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《材料力学》自学辅导材料
材料力学-自学辅导材料
1.1
构件、载荷、抵抗破坏、变形
构件正常工作应有足够的承受载荷的能力:
强度、刚度、稳定性
强度:
抵抗破坏的能力
刚度:
抵抗变形的能力
稳定性:
保持原有平衡形态的能力
材料力学的任务:
满足以上要求,安全、经济,理论基础、计算方法
在学习理论的同时,应重视实验分析
1.2
变形固体的基本假设
连续性、均匀性、各向同性
连续性:
不留空隙(存在每个点,可将力学量表示为固体内点的坐标的函数)
均匀性:
固体内各处相同的力学性能
各向同性:
固体内沿任何方向相同的力学性能
各向异性材料:
木材、纤维织品、某些人工合成材料
1.3
内力:
构件内各部分间相互作用力因外力引起的附加值
内力概念的理解:
(1)构件内各部分间存在相互作用力
(2)外力将引起相互作用力的变化
(3)相互作用力的变化量(附加值)即为内力
(4)内力因外力引起
内力与构件的强度密切相关
截面法,内力系
内力系对某点取极限→应力(反映内力系在某点的强弱,集度)
应力为矢量:
正应力σ(西格玛),切应力τ(套)
应力的单位:
PaMPa
截面上的内力:
内力系简化得到的力和力偶
用截面法求截面上的内力,步骤见P4
(1)用平面将构件分成两部分,取其中之一为研究对象
(2)在截面上用内力替代
(3)利用研究对象在内外力作用下的平衡关系,求解截面上的内力
讲解例题
1.4
固体的变形:
宏观角度,微观角度
宏观角度:
固体的拉压弯剪扭
次宏观角度:
固体内线段长度的改变,固体内正交线段夹角的改变
微观角度:
固体内某点的变形
本小节的任务:
引入物理量来度量固体内某点的变形程度
应变概念的引入
应变(线应变):
从微观的极限概念引入应变的概念(类似应力概念的引入)
引入角度:
线段长度的改变
构件在发生变形时,实际构件内某点都会产生变形位移,为研究构件内某点沿某方向长度变化的程度,引入应变的概念
应变反映构件内某点沿某方向长度变化的程度
应变的符号:
ε(埃普西龙)
切应变概念的引入
切应变(角应变):
从微观的极限概念引入切应变的概念
引入角度:
正交线段夹角的改变
构件在发生变形时,实际构件内某点所在平面正交线段的夹角将会发生改变,为研究构件内某点在某平面内正交线段夹角的改变程度,引入切应变的概念
切应变反映构件内某点在某平面内正交线段夹角的改变程度
切应变的符号:
γ(伽玛)
综上,应变和切应变是度量固体内一点处变形程度的两个基本量
原始尺寸原理:
构件的变形及变形引起的位移极其微小,远小于构件的最小尺寸;故构件变形后,仍沿用构件变形前的形状和尺寸
材料力学研究的问题:
小变形
1.5简称:
拉压弯剪扭(把本节放到1.4前面讲)
材料力学的研究对象:
杆件
曲杆、直杆、等直杆
杆件的整体变形(宏观变形)
杆件的整体变形的基本形式:
拉伸:
外力的作用线与杆件轴线重合
压缩:
外力的作用线与杆件轴线重合
剪切
扭转
弯曲
基本变形、组合变形
2.1
轴向拉伸与压缩:
外力的作用线与杆件轴线重合
压杆:
轴向压缩、稳定性
2.2
轴向拉伸或压缩时杆件截面上的内力:
轴力
关于轴力正负号的规定:
拉伸为正,压缩为负
轴力图
拉(压)杆的强度问题:
轴力+横截面积→应力
轴向拉(压)杆,截面上各点正应力相等(均匀分布)
圣维南原理:
拉(压)杆端部的受力方式,分布力系,集中力
2.3
构件的强度计算:
应力,材料的力学性能(机械性能)
材料的力学性能:
在外力作用下,材料在变形、破坏等方面的特性,由实验测定
本节以低碳钢和铸铁为代表,介绍材料在拉伸时的力学性能
低碳钢拉伸时的力学性能
在低碳钢拉伸时,绘制应力-应变曲线(σ-ε曲线),对曲线各阶段进行划分
弹性阶段
屈服阶段
强化阶段
局部变形阶段
弹性阶段:
σ与ε的关系呈直线
σ=Eε(胡克定律)常量E为弹性模量
直线最高点对应的应力σp为比例极限
在弹性阶段,材料为线弹性的
弹性变形、残余变形、塑性变形
屈服阶段:
应力基本保持不变,而应变明显增大
屈服点(屈服极限)σs:
衡量材料强度的重要指标
强化阶段:
强度极限(抗拉强度)σb:
曲线最高点所对应的应力,是材料能承受的最大应力,是衡量材料强度的另一重要指标
局部变形阶段
缩颈现象
伸长率δ(得尔塔)
伸长率是衡量材料塑性的指标
δ>5%——塑性材料:
碳钢、黄铜、铝合金
δ<5%——脆性材料:
辉铸铁、玻璃、陶器、石料(抗拉强度较低,不宜作为抗拉构件)
断面收缩率ψ:
衡量材料塑性的指标
卸载定律:
卸载过程中按直线规律变化,且平行
冷作硬化:
预拉到强化阶段卸载,再次加载时,可是比例极限提高,但塑性降低
对于没有明显屈服阶段的塑性材料,其屈服极限的确定方法
名义屈服极限(条件屈服极限)σ0.2:
产生0.2%塑性应变时的应力
2.4
铸铁的压缩试验:
试样在较小的变形下突然破坏,破坏断面的法线与轴线大致成45°~55°的倾角。
脆性材料的抗压强度远比抗拉强度高,宜作为抗压构件
2.5
失效:
不能保持应有的形状和尺寸
强度、刚度、稳定性不足,都可引起失效,
极限应力,许用应力[σ],安全因数
例题:
注重构件的实际尺寸
安全因数的确定
2.6
抗拉(抗压)刚度:
EA
泊松比μ(横向变形因素)
2.7-2.9不讲
2.10
应力集中:
应构件外形突然变化,造成局部区域内应力显著增大的现象
理论应力集中因数
对于脆性材料,应力集中对强度的影响,比较严重
对于塑性材料,在周期性变化的应力,或冲击荷载作用下,应力集中对强度的影响较严重
2.11
剪切
剪切的特点:
作用用于构件某一截面两侧的力,大小相等、方向相反、均平行于该截面且相距很近,使构件的两部分沿该截面发生相对错动的变形
书中的公式计算出来的是平均切应力(名义切应力)
实际上切应力不是均匀分布,采用名义极限应力、安全因素来弥补计算缺陷
剪切计算的关键:
确定剪切面及面积
挤压
挤压面应力分布比较复杂,假设应力均匀分布
挤压计算的关键:
确定挤压面及面积
挤压面为平面:
挤压面积就为接触面面积
挤压面为圆柱面:
挤压面积就为接触面的投影面积
3.1
扭转的概念:
力偶矩
扭转的实例:
轴
本章扭转的研究对象:
圆截面等直杆的
3.2
从轴的实例入手,提出外力偶矩的计算公式
扭矩的正负号规定:
右手螺旋法则
扭矩图的绘制
技巧:
假设截面上的扭矩为正,从计算出的扭矩正负号来判断转向
3.3
薄壁圆筒扭转时的切应力
切应力互等定理
纯剪切:
单元体的上下左右4个侧面上,只有切应力并无正应力
纯剪切的概念
剪切胡克定律
3.4
先讲了薄壁圆筒的扭转,现在讲圆轴的扭转
从变形几何关系、物理关系、静力关系三个方面推导公式
在分析计算前,先做圆轴扭转的平面假设,整个推导过程以平面假设为基础(此假设是人为制定的,但后来发现符合实验结果,且与弹性力学的分析一致)
推导公式只适用于圆截面等直杆
τρ表示横截面上距圆心为ρ处的切应力
由公式(3.8)计算切应力
引入截面极惯性矩IP和抗扭截面系数Wt
对于实心圆轴
对于空心圆轴,其中α=d/D
圆轴扭转的强度条件
3.5
在扭矩T作用下圆轴的转角φ
GIP称为圆轴的抗扭刚度
单位长度扭转角φ′
以单位长度扭转角作为刚度控制要求
工程界习惯将弧度单位换算成度的单位,π=180°
3.6-3.7不讲
4.1
静矩(相对某轴的一次矩)
可利用合力之矩定理,计算形心的坐标
1、计算函数图形的形心(利用微积分定义)
2、已知规则组合图形,计算静矩及形心(工字钢)
4.2
惯性矩(相对某轴的二次矩)(恒为正)
用惯性矩计算惯性半径
极惯性矩:
图形对于任何一对相互垂直的轴的惯性矩之和
矩形的惯性矩常用,需记住
圆形对圆心的极惯性矩
