右传播,波速多大? 如果波向左传播,波速又是多大? 1设周期小于(t2-t1).且波速为6000m/s,求波的传播方向. 2 ①8,0.2 故知波向左传播. 例20、一简谐横波在图中x轴上传播,实线和虚线分别是t1时刻和t2时刻的波形图,已知t2-t1=1.0s. 由图判断下列哪一个波速是不可能的() A.1m/sB.3m/sC.5m/sD.10m/s 解析: 据图可知波长λ=4m,因为不知道波的传播方向,因此有两种可能,所以波的周期: 或 (n=0,1,2,3,…) 则波速 ,(n=0,1,2,3,…),可能值为1,5,9,… ,(n=0,1,2,3,…),可能值为3,7,11,… 则波速不可能为10m/s,故正确选项为D. 例21、如图所示,是一列简谐横波在t=0时刻的波形图,并且此时波沿x轴正方向传播到x=2.5cm 处,已知从t=0到t=1.1s时间内,P点第三次出现在波峰位置,则P点的振动周期是多少? 经过 多长时间另一质点Q第一次到达波峰? 解析: 由于波沿x轴正方向传播,媒质中前质点带动后面质点振动,质点P将在T/4后到达零位 置质点现在的位置,所以质点P运动方向向下,经过3T/4将出现在第一次波峰处,故P质点第 三次到达波峰经历时间为(2+ )T=1.1S,所以T=0.4S,波速v=l/T=2/0.4=5m/s,由图可知此时位置1的质点在波峰,它要传到位置6的Q质点所经历的时间t=S/v=1S,所以经过1S质点Q第一次到达波 峰。 例22、在均匀介质中有一个振源S,它以50HZ的频率上下振动,该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。 开始时刻S的速度方向向下,试画出在t=0.03s时刻的波形。 解: 从开始计时到t=0.03s经历了1.5个周期,波分别向左、右传播1.5个波长,该时刻波源S在平衡位置且速度方向向上,所以波形如右图所示。 例 23、一列横波上有相距8m的A、B两点,波的传播方向是由A向B,波长大于2.5m,如图所示的是A、B两质点的振动图象,求这列波可能的波速. 解: 由振动图象得: 质点振动周期T=0.4s B点比A点晚振动的时间 (n=1,2,3,…)(2分) 所以A、B间的距离为: (n=0、1、2、3、…)(2分) 则波长为: (2分) 因为λ>2.5m,所以n=0,1,2(2分) 例24、如图所示,一简谐横波在x轴上传播,轴上a、b两点相距12m.t=0时a点为波峰,b点为波谷;t=0.5s时a点为波谷,b点为波峰,则下列判断中正确的是(B) A.波一定沿x轴正方向传播B.波长可能是8m C.周期可能是0.5sD.波速一定是24m/s 解析: 由波的周期性可知: (n=0,1,2,3,…)① (n=0,1,2,3…)② ∴波的传播方向不确定.由①式得: ,当n=1时,λ=8m. 由②式得 ,T≠0.5s 由公式 知波速不确定.故正确选项为B. 例25、如图所示,甲为某一波动在t=0.1s时刻的图像,乙为参与波动的某一质点的振动图像。 (1)两图中AA′、OC各表示什么物理量? 量值各是多少? (2)说明两图中OA′B段图线的意义。 (3)画出再经过0.25s后的波动图和振动图像。 解析 (1)甲图中AA′表示沿波的传播方向,距波源1cm处,质点在t=1.0s离开平衡位置的位移值为-0.2m。 乙图中AA′表示振动质点在t=0.25s时位移值为-0.2m 甲图中OC为波长,值为4cm,乙图中OC为周期,值为1秒 (2)甲图中OA′B表示t=1.0s时,沿波传播方向离波源2cm范围内各质点位移情况 乙图中OA′B表示某质点从起振到t=0.5s内各时刻位移情况 (3)再过0.25ss波形图像如图甲所示 再过0.25s后振动图像如图乙所示 2、叠加原理: 两列波相遇时、分离后都能保持原来的特性沿原来方向传播,在两列波重叠的区域里,任一个质点的总位移都等于两列波分别引起位移的矢量和。 例26、一波源在绳的左端发出半个波①,频率为f1,振幅为A1;同时另一波源在绳的右端发出半个波②,频率为f2,振幅为A2;P为两波源的中点,如图所示,则下列说法中正确的是 A.两列波同时到达P点 B.两列波相遇时,P点振幅可达A1+A2 C.两列波相遇后,各自仍保持原来的波形独立传播 D.两列波相遇后,绳上的波峰可达A1+A2的点只有一点,此点在P点的左端 解析: 选A、C、D,因两列波在同一介质(绳)中传播,所以波速相同,波的前沿到P点的距离相等,由图可知λ1>λ2,说明它们的波峰离P点的距离不等,波虽同时到达P点,但波峰不会同时到达P点,所以P点振幅不能达A1+A2,两列波波峰同时传到的点应在P点的左侧。 3、波的干涉 条件: 两列机械波的频率必须相同、相差恒定。 干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件: ①最强: 该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍,即δ=nλ ②最弱: 该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍,即 现象: 在稳定的干涉区域内,振动加强点始终加强;振动减弱点始终减弱。 例27、如图所示表示两列相干水波的叠加情况,图中的实线表示波峰,虚线表示波谷。 设两列波的振幅均为5cm,且图示的范围内振幅不变,波速和波长分别为1m/s和0.5m。 C点是BE连线的中点,下列说法中正确的是() A.C、E两点都保持静止不动
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