北师大版七年级下册第2章专题1相交线讲义设计.docx
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北师大版七年级下册第2章专题1相交线讲义设计.docx
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北师大版七年级下册第2章专题1相交线讲义设计
专题2.1相交线
知识点整理
知识点一.平面内两直线的位置关系:
同一平面内,两条直线的位置关系有 相交 和 平行 两种,
Ø相交线:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
垂线:
两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
Ø平行线:
若两条直线没有公共点,我们称这两条直线为平行线.
补充:
①平面内n条直线两两相交,交点最少有1个,最多有
个.
②平面内n条直线两两相交,把平面最少分成2n部分,最多分成
部分.
知识点二.余角与补角
Ø余角:
如果两个角的和是 90°,那么称这两个角 互为余角,简称为 互余,称其中一个角是另一个角的 余角。
Ø补角:
如果两个角的和是 180°,那么称这两个角 互为补角,简称为 互补,称其中一个角是另一个角的 补角。
Ø余角的性质:
同角(或等角)的余角相等。
Ø补角的性质:
同角(或等角)的补角相等。
知识点三.对顶角与邻补角
Ø对顶角:
两个角有一个 公共顶点,并且它们的两边 互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
Ø对顶角的性质:
对顶角相等.
Ø
邻补角:
两个角有一条 公共边,它们的另一边 互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
注意:
①对顶角、邻补角既反映了两个角之间的数量关系,也反映了两个角之间的位置关系.
②对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角.
③邻补角互补,但互补的角不一定是邻补角.
知识点四.三线八角
如图,两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,形成八角,简称“三线八角”.
Ø同位角:
两个角都在直线AB、CD的同一方向,并且都在截线EF的同旁,这样的一对角叫做同位角。
“F”型同位角.
Ø内错角:
两个角都在直线AB、CD之间,并且分别在截线EF的两旁,这样的一对角叫做内错角。
“Z”型内错角.
Ø同旁内角:
两个角都在直线AB、CD之间,并且都在截线EF的同旁,这样的一对角叫同旁内角。
“U”型同旁内角.
注意:
①这三类角讲的都是位置关系,而不是大小关系;
②这三类角都是成对出现的,每对角都没有公共顶点,但有一条边落在同一条直线上.
◆类型1、余角和补角
【方法点拨】
Ø如果两个角的和是90°,那么这两个角互余.如果两个角的和是180°,那么这两个角互补.
Ø同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等.
Ø利用余角和补角求值时,有时可以设未知数,借助方程解题.
【例题1-1】(2019•端州区期末)若∠A的余角是70°,则∠A的补角是( )
A.20°B.70°
C.110°D.160°
【例题1-2】(2019•安庆期末)若∠1和∠2互余,∠1与∠3互补,则∠2与∠3的关系是()
A.∠3=90°+∠2B.∠3=90°-∠2
C.∠3=180°+∠2D.∠3=180°-∠2
【例题1-3】(2019•高邮市期末)一个角的余角比这个角补角的
大10°,则这个角的大小为.
〖反馈训练〗
训练1(2015春•连山县校级期末)一个角的度数是40°,那么它的余角的补角度数是()
A.130°B.140°C.50°D.90°
训练2(2019•扶风县期中改编)下列说法正确的是()
①如果∠1+∠2+∠3=180°,那么∠1、∠2、∠3互为补角;
②如果∠A+∠B=90°,那么∠A是余角;
③一个角的余角比它本身大;
④任何一个角都有余角;
⑤如果两个角相等,那么它们的补角也相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
训练3(2019•孝南区期末)将一副三角板按照如图所示的位置摆放,则图中的∠α和∠β的关系一定成立的是()
A.∠α与β互余B.∠α与∠β互补
C.∠α与∠β相等D.∠α比∠β小
训练4若一个角的补角是这个角的余角的3倍,这个角是.
训练5若一个角的补角比这个角的余角的4倍少15°,这个角是.
训练6若一个角的余角和这个角的补角的比是2:
5,这个角是.
◆类型2、相交线的交点个数问题
【方法点拨】
Øn条直线相交,最多有1+2+3+…+(n﹣1)=
n(n﹣1)个交点.