可发现,在3.4节中,已将截面极惯性矩IP引入到公式中
组合图形的惯性矩:
各图形惯性矩的代数和
4.3
惯性积
若图形的对称轴位于坐标系的一根轴上,则图形对于此坐标系的惯性积为零
4.4
平行移轴公式:
(4.14)
针对形心的平行移轴
意义在于:
图形相对形心轴的惯性矩较好记忆,利用平行移轴公式,可方便计算图形相对任意平行轴的惯性矩,而不必用定义计算
4.5
主惯性轴(主轴)
主惯性矩
性质:
1、图形对主惯性轴的惯性积为零
2、对通过某点的所有轴来说,对主轴的两个主惯性矩,一个是最大值,另一个是最小值
形心主惯性轴(形心主轴):
通过图形形心的主惯性轴
5.1
对称弯曲
弯曲内力
弯曲应力
弯曲变形
5.2
支座:
固定铰支座:
两个方向上的力,无力矩
可动铰支座:
一个方向上的力,无力矩(无轴向力)
固定端支座(固定端):
两个方向上的力,有力矩
载荷
集中力(力的分布范围远小于主轴的长度)
均布载荷(力在某一范围内是均匀分布的)
自重也是均布载荷
载荷集度:
单位长度内的载荷
载荷集度不一定是均匀的
静定梁:
支座反力可由静力平衡方程确定
超静定梁:
支座反力不能全由静力平衡方程确定(结构力学)
简支梁:
一端固定铰支座,另一端可动铰支座
外伸梁:
一端铰支座,另一端为自由端
悬臂梁:
一端为固定端,另一端为自由端
两支座间的距离为跨度
5.3
弯曲内力:
剪力、弯矩
已知静定梁上的载荷,利用平衡方程求出支座反力(理论力学解决)
作用于梁上的外力已知,求解梁横截面上的内力(材料力学解决)
横截面上的剪力:
与横截面相切的分布内力系的合力
横截面上的弯矩,与横截面垂直的分布内力系的合力偶之矩(弯矩)
剪力正负号的规定:
截面左段相对右段向上错动,剪力为正
弯矩正负号的规定:
截面弯曲变形凸向下,弯矩为正
对于弯矩的求解,可以看成是力矩的叠加,但应注意正负号
5.4本节为重点
以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置
剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
结合例题来讲解
关键:
合理采用截面法
5.5
剪力图和弯矩图的绘制总结
①在梁的某一段内无分布载荷作用,剪力为常量(平直线),弯矩图为斜直线
②在梁的某一段内作用均布载荷,剪力图为斜直线,弯矩图为抛物线
若分布载荷向下,则弯距图抛物线为向上凸的曲线
③在剪力为零的截面上,弯矩为极值
④在集中力作用的截面,剪力将突变(改变量为集中力的大小),弯矩图的斜率发生变化,形成转折点,弯矩的极值可能出现
⑤在集中力偶作用的截面,弯矩将突变(改变量为集中力偶的大小),弯矩的极值可能出现
以上结论为指导,不必计算剪力方程和弯矩方程,可直接绘制剪力图和弯矩图
5.6不讲
6.1
横力弯曲:
既有弯矩又有剪力
纯弯曲:
只有不变的弯矩,不剪力
在简支梁上作用对称于中点的一对集中力,在梁的中间段即出现纯弯曲
回顾弯曲内力:
剪力和弯矩的概念
剪力:
与横截面相切的内力系的合力,与切应力相关
弯矩:
与横截面垂直的内力系的合力偶之矩,与正应力相关
纯弯曲:
横截面上只有正应力
在横截面方向做出的平面假设
根据纯弯曲的实验结果,做出弯曲变形的平面假设:
梁的横截面变形后仍保持为平面,且仍然垂直于变形后的梁轴线
在纵向方向做出的纵向线段间无正应力假设
先假设纵向线段
中性层:
线段长度不变的一层纵向线段
中性轴:
中性层与横截面的交线
回顾5.1节的对称弯曲:
所有外力都作用于纵向对称面内
综上所述,纯弯曲变形的两个假设
平面假设,纵向线段间无正应力
6.2
在弯矩作用下将引起正应力,本节推导在纯弯曲时已知弯矩求正应力的公式
公式推导分为几何、物理和静力三方面
变形几何关系:
纵向线段的应变与它到中性层的距离成正比
物理关系:
在横截面上,任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比
沿截面高度,正应力按直线规律变化
静力关系
中性轴必定通过截面形心
抗弯刚度
最终得到纯弯曲时,梁横截面上弯曲正应力的计算公式
6.3
可将纯弯曲正应力公式应用于横力弯曲
对公式6.3进行进一步分析,可发现正应力不仅与弯矩有关,还与截面的形状和尺寸有关
最大正应力不一定在弯矩最大的截面上
抗弯截面系数:
与截面的几何形状有关
6.4
按梁截面的形状,分情况讨论弯曲切应力(对应于剪力)
矩形截面梁
对于矩形截面上切应力的分布,做以下两个假设
1、横截面上各点切应力的方向皆平行于剪力
2、切应力沿截面宽度均匀分布
由切应力互等定理和静力平衡方程计算,得出切应力的计算公式
沿截面高度切应力按抛物线规律变化:
在截面上下边缘各点处,切应力为零
最大切应力出现在中性轴上,为平均切应力的1.5倍
工字型截面梁
腹板上的实际切应力也是按抛物线规律分布,但最大切应力和最小切应力相差很小,可以认为腹板上的切应力大致是均匀分布
计算结果表明,工字型截面上的剪力,绝大部分由腹板来承担
圆形截面梁
切应力分布不复杂,不讨论
最大切应力在中性轴上,为平均切应力的4/3倍
通常情况下,满足弯曲正应力强度要求的梁,一般都能满足切应力强度条件
6.5
合理布置梁的支座
合理布置载荷
选择合理的截面形状:
为充分利用材料,应尽可能把材料放到在离中性轴较远处
空心圆截面比实心圆截面合理
矩形截面比圆截面合理
工字型比矩形优越
对抗拉和抗压强度相等的材料,宜采用对中性轴对称的截面
对抗拉和抗压强度不相等的材料,宜使中性轴偏于受拉一侧,使拉应力和压应力以同样的程度接近各自的许用应力
等强度梁
变截面梁:
沿轴线截面尺寸变化的梁
在弯矩较大的部位采用较大的截面
在弯矩较小的部位采用较小的截面
阳台的外伸梁(变截面)新建房屋中已用得较少
目的:
充分发挥材料的作用,减轻自重
等强度梁:
使变截面梁各横截面上的最大正应力都相等,且都等于许用应力
应用:
叠板弹簧:
车厢的弹性支承物
阶梯轴
7.1
挠曲线
挠度
转角:
弯曲变形后,横截面仍然垂直于挠曲线,于是将转过一个角度θ
挠曲线法线与y轴的夹角
挠曲线切线与x轴的夹角(挠曲线的倾角)
近似等于挠曲线的斜率
度量弯曲变形的两个基本量:
挠度,转角
刚度条件:
限定最大挠度和最大转角
7.2
仍然将纯弯曲时推导的公式用于横力弯曲
原因:
跨度远大于截面高度的梁,剪力对弯曲变形的影响很小,可以忽略
推导出挠曲线的近似微分方程
7.3
积分法为求转角和挠度的最基本原理
由挠曲线的近似微分方程,推导转角方程和挠曲线方程
依据边界条件和连续性条件,确定方程中的积分常数,进而确定转角方程和挠曲线方程
7.4本节为重点
挠曲线的近似微分方程是线性方程,因此方程的解可以叠加
当梁上有多种载荷共同作用时,可分别求出每个载荷单独作用下的变形,然后将各个载荷单独引起的变形叠加
表7.1梁在简单载荷作用下的变形,应熟记,在结构力学里常用
注意例7.5对外伸梁的分段简化处理
7.57.6不讲
7.7
1、减小弯矩:
使集中力靠近支座
减小跨度,增加支座
将集中力分散为分布力
2、选择合理的截面形状,增大截面惯性矩
工字形、槽形、T形截面优于矩形截面
3、弯曲变形与弹性模量有关
各种钢材弹性模量大致相等,故使用高强度钢材并不能明显提高弯曲刚度
8.1
之前讨论的都是横截面,现在讨论一下斜截面的情况
单向拉伸时,在斜截面上分别讨论正应力和切应力
在平行于轴线的纵向截面上,既无正应力也无切应力
单元体的应力状态代表一点的应力状态
应力分析的内容:
研究通过一点的不同截面上的应力变化情况
主平面:
切应力为零
主应力:
主平面上的正应力
每个点都有三个主应力
单向应力状态:
三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态(平面应力状态):
