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高数习题集附答案
第一章函数与极限
§函数
必作习题
P16-184⑸⑹(8),6,8,9,11,16,17
必交习题
、一列火车以初速度v0,等加速度a出站,当速度达到W后,火车按等速运动前进;从出站经过T时间后,又以等减速度2a进站,直至停止。
(1)写出火车速度v与时间t的函数关系式;
⑵作出函数
V=v(t)的图形。
二、证明函数y
X
=——在(-%+£)内是有界的。
X+1
三、判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)
=x2sin1
f(x)
2x
-1
2x
+1
f(x)
=In(X+Jx2+1)。
四、证明:
若f(x)为奇函数,且在x=0有定义,则f(0)=0。
§初等函数
必作习题
必交习题
、设f(X)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:
(1)f(ex);
⑵f(lnX);
⑶f(arcsinx);
⑷f(cosX)。
二、
(1)设f(x)=X2ln(1+x),求f(e=);
(2)设f(X+1)=x2-3x+2,求f(x);
⑶设f(x^—,求f[f(x)],f{1}o(xH0,XH1)
1-xf(x)
三、设f(x)是x的二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)。
E5r2—x,x<0「X2,x<0
四、设f(x)dx+2,x>0,g(x^i-x,x>0,求f[g(x)]。
一、写出下列数列的前五项
(1)XnM^-sin
3n
n3
⑵Xn
⑶X2n
二、已知X
Jn2+1
§3数列的极限
必作习题
必交习题
+…+
Jn2+n
1
=1+
2
+…+
1
,X2nJ.—
n
(—1)n
1+(T)n
用定义证明:
nimxn=0
一、用极限的定义证明:
lxmi
二、用极限的定义证明:
§4函数的极限
必作习题
必交习题
3=4。
x-1
lim
=0处的左、右极限,并指出是否有极限:
三、研究下列函数在X
|X|
(1)f(x)」';
X
1-X
⑵f(x)=
0
1+x2
一、举例说明(当XT大量。
§5无穷大与无穷小§6极限运算法则
必作习题
P63
1,2,3
必交习题
(1)两个无穷小的商不一定是无穷小;
(2)无界量不一定为无穷
二、求下列数列的极限:
+2n2
1
⑴nm(ni
+■■■
+呻)=
n
11
⑶nm(1-i+9
1
27
+…
三、求下列函数的极限:
(吧
仮-1
X-1=
(X+h)3-x’
⑶lim(Jx(x+a)-X)=
x_^-bc
⑷匹
(+"[)=
四、设lim
x—Jpc
(宀)x5八2—,求a,b。
x’+x2-1
§极限存在准则
两个重要极限必作习题
4
必交习题
§8无穷小的比较
一、求下列极限:
3
⑴limxsin-=YX
⑵lim
XT
sin2X—sin2a
X-a
⑶lim
^0
sin4x
-1
⑷lim
x_^pC
lx+1丿
⑸lim
XTO
二、用极限存在准则求证下列极限:
(1)设ai>0(i=1〜m),M=max^,…,am};证明:
厚”昇煜十…+amn=M
⑵设Xi>血,x*4X0(22…)。
证明此数列收敛,并求出它的极限。
3+Xn
三、确定k的值,使下列函数与
1
⑴-"x;
1+x
Xk,当XT0时是同阶无穷小:
(3)+tgx--sinxo
三、用极限定义证明:
(1)
若XnTa(nT处),则对任一自然数k,也有人*Ta(nT处);
若XnTa(nT处),则|xnH1a|(nT乂),并举例说明反之未必成立;
若|xnH0(nT必),则XnTO(nT处)。
四、设数列{xn}有界,又imyn=0,证明imXnyn=0。
§9函数的连续性与间断点
必作习题
P801,2,3
必交习题
、当x=0时下列函数f(X)无定义,试定义f(0)的值,使f(x)在x=0连续:
…VVTx-1
(1)f(x^——7;
J1+X-1
1
(2)f(X)=sinxsinX。
X
二、指出下列函数的间断点并判定其类型:
一、1+x
(1)f(x)=777^;
1+x
2
一、X-X
⑵f(X)=2
|x|(x2-1)
Xa0。
-1cx<0
[丄
⑶f(X)= jjn(1+x) X. 三、确定a和b,使函数f(x)=—一有无穷间断点x=0;有可去间断点x=1。 (X—a)(x—1) 四、设函数f(x)在(-,兄)上有定义,且对任何x1,x2有 f(Xi中X2)=f(Xi)+f(X2), 证明: 若f(x)在x=0连续,则f(x)在(=,址)上连续。 §0连续函数的运算与初等函数的连续性 §1闭区间上连续函数的性质 必作习题 必交习题 、欲使 在X=-1处连续,求a,b。 二、求下列极限: ln(X+a)Tna 1 (X+ex)x= ⑷lim(cosx)sinx=xtO 三、证明方程x'-3x=1至少有一根介于1和2之间。 四、设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,f(0)=f(2a),证明在区间[0,a]上至少存在一点Xo使得f(xo)=f(Xo+a)。
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