……
【例题2-1】(2019春•巴州区期末)平面上4条直线两两相交,交点的个数是()
A.1个或4个B.3个或4个
C.1个、4个或6个D.1个、3个、4个或6个
【例题2-2】(2019秋•江阴市校级月考)观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字,如图所示:
两条直线相交,最多有一个交点;三条直线相交,最多有三个交点;四条直线相交,最多有6个交点,像这样,11条直线相交,最多交点的个数是( )
A.7B.8
C.9D.10
〖反馈训练〗
训练1(2019秋•鄄城县期末)两条直线最多有一个交点,三条直线最多有三个交点,四条直线最多有6个交点,……,那么7条直线最多( )
A.28个交点B.24个交点C.21个交点D.15个交点
训练2(2019春•沙坪坝区校级月考)同一平面内两两相交的四条直线,最多有m个交点,最少有n个交点,那么mn是( )
A.1B.6C.8D.4
训练3(2019秋•旌阳区校级月考)在同一平面内的n条直线两两相交,最多共有36个交点,则n=( )
A.40个B.50个C.55个D.66个
◆类型3、对顶角、邻补角的识别
【方法点拨】
Ø对顶角必须具备两个条件:
有公共顶点;两边互为反向延长线.
Ø每两条直线相交的基本图形中都有两组对顶角、四组邻补角,数图形时按一定的顺序对原图进行分解入手.
【例题2-1】(2019春•罗湖区期中)如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有()毛
A.1个 B.2个C.3个D.4个
【例题2-2】.(2019春•陆川县期末)下面四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是()
A.
B.
C.
D.
【例题2-3】(2017秋•河源期末)如图,三条直线AB、CD、EF相交于点O,图中对顶角共有()对
A.3B.4C.5D.6
〖反馈训练〗
训练1(2015春•淮南校级月考)下列图形中∠1与∠2是对顶角的图形共有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
训练2(2019秋•温州期末)直线l3与l1,l2相交得如图所示的5个角,其中互为对顶角的是()
A.∠3和∠5B.∠3和∠4
C.∠1和∠5D.∠1和∠4
训练3(2018春•潮南区期中)如图,图中对顶角共有()对.
A.6B.11C.12D.13
训练4(2019春•雁塔区校级期中)如图,已知直线AB、CD、EF相交于点O,OG平分∠BOD,则图中对顶角(小于180°的角)有()对
A.3B.5C.6D.8
◆类型4、点到直线的距离
【方法点拨】
Ø平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
Ø直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
Ø直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
注意:
①画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线,只能画出一条;
②必须强调“在同一平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线有无数条;
③点到直线的距离,一定是线段的长度,不是线段.
【垂线段的识别】
【例题4-1】(2019春•厦门期末)如图,三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列说法错误的是( )
A.点A到直线BC的距离为线段AB的长度
B.点A到直线CD的距离为线段AD的长度
C.点B到直线AC的距离为线段BC的长度
D.点C到直线AB的距离为线段CD的长度
【垂线段的性质】
【例题4-2】(2019秋•雨花区校级期末)如图,计划把河水引到水池A中,可以先引AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,则能使所开的渠最短,这样设计的依据是()
A.垂线段最短B.两点之间,线段最短
C.两点确定一条直线D.两点之间,直线最短
〖反馈训练〗
训练1(2019春•雨花区期末)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下面的结论中正确的是( )
①BC与AC互相垂直;
②AC与CD互相垂直;
③点A到BC的垂线段是线段BC;
④点C到AB的垂线段是线段CD;
⑤线段BC是点B到AC的距离;
⑥线段AC的长度是点A到BC的距离.
A.①④③⑥B.①④⑥C.②③D.①④
训练2(2019春•娄星区期末)如图所示,点A到BC所在的直线的距离是指图中线段( )的长度.
A.ACB.AF
C.BDD.CE
训练3(2018春•平阴县期末)如图,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P是BC边上一动点,则线段AP的长不可能是()
A.2.5cmB.3cm
C.4cmD.5cm
训练4(2018春•德化县期末)已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=5,点D从点A到点B沿AB运动,CD=x,则x的取值范围是()
A.3≤x≤4B.3≤x≤5
C.