三个主应力中有两个不等于零
三向应力状态(空间应力状态):
三个主应力皆不等于零
8.2实例
二向应力状态实例:
密封的薄壁圆筒
构件表面
三向应力状态实例:
滚珠轴承:
滚珠与外圈接触点
火车车轮与钢轨接触点
8.3重点
很多情况横截面并非主平面
在二向应力状态下,已知通过一点的某些截面上的应力,求出通过这一点的其他截面上应力,从而确定主应力和主平面
正应力,以拉应力为正,压应力为负
切应力,以顺时针为正,逆时针为负
取斜截面,将应力分量投影,并列平衡方程,对正应力取极值
在正应力为最大或最小的平面上,切应力为零,便得到主应力
公式(8.9)(8.10)必记,确定主应力和主平面
公式(8.11)(8.12),确定最大切应力和最小切应力
最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°
8.4
将角度α消去,可进一步明确斜截面上,正应力和切应力之间的关系
应力圆(莫尔圆)
图解法,解析法
8.58.68.7不讲
8.8
现在研究实际构件危险点的应力状态——根本方法是实验
8.1需补充的要点
简单应力状态:
单向应力状态
复杂应力状态:
二向和三向应力状态
简单应力状态下的实验易实现
复杂应力状态下的实验难以实现
为解决此问题,需提出假说(强度理论)
强度理论认为,材料失效是由某一因素引起,故造成失效的原因与应力状态无关
需根据材料种类及适用条件,选用合适的强度理论
8.9
强度失效的主要形式:
断裂和屈服
断裂失效:
最大拉应力理论,最大伸长线应变理论
屈服失效:
最大切应变理论,畸变能密度理论
1、最大拉应力理论(第一强度理论)
认为最大拉应力是引起断裂的主要因素
公式(8.21)
应用于单向和二向拉伸,以及拉压二向应力状态下的脆性材料
2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)
认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素
公式(8.23)
3、最大切应力理论(第三强度理论)
认为最大切应力是引起屈服的主要因素
公式(8.25)
4、畸变能密度理论(第四强度理论)
认为畸变能密度是引起屈服的主要因素,
公式(8.27)
将以上4个公式写成统一形式(相当应力)
第一和第二强度理论——脆性材料(断裂):
铸铁,石料,混凝土,玻璃
第三和第四强度理论——塑性材料(屈服):
碳钢,铝,铜
9.1
基本变形:
拉伸,压缩,剪切,扭转,弯曲
组合变形:
由两种或两种以上基本变形组合而成的变形
叠加原理:
前提,小变形,胡克定律
9.2
拉弯,压弯:
将应力叠加
9.3不讲
9.4
扭弯
对于圆轴的校核:
第三强度理论:
公式(9.2)
第四强度理论:
公式(9.4)
10.1
细长杆件受压的失效:
压弯
临界压力(临界力):
压杆直线形状的平衡保持稳定
失稳(丧失稳定,屈曲):
曲线平衡
10.2
两端铰支细长压杆的欧拉公式(临界压力计算公式):
公式(10.2)
10.3
其他支座条件下细长压杆的临界压力
欧拉公式的普遍形式:
公式(10.6)
相当长度,长度因数
熟记长度因数:
两端铰支1
一端固定,另一端自由2
两端固定0.5
一端固定,另一端铰支0.7
10.4
临界应力
柔度(长细比)
欧拉公式的适用范围,公式(10.9),(10.10)
大柔度压杆
若不满足欧拉公式的适用范围,则采用经验公式
临界应力与柔度的直线公式
临界应力与柔度的抛物线公式
图10.13理解临界应力与柔度的关系
10.5
工作安全因数
重点:
压杆稳定性的校核计算
10.6提高压杆稳定性的措施
选择合理的截面形状
改变压杆的约束条件
合理选择材料
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