≤x≤3D.
≤x≤4
◆类型5、同位角、内错角、同旁内角的识别
【方法点拨】
Ø掌握每一种角具备的特征,是辨别出它们的关键(手势图中两大拇指代表被截直线,食指代表截线)
“F”型同位角.“Z”型内错角.“U”型同旁内角.
Ø每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,数图形时从对原图进行分解入手.
【例题5-1】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称:
∠1和∠2:
是、被直线所截而得到的一组角
∠1和∠3:
是、被直线所截而得到的一组角
∠1和∠6:
是、被直线所截而得到的一组角
∠2和∠4:
是、被直线所截而得到的一组角
∠2和∠6:
是、被直线所截而得到的一组角
∠3和∠4:
是、被直线所截而得到的一组角
∠3和∠5:
是、被直线所截而得到的一组角
【例题5-2】看图填空:
(1)如图①,同位角有对,内错角有对,同旁内角有对;
(2)如图②,同位角有对,内错角有对,同旁内角有对;
(3)如图③,同位角有对,内错角有对,同旁内角有对;
(4)如图④,同位角有对,内错角有对,同旁内角有对.
〖反馈训练〗
训练1(2019秋•山西期末)如图所示的四个图形中,∠1和∠2不是同位角的是()
A.
B.
C.
D.
训练2(2016春•邯郸校级月考)如图中,∠1和∠2不是同旁内角的是()
A.
B.
C.
D.
训练3(2017春•诸暨市期末)如图所示,下列说法中,错误的是()
A.∠A与∠1是同位角B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与∠3是内错角D.∠A与∠C是同旁内角
训练4(2018春•城关区校级月考)如图所示,同位角共有()
A.6对B.8对
C.10对D.12对
训练5(2019春•韶关期末)如图,若两条平行线EF,MN与直线AB,CD相交,则图中共有同旁内角的对数为()
A.4对B.8对
C.12对D.16对
训练6(2018春•和县期末)如图所示,内错角共有()
A.4对B.6对
C.8对D.10对
◆类型6、相交线中的角度计算
【方法点拨】
Ø相交线中的角度计算,多以选择题和填空题的形式出现,难度并不大。
经常与对顶角、邻补角、垂线和角平分线有关,有时需要设未知数,借助方程求解。
【与对顶角、邻补角有关的计算】
【例题6-1】(2019春•洛阳期中)如图,直线AC和直线BD相交于点O,OE平分∠BOC.若∠1+∠2=80°,则∠3的度数为()
A.40°B.50°
C.60°D.70°
【与垂线、角平分线有关的计算】
【例题6-2】(2019秋•盐都区期末)已知:
如图,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠BOD:
∠BOC=1:
5,过点O作OF⊥AB,则∠EOF的度数为.
【相交线的计算中,无图时经常需要分类讨论】
【例题6-3】(2019春•牡丹区期中)在直线AB上取一点O,过点O作射线OC、OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数为()
A.
B.
C.
D.
或
〖反馈训练〗
训练1(2019春•郫都区期中)如图,直线
、
相交于点
,且
,则
的度数为()
A.
B.
C.
D.
训练2(2019春•西湖区校级月考)如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.
(1)若∠AOC=76°,∠BOF=度;
(2)若∠BOF=36°,∠AOC=度.
训练3(2019秋•岐山县期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数.
(2)若∠EOC:
∠EOD=4:
5,求∠BOD的度数.
训练4(2019春•内黄县期末)如图所示,直线AB交CD于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:
∠BOE=5:
2,则∠AOF等于()
A.140°B.130°
C.120°D.110°
训练5(2015春•鄂城区期中)已知∠AOB与∠BOC互为邻补角,且∠BOC>∠AOB.OD平分∠AOB,射线OE使∠BOE=
∠EOC,当∠DOE=72°时,则∠EOC的度数为()
A.72°B.108°C.72°或108°D.以上都不对